四川省眉山市仁壽第一中學(xué)南校區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分）
1. 直線的傾斜角為（）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系求解即可.
【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：，
所以直線的斜率為，
所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為.
故選：C
2. 若甲、乙、丙三人排隊(duì)，則甲不排在第一位的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列舉出所有基本事件，再找出甲不排在第一位的基本事件，由古典概型求解即可.
【詳解】甲、乙、丙三人排隊(duì)的可能順序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6種情況，
其中甲不排在第一位的有4種情況，則甲不排在第一位的概率為.
故選：D.
3. 在等差數(shù)列中，，則的值是（）
A. 36B. 48C. 72D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，，則，
所以.
故選：A
4. 已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）
A. 相離B. 相交C. 內(nèi)切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓心距跟半徑的和差關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系.
【詳解】圓心距，
所以兩圓外切.
故選：D
5. 若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是它到軸距離的3倍，則的中點(diǎn)到軸距離等于（）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離建立等量關(guān)系，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再求出的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，則的中點(diǎn)到軸距離可求.
【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，
由拋物線的定義，得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
則，解得.
所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到軸距離等于.
故選：B.
6. 已知直線：與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫(huà)出圖像,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),求出值;當(dāng)直線與曲線相切時(shí).求出,即可得出的取值范圍.
【詳解】畫(huà)出如下圖像：
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),,此時(shí)直線與
曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);
直線與曲線相切時(shí),,
因此當(dāng)時(shí)，直線與
曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相切時(shí)滿足的關(guān)系,以及點(diǎn)到直線的距離公式,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,準(zhǔn)確判斷出曲線方程所表示曲線形狀,且根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
7. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則（）
A. B. 的最大值為
C. D. 滿足的最大自然數(shù)n的值為23
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，結(jié)合即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為
由，
可得，
整理可得，由
所，即，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)，則數(shù)列遞減數(shù)列，，即，
則前項(xiàng)或前項(xiàng)的和最大，故B錯(cuò)誤；C正確；
所以，即，解得，
滿足的最大自然數(shù)n的值為22，故D錯(cuò)誤；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知雙曲線（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】首先得到雙曲線的漸近線方程，再令，即可得到、坐標(biāo)，再根據(jù)面積公式求出，最后由離心率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，令，可得，
不妨令，，
所以，所以，，
即，所以，
所以；
故選：D
二、多選題（本題共4道小題，每小題4分，共20分）
9. 對(duì)于直線.以下說(shuō)法正確的有（）
A. 的充要條件是
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)
D. 點(diǎn)到直線的距離的最大值為5
【答案】BD
【解析】
【分析】求出的充要條件即可判斷A;驗(yàn)證時(shí)，兩直線斜率之積是否為-1，判斷B;求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可判斷C;判斷何種情況下點(diǎn)到直線的距離最大，并求出最大值，可判斷D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，
當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意；
當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，兩直線為，，
所以，故B正確；
直線即直線，故直線過(guò)定點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與點(diǎn)和的連線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，
故D正確，
故選：BD.
10. 下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于AB，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的求導(dǎo)公式判斷即可，對(duì)于C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式即可，D選項(xiàng)根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式即可.
【詳解】對(duì)A，若，則，正確
對(duì)B，若，則，錯(cuò)誤；
對(duì)C，，則，錯(cuò)誤；
對(duì)D，若，則，正確.
故選：AD.
11. 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）
A. 若，是互斥事件，，，則
B. 若，是對(duì)立事件，則
C. 若，是獨(dú)立事件，，，則
D. 若，，且，則，是獨(dú)立事件
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可
【詳解】對(duì)于A：若，是互斥事件，，，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，是對(duì)立事件，則，故B正確；
對(duì)于C：若，是獨(dú)立事件，，，則，也是獨(dú)立事件，則，故C正確；
對(duì)于D：若，，則且，則，是獨(dú)立事件，故，也是獨(dú)立事件，故D正確；
故選：BCD
12. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，則（）
A 平面
B. 直線平面所成角為45°
C. 三棱錐的體積是正方體體積的
D. 點(diǎn)到平面的距離為
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量解決角度距離問(wèn)題.
【詳解】正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有，.
，，，，，
得，，由平面，，∴平面，A選項(xiàng)正確；
，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則有，令，得，，則，
，所以直線平面所成角不是45°，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，
點(diǎn)到平面的距離，
三棱錐的體積，而棱長(zhǎng)為的正方體的體積為，
所以三棱錐的體積是正方體體積的，C選項(xiàng)正確；
，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則有，令，得，，則，
，點(diǎn)到平面的距離為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13. 已知等比數(shù)列中，，，則________
【答案】16
【解析】
【分析】將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，中，可得，再求的值。
【詳解】，，，
，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意廣義通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
14 已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______
【答案】
【解析】
【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計(jì)算即可求出答案．
【詳解】向量，，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為
,,0,,0,，
故答案為：．
15. 直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)圓心到直線距離與弦長(zhǎng)一半的平方和等于半徑的平方，求出圓心到直線距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果。
【詳解】解：由題知，圓的圓心為，半徑為1，
因?yàn)椋詧A心到直線的距離，
因?yàn)橹本€，所以，
解得，
故答案為：
16. 已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為_(kāi)________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)所給線段的長(zhǎng)度關(guān)系及橢圓的定義，求出的邊長(zhǎng)，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出離心率.
【詳解】如圖，

因?yàn)?，所以可設(shè)，
又，所以，
由橢圓定義，，即，
又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，
所以在中，
，
又在中，，
解得或（舍去）.
故答案為：
四、解答題（本題共6道小題，第1題10分，第2題12分，第3題12分，第4題12分，第5題12分，第6題12分，共70分）
17. 已知某區(qū)甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)分別為240，160，80．為助力疫情防控，現(xiàn)采用按比例分配分層抽樣的方法，從這三所學(xué)校的教師志愿者中抽取6名教師，參與“抗擊疫情·你我同行”下卡口執(zhí)勤值守專項(xiàng)行動(dòng)．
（1）求應(yīng)從甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者中分別抽取的人數(shù)；
（2）設(shè)抽出的6名教師志愿者分別記為，，，，，，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名教師志愿者承擔(dān)測(cè)試體溫工作．
①寫(xiě)出本次實(shí)驗(yàn)的樣本空間；
②設(shè)為事件“抽取的2名教師志愿者來(lái)自同一所學(xué)?！保笫录l(fā)生的概率．
【答案】（1）分別抽取3人，2人，1人；（2）①見(jiàn)解析；②.
【解析】
【分析】（1）由已知，甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)之比為，進(jìn)而計(jì)算可得相應(yīng)的人數(shù)；
（2）①列舉隨機(jī)抽取2名教師志愿者的所有結(jié)果共15種；
②隨機(jī)抽取的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，共4種，由概率公式可得．
【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)之比為
由于采用分層抽樣的方法從中抽取6名教師，
因此應(yīng)從甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者中分別抽取3人，2人，1人；
（2）①?gòu)某槌龅?6名教師中隨機(jī)抽取2名教師的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15種．
②由①，不妨設(shè)抽出的6名教師中，來(lái)自甲學(xué)校的是，，，來(lái)自乙學(xué)校的是，，來(lái)自丙學(xué)校的是，則從抽出的6名教師中隨機(jī)抽取的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，共4種．
所以，事件發(fā)生的概率．
18. 已知圓的圓心坐標(biāo)，直線被圓截得弦長(zhǎng)為．
（1）求圓的方程；
（2）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，求切線方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；
（2）對(duì)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在第一種情況下，寫(xiě)出切線方程，直接驗(yàn)證即可；在第二種情況下，設(shè)出切線方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方程.
【小問(wèn)1詳解】
解：圓心到直線的距離為，
所以，圓的半徑為，
因此，圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線的方程為，且直線與圓相切，合乎題意；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
由題意可得，解得，此時(shí)，切線的方程為.
綜上所述，所求切線的方程為或.
19. 在數(shù)列{an}中，．
（1）求出，猜想的通項(xiàng)公式；并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
（2）令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【答案】（1），，，證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）代入計(jì)算即可得到，按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可；
（2），再利用錯(cuò)位相減法即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴
因此可猜想: ；
當(dāng)時(shí)，，等式成立，
假設(shè)時(shí)，等式成立，即，
則當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，等式也成立，
綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)，.
【小問(wèn)2詳解】
，
①
②
由①-②得：
20. 已知橢圓C：離心率為，左頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，問(wèn)：直線BM，BN的斜率之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）為定值，定值為-2
【解析】
【分析】（1）由題意，先求得a值，根據(jù)離心率，可得c值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得的值，即可得答案.
（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，根據(jù)斜率公式，求得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)整理，即可得答案；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，所以，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得為定值，即可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得
又，所以
所以，
所以橢圓C：．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，（其中），，，
聯(lián)立，消y可得，
則，解得或，
，
所以
（定值）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，則M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，
所以，
綜上可得（定值）
21. 如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，其中，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).
（1）記平面平面，判斷直線和直線的位置關(guān)系，并證明；
（2）若二面角的大小為是靠近的三等分點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1），證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用線面平行的判定定理證得平行，然后利用線面平行的性質(zhì)定理證得結(jié)論；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而求得二面角的平面角，利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，過(guò)作于點(diǎn)，求得的長(zhǎng)，然后利用線面角概念求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
，證明如下：
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?
所以.
【小問(wèn)2詳解】
在梯形中，由條件可得，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，所以二面角的平面角為，
所以，因?yàn)槠矫?，所以，由?br>得點(diǎn)到平面的距離，
過(guò)作于點(diǎn)，則，所以，
于是且，所以四邊形是平行四邊形.于是
又，所以，
所以與平面所成角正弦值為.
22. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）設(shè)出，由焦半徑得到方程，求出，進(jìn)而求出拋物線方程；
（2）設(shè)出直線方程，表達(dá)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，設(shè)．
由拋物線的定義得，解得：，
因?yàn)樵趻佄锞€上，
所以，所以，解得：．
故拋物線的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知，直線的斜率存在，且不為0．
設(shè)直線的方程為，，．
聯(lián)立，整理得：，
則，從而．
因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，
同理可得．
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為8．

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