四川省仁壽第一中學校南校區(qū)2023-2024學年高二數(shù)學上學期月考模擬試卷（一）（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

高2022級高二上期數(shù)學國慶作業(yè)一（月考模擬題）一、單選題（共12小題，每題5分，共60分）1. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空間直角坐標系的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由空間直角坐標系的性質(zhì)可知，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是.故選：A2. 已知是兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間面面以及線面、線線的位置關(guān)系判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷B；根據(jù)線面垂直的判定判斷C；舉反例判斷D.【詳解】對于A，若，則或，A錯誤；對于B，若，則可能平行也可能異面或相交，B錯誤；對于C，由，可得，又，則，C正確；對于D，如圖長方體中，不妨取前方面為，右側(cè)面為，如圖示，，但，D錯誤；故選：C3. 從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A. “恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” B. “至少有一個黑球”與“都是紅球”C. “至少有一個黑球”與“至少有一個紅球” D. “至少有一個黑球”與“都是黑球”【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，恰好有一個黑球的事件與恰好有兩個黑球的事件不能同時發(fā)生，可以同時不發(fā)生，因此“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而不對立的兩個事件，A是；對于B，至少有一個黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；對于C，至少有一個黑球的事件與至少有一個紅球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，C不是；對于D，至少有一個黑球的事件與都是黑球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，D不是.故選：A4. 如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，為正方體的頂點．則滿足的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如圖建立以A為原點的空間直角坐標系.依次判斷各選項是否滿足即可.【詳解】如圖建立以A為原點的空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為.A選項，，則，則，故A錯誤； B選項，，，則，故B錯誤； C選項，，，則，即，故C正確； D選項，，則，故D錯誤. 故選：C5. 已知甲、乙兩位同學在一次射擊練習中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示：令，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)頻率分布圖分別計算，，比較大小可得.【詳解】由圖可知，，，所以，.故選：D.6. 從，，，，中任取兩個不同的數(shù)，記為，則成立的概率為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】從，，，，中任取兩個不同的數(shù)，記為，共有個基本事件，分別為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，記“成立”為事件，若，則且，所以事件包含個基本事件：，，，，，，故其概率為．故選：D7. 在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】連接交于點，連接，得到（補角）是異面直線與所成角求解．【詳解】解：如圖所示：連接交于點，連接，因為,所以（補角）是異面直線與所成角．因為平面，平面，所以，又因為四邊形為菱形，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8. M為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則動點M軌跡必通過△ABC的（）A. 垂心 B. 內(nèi)心 C. 外心 D. 重心【答案】C【解析】【分析】設(shè)邊的中點為，結(jié)合向量的線性運算法則化簡向量等式可得，由數(shù)量積的性質(zhì)可得，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)邊的中點為，因為，所以，所以，所以，所以，所以，又點為邊的中點，所以點在邊的垂直平分線上，所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心，故選：C. 二、多選題（共4小題，每題5分，共20分）9. 一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. 事件A與事件B互斥C. 事件A與事件B相互獨立 D. 【答案】CD【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解判斷；B.利用互斥事件的定義判斷；C.利用獨立事件的概率求解判斷；D.利用并事件的概率求解判斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確：事件B含有基本事件有8個：，，，，，，，，其中事件，，，發(fā)生時，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，，即事件A與事件B相互獨立，C正確；，D正確.故選：CD.10. 如圖，在四面體中，平面平面，，則下列結(jié)論正確的是（） A. 四面體的體積為B. C. 二面角的余弦值為D. 四面體外接球的體積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面平面，得到平面，從而，再由得到，從而平面BCD，可判斷AB選項；易得二面角的平面角是判斷C選項；將原幾何體補成長方體判斷D選項.【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，又，則，且，所以平面BCD，在中，因為，，所以，所以，所以，A不正確，B正確；二面角的平面角是，易得，C正確；將原幾何體補成長方體，如圖所示：則四面體的外接球即為長方體的其外接球，外接球的直徑為AD，且，所以半徑，故，D錯誤．故選：BC．11. 如圖所示是世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖：下列結(jié)論中正確的是（）A. 從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B. 2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多C. 2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平D. 1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)所給折線圖、扇形圖以及直方圖，分析每個選項中涉及的量的變化，即可得答案.【詳解】對于A，從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確；對于B，從扇形圖中能夠明顯地看出2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確；對于C，從條形圖中能夠明顯地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平，故C正確；對于D，由題中三幅統(tǒng)計圖可看得出北美洲人口數(shù)量最少，并不能得出從1957年到2050年中哪個洲人口增長速度最慢，故D錯誤.故選：ABC12. 設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A. 若，則B. 若，則外接圓的半徑為C. 若，則D. 若，則為銳角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)大邊對大角即可判斷A；利用正弦定理即可判斷B；先利用余弦定理求出，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷C；利用正弦定理化角為邊，正在跟進余弦定理即可判斷D.【詳解】對于A，因為，由正弦定理得，故A正確；對于B，由正弦定理，得，即外接圓的半徑為，故B錯誤；對于C，由余弦定理，則，故C正確；對于D，因為，由正弦定理得，則，故，所以角銳角，但不一定為銳角三角形，故D錯誤．故選：AC．三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）13. 用分層抽樣的方法從某校高中學生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學生600人，抽取了15人.則該校高中學生總數(shù)是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出學生總數(shù).【詳解】，故該校高中學生總數(shù)是1800人.故答案為：180014. 設(shè)空間向量，，若，則＝______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線得，再利用空間向量的坐標運算和向量模的定義即可得到答案.【詳解】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.15. 直線上一點P到與的距離之差的絕對值最大，則P的坐標為______.【答案】【解析】【分析】求出B點關(guān)于關(guān)于l對稱點的坐標，結(jié)合點P到與的距離之差的幾何意義，確定當三點共線時，最大，即可求得的方程，聯(lián)立，即可求得答案.【詳解】設(shè)點B關(guān)于l的對稱點的坐標為，連接，則，即，所以①．因為的中點在直線l上，所以，即②．由①②得，所以點的坐標為．于是所在直線的方程為，即．又，當且僅當三點共線時，最大．所以聯(lián)立直線l與的方程即，解得，即l與的交點坐標為，故點P的坐標為．故答案為：16. 一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，經(jīng)計算，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是16，若分位數(shù)是20，則___________.【答案】33【解析】【分析】利用中位數(shù)與百分位數(shù)的定義求得，從而得解.【詳解】因為，故中位數(shù)是，解得；因為，故75%分位數(shù)是，則；所以故答案為：33.四、解答題. （共6小題，共70分）17. 如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量的運算法則，即可容易表示目標向量；（2）用基向量表示，再用數(shù)量積的運算法則求解即可；（3）根據(jù)（2）中所求，結(jié)合向量夾角余弦值的計算公式，代值即可.【詳解】（1）連接，如圖：因為，，在，根據(jù)向量減法法則可得：因為底面是平行四邊形故因為且又為線段中點在中（2）因為頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是故由（1）可知故平行四邊形中故：故（3）因為，又【點睛】本題考查用基向量表示空間向量，涉及空間向量數(shù)量積的運算、模長的求解以及夾角的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.18. 已知空間三點，，.（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）設(shè)，若A，B，C，D四點共面，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由空間向量的數(shù)量積得夾角后求解（2）由空間向量共面定理求解【小問1詳解】由已知，得：，，∴，∴∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為【小問2詳解】由，得：∵A，B，C，D四點共面∴存在實數(shù)，，使得∴，即得：解得：，，∴19. 某校組織全體學生參加“數(shù)學以我為傲”知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，，，……，，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：（1）試估計這100名學生得分的眾數(shù)、中位數(shù)；（中位數(shù)保留小數(shù)點后2位）（2）試估計這100名學生得分平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（3）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在和兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會，求至少有一人在的概率.【答案】（1）眾數(shù)75；中位數(shù) （2）（3）【解析】【分析】（1）利用眾數(shù)與中位數(shù)的定義結(jié)合頻率分步直方圖即可得到這100名學生得分的眾數(shù)、中位數(shù)估計值；（2）利用平均數(shù)定義結(jié)合頻率分步直方圖即可得到這100名學生得分的平均數(shù)估計值.（3）利用古典概型概率求法即可求得從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會且至少有一人在的概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，第4組頻率最大，估計眾數(shù)為：75；在內(nèi)頻率之和為，設(shè)中位數(shù)為，由圖可知中位數(shù)在，由，得中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學生得分的平均數(shù)：【小問3詳解】在和兩組中的人數(shù)分別為：人和人，所以在分組中抽取的人數(shù)為人，記為a，b，c，在分組中抽取的人數(shù)為2人，記為1，2，所以這5人中隨機抽取2人的情況有：，共10種取法，至少有一人得分在的情況有7種，所以所求概率為.20. 如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動點，且．（1）證明:平面．（2）是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在實數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，根據(jù)線面垂直的判定得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有，并由勾股定理證，最后應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）取棱的中點，連接，構(gòu)建空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.【小問1詳解】因為四邊形是菱形，所以.因為平面，且，所以平面.因為平面，所以.因為，所以，即.因為平面，且，所以平面.【小問2詳解】取棱的中點，連接，易證兩兩垂直，故以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系．設(shè)，則，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得．平面的一個法向量為,設(shè)面與面所成的銳二面角為，則，整理得，解得(舍去)．故存在實數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是．21. 年月日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成．并將進入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學的興趣，開展了天文知識比賽，滿分分（分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有人，這人按年齡分成組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第百分位數(shù)（中位數(shù)第百分位數(shù)）；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者．①若有甲（年齡），乙（年齡）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計這人中歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．【答案】（1）（2）①；②年齡的平均數(shù)為，方差約為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可確定第百分位數(shù)第四組，根據(jù)第百分位數(shù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）①根據(jù)分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數(shù)，采用列舉法可得樣本點總數(shù)和滿足題意的樣本點個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果；②由可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)，由可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差.【小問1詳解】設(shè)第百分位數(shù)為，，，位于第四組：內(nèi)；方法一：由得：．方法二：由得：．【小問2詳解】①由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為，，，甲；第五組抽取人，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共個樣本點．設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有個樣本點．；②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為，平均數(shù)分別為，方差分別為，設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為，，平均數(shù)分別為，方差分別為，則，，，，可得，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．則，即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，則.即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為；據(jù)此估計這人中年齡在歲的所有人的年齡的平均數(shù)為，方差約為．22. 如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點. （1）求證：平面；（2）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立坐標系，利用向量法進行證明．（2）建立坐標系求出平面的法向量，利用向量夾角公式求二面角即可．【小問1詳解】由平面平面，且兩平面交線為,為中點，，平面，所以平面，由于平面，故，在菱形中，，，所以為等邊三角形，又為中點，所以，則以為坐標原點，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，又，，平面，平面．【小問2詳解】，設(shè)，則，，，；由（1）知平面，平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，又則，，即，令，則，，，，令，則，，，所以，，，即銳二面角的余弦值的取值范圍為．

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