2022-2023學(xué)年重慶市四川外語學(xué)院重慶第二外國(guó)語學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角的定義可得結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€即直線垂直于軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.2．已知空間向量，，且與垂直，則等于（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.3．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點(diǎn)共線即可．【詳解】解：，又與過同一點(diǎn)B，∴ A、B、D三點(diǎn)共線．故選：C．4．若直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則該直線的方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】（法一）利用直線的兩點(diǎn)式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方程．【詳解】解：（法一）因?yàn)橹本€過點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線的方程為，整理得；（法二）因?yàn)橹本€過點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)，則以線段為直徑的圓的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)公式計(jì)算出圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出圓的半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.屬于基礎(chǔ)題.6．如圖，在直三棱柱中，，，則直線與直線夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建系，設(shè)，再利用向量法求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建系，如圖所示：設(shè)，則，，，，所以，.設(shè)直線與直線夾角為，則.故選：A7．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.8．如圖，點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，再利用點(diǎn)到平面的距離，即可得答案；【詳解】如圖，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，，∴.∴點(diǎn)到平面的距離.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求點(diǎn)到面的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力. 二、多選題9．下列說法中，正確的是（　?。?/span>A．直線在y軸上的截距是3B．過平面內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線方程都可以寫成C．三點(diǎn)共線D．直線與的距離為【答案】CD【分析】對(duì)A：根據(jù)截距的概念分析判斷；對(duì)B：根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程分析判斷；對(duì)C：利用斜率處理三點(diǎn)共線問題；對(duì)D：根據(jù)兩平行線間距離公式運(yùn)算判斷.【詳解】對(duì)A：直線與y軸的交點(diǎn)為，則直線在y軸上的截距是，A錯(cuò)誤；對(duì)B：由可得，即與坐標(biāo)軸垂直的直線不符合該直線方程，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，即，故三點(diǎn)共線，C正確；對(duì)D：，即則直線與的距離為，D正確；故選：CD.10．已知兩條直線：，：x+ay+6=0，則下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．當(dāng)a=時(shí)，l1⊥ l2B．若l1l2，則a =- 1或a=3C．當(dāng)a=2時(shí)，l1與l2相交于點(diǎn)D．直線l2與圓一定有兩個(gè)不同交點(diǎn)【答案】AD【分析】根據(jù)直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：A．當(dāng)a=時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，，，故A正確； B．若l1l2，則且，即，整理得，解得或；當(dāng)時(shí)，與重合，故，故B錯(cuò)誤；C．當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立后解得：，故C錯(cuò)誤；D．圓心到直線的距離為，∴ 直線l2與圓一定有兩個(gè)不同交點(diǎn)．故D正確．故選：AD．11．圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線AB的方程為B．C．線段AB的垂直平分線方程為D．點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為【答案】ACD【分析】A：兩個(gè)圓的方程作差即可求得公共弦所在直線方程；B：利用幾何關(guān)系即可求AB弦長(zhǎng)；C：弦AB中垂線為；D：根據(jù)幾何關(guān)系，點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值P到AB距離與圓半徑之和.【詳解】；.對(duì)于A，由與，兩式作差可得，即公共弦所在直線方程為，故A正確；對(duì)于B，圓心到直線的距離，半徑為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的圓心為，圓的圓心的中垂線的斜率為，可得的中垂線方程為，即，故C正確；對(duì)于D為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到弦AB：的距離為，半徑，則到直線的距離的最大值為，故D正確.故選：ACD.12．十二水硫酸鋁鉀是一種無機(jī)物，又稱明礬，是一種含有結(jié)晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復(fù)鹽，生活中常用于凈水，我們連接一個(gè)正方體各個(gè)面的中心，可以得到明礬晶體的結(jié)構(gòu)，即為一個(gè)正八面體（如圖）.假設(shè)該正八面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則（    ）A．以正八面體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體為正方體B．直線與平面所成的角為C．正八面體的表面積為D．二面角的余弦值為【答案】AC【分析】根據(jù)對(duì)偶多面體的概念即可判斷A；根據(jù)正八面體的幾何特征得到，，進(jìn)而證出平面，從而得出直線與平面所成的角為，就出即可判斷B；已知棱長(zhǎng)，根據(jù)正八面體的幾何特征求其表面積即可判斷C；作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖， 根據(jù)一個(gè)正多面體和以它的各面中心為頂?shù)恼嗝骟w，叫做互為對(duì)偶的正多面體，根據(jù)對(duì)偶原則，每種多面體都存在對(duì)偶多面體，一種多面體的對(duì)偶多面體的對(duì)偶多面體等同該種多面體，由于正方體與正八面體是對(duì)偶多面體， 所以以正八面體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體為正方體，A正確；對(duì)于B，如圖，連接、、交于點(diǎn)，根據(jù)正八面體的幾何特征，則有四邊形、四邊形為正方形，，，又，平面，直線與平面所成的角為，在中，， ，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，正八面體的所有棱長(zhǎng)均為，正八面體的表面積，C正確；對(duì)于D，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正八面體的幾何特征，，，又平面，平面，平面平面，為二面角的平面角，在中，，在中，，同理，在中，，D錯(cuò)誤.故選：AC. 三、填空題13．設(shè)直線l的一個(gè)方向向量，平面α的一個(gè)法向量，則直線l與平面α的位置關(guān)系是 _________ .【答案】垂直【分析】根據(jù)空間中線面關(guān)系與空間向量的關(guān)系分析理解.【詳解】∵由題設(shè)知：，即，∴直線l與平面α的位置關(guān)系是垂直.故答案為：垂直14．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以線段的中點(diǎn)在已知直線上，且直線與已知直線垂直，列方程組即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的問題，屬于基礎(chǔ)題.15．若過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為_________ .【答案】【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)在圓上，根據(jù)切線的性質(zhì)可得切線的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】圓的圓心，半徑，∵，則點(diǎn)在圓上，又∵直線的斜率，則切線的斜率，∴切線方程為，即，故切線方程為.故答案為：.16．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長(zhǎng)均為2，∠A1AB=∠A1AC=，點(diǎn)E、F滿足，則 _________ .【答案】【分析】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方運(yùn)算求解.【詳解】以為基底，則有，∵，∴，故.故答案為：. 四、解答題17．已知直線，求（1）求直線l的斜率：（2）若直線m與l平行，且過點(diǎn)，求直線m的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)直線方程，直接寫出斜率即可；（2）由兩線平行斜率相等，結(jié)合所過的點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程.【詳解】（1）由直線方程知：，即直線l的斜率為；（2）由（1），根據(jù)直線m與l平行，且過點(diǎn)，則直線m：，∴直線m一般形式為.18．已知圓C的圓心為（0，1），半徑為．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)P（，2）的圓C的切線方程．【答案】(1)(2)切線方程為或 【分析】（1）根據(jù)圓心與半徑直接寫出圓的方程；（2）分為斜率存在與斜率不存在兩種情況分別求出切線方程即可．【詳解】（1）解：由圓心為（0，1），半徑為得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）解：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P（，2）的圓C的切線方程為，即，，整理得，解得，∴ 切線方程為．綜上：切線方程為或．19．已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線l與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l同時(shí)滿足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析，定點(diǎn)；(2)存在，且直線方程為. 【分析】（1）將直線方程變形為，解方程組，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，可求出該直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的周長(zhǎng)，即可得解.【詳解】（1）證明：將直線方程變形為，由，可得，因此，直線恒過定點(diǎn).（2）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若，則，則、，直線的斜率為，故直線的方程為，即，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)為，則，，，此時(shí)的周長(zhǎng)為.所以，存在直線滿足題意.20．如圖，四棱錐中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥平面PCB；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可證明DE⊥平面PCB.（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明:PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中點(diǎn)，DEPC，PCBC＝C，且面，面∴DE⊥平面PCB（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：則，設(shè)平面BDE的法向量為，則，令，得到，又，則，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為．21．已知點(diǎn)，直線，設(shè)圓C的半徑為3，圓心C在直線l上.(1)若直線AB與圓C截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MB|=2|MO|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理求圓心到直線的距離，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)|MB|=2|MO|求點(diǎn)M的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩圓有公共點(diǎn)，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵直線AB與圓C截得的弦長(zhǎng)為，則圓C到直線AB的距離，又圓心C在直線l上，則可設(shè)圓心，直線，即，則可得：，解得，圓C的方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)，∵|MB|=2|MO|，則，整理得：，即點(diǎn)M的軌跡方程為以為圓心，半徑為2的圓，則兩圓心之間的距離為，∵點(diǎn)M在圓C上，即兩圓有公共點(diǎn)，則，解得或，故圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.22．蓮花山位于鄂州市洋瀾湖畔．蓮花山，山連九峰，狀若金色蓮初開，獨(dú)展靈秀，故而得名．這里三面環(huán)湖，通匯長(zhǎng)江，山巒疊翠，煙波浩渺．旅游區(qū)管委會(huì)計(jì)劃在山上建設(shè)別致涼亭供游客歇腳，如圖①為該涼亭的實(shí)景效果圖，圖②為設(shè)計(jì)圖，該涼亭的支撐柱高為3m，頂部為底面邊長(zhǎng)為2的正六棱錐，且側(cè)面與底面所成的角都是．(1)求該涼亭及其內(nèi)部所占空間的大?。?/span>(2)在直線PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)60(2)直線PC上不存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面所成角的正弦值為，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)正六棱柱的體積以及正六棱錐的體積公式即可求解.（2）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)得向量的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的求解平面法向量與直線方向向量的夾角，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）結(jié)合圖②易得涼亭的頂是正六棱錐，側(cè)面與水平面成45°，取的中點(diǎn)G，連接，PG，則，，故，易求，所以，所以該涼亭的體積分為兩部分，上半部分為正六棱錐，其體積為，下半部分為正六棱柱，其體積，所以該涼亭及內(nèi)部所占空間為60，（2）取AB的中點(diǎn)H，以OH、FC、OP所在直線分別為x，y，z軸，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．假設(shè)在直線PC上存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面所成角的正弦值為，則， ，,，  設(shè)則，平面的一個(gè)法向量，則，，，則 ，即，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量,設(shè)直線MA與平面所成角為，則，化簡(jiǎn)得，,故該方程不存在實(shí)數(shù)解，所以在直線PC上不存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面所成角的正弦值為 

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