2023-2024學(xué)年河南省南陽市鎮(zhèn)平縣九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 且2.下列根式中，是最簡二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.下列表示的是四位同學(xué)的運算過程，其中正確的是(    )A.
B.
C.
D. 5.方程根的情況是(    )A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根6.一元二次方程配方后可化為(    )A.  B.  C.  D. 7.一元二次方程的兩根分別為和，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 8.若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為(    )A. 且 B. 且 C.  D. 9.等腰三角形一條邊的邊長為，它的另兩條邊的邊長是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的值是
(    )A.  B.  C. 或 D. 10.為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每盒零售價由元降為元，設(shè)平均每次降價的百分率是，則根據(jù)題意，下列方程正確的是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.與最簡二次根式是同類二次根式，則          ．12.一元二次方程的一般形式是______ ．13.下列是小明同學(xué)用配方法解方程：的過程：解：，第步
，第步
，第步
，第步
．最開始出現(xiàn)錯誤的是第______步．14.若是一元二次方程的一個根，則取值為______ ．15.如圖，某中學(xué)準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園圍墻最長可利用，現(xiàn)在已備足可以砌長的墻的材料，若設(shè)為，要使矩形花園的面積為可列方程______ ．
三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.本小題分
解方程：
；
；
；
．17.本小題分
計算：
；
．18.本小題分
先化簡，再求值：，其中．19.本小題分
已知代數(shù)式
用配方法說明無論取何值，代數(shù)式的值總是負數(shù)．
當為何值時，代數(shù)式有最大值，最大值是多少？20.本小題分
已知關(guān)于的方程．
求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；
若此方程的一個根是，求另一個根及的值．21.本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．
求的取值范圍；
如果方程的兩個實數(shù)根為，，且，求的取值范圍．22.本小題分
如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長米、寬米的長方形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，小道以外的區(qū)域用于種植有關(guān)植物，要使種植總面積為平方米，則小道的寬為多少米？
23.本小題分
年月日，第七個“中國航天日”，主題是“航天點亮夢想”某網(wǎng)店為了弘揚航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十三號”模型．已知該模型平均每天可售出個，每個盈利元．為了擴大銷售、增加盈利，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，發(fā)現(xiàn)每個模型每降低元，平均每天可多售出個．
若每個模型降價元時，平均每天可售出多少個模型？此時每天銷售獲利多少元？
在每個盈利不少于元的前提下，要使該模型每天銷售獲利為元，同每個模型應(yīng)降價多少元？
該模型每天的銷售獲利能達到元嗎？如果能，請寫出降價方案，如果不能，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：且，
解得：且，
故選：．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為列出不等式，解不等式得到答案．
本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：．，不是最簡二次根式；
B.，不是最簡二次根式；
C.，不是最簡二次根式；
D.，是最簡二次根式．
故選：．
直接根據(jù)最簡二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
此題考查的是最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：．，故本選項不符合題意；
B.
，故本選項不符合題意；
C.
，故本選項符合題意；
D.
，故本選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次根式混合運算的法則計算各式，然后判斷即可．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：，故選項A錯誤，不符合題意；
，，故選項B錯誤，不符合題意；
，故選項C錯誤，不符合題意；
，故選項D正確，符合題意；
故選：．
根據(jù)各個選項中的式子，可以計算出正確的結(jié)果，然后即可判斷哪個選項符合題意．
本題考查二次根式的混合運算、分母有理化，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：，，，
，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選A．
判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式的值的符號就可以了．
本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：
方程有兩個不相等的實數(shù)根；
方程有兩個相等的實數(shù)根；
方程沒有實數(shù)根．6.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
根據(jù)配方法即可求出答案．
本題考查一元二次方程的配方法，解題的關(guān)鍵是熟練運用配方法，本題屬于基礎(chǔ)題型．7.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根分別為和，
．
故選：．
，是一元二次方程的兩根時，，由此即可求解．
本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義掌握一元二次方程二次項系數(shù)不為是解題的關(guān)鍵根據(jù)題意得，，解之即可得到實數(shù)的取值范圍．
【解答】
解：原方程為一元二次方程，且有實數(shù)根，
實數(shù)的取值范圍為且．
故選A．9.【答案】 【解析】【分析】
由于等腰三角形的一邊長為底或腰不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論：當為腰時，其他兩條邊中必有一個為，把代入原方程可求出的值，進而求出方程的另一根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷是否符合題意即可；當為底時，則其他兩條邊相等，即方程有兩個相等的實數(shù)根，由可求出的值，再求出方程的兩個根進行判斷即可．
【解答】
解：分兩種情況：
當其他兩條邊中有一個為時，將代入原方程，
得，
解得．
將代入原方程，
得，
解得或．
，，不能夠組成三角形，不符合題意舍去；
當為底時，則其他兩條邊相等，即，
此時，
解得．
將代入原方程，
得，
解得．
，，能夠組成三角形，符合題意．
故的值為．
故選B．10.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
故選：．
設(shè)平均每次降價的百分率是，根據(jù)降價后的價格降價前的價格降價的百分率，則第一次降價后的價格是，第二次后的價格是，據(jù)此即可列方程求解．
此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到已知量和未知量之間的等量關(guān)系，列出方程即可．11.【答案】 【解析】【分析】
先將化成最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關(guān)于的方程，解出即可．
本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．
【解答】
解：與最簡二次根式是同類二次根式，且，
，解得：．
故答案為．12.【答案】 【解析】解：一元二次方程的一般形式是，
故答案為：．
一元二次方程的一般形式是．
考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數(shù)項．其中，，分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．13.【答案】 【解析】解：，第步，
，第步，
，第步，
，第步，
，．
所以原解答過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，
故答案為：．
將常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項系數(shù)化為，繼而兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
本題考查解一元二次方程配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法解一元二次方程．14.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
解得，
當時不符合題意，應(yīng)舍去，
則；
故答案為：．
把代入已知方程后，列出關(guān)于的新方程，通過解新方程即可求得的值．
本題考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．15.【答案】 【解析】解：由題意得：，
整理得：，
故答案為：．
根據(jù)“花園的面積為”列方程求解．
本題考查了有實際抽象出一元二次方程，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，． 【解析】先計算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程即可；
先把方程變形為，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程即可；
先計算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．17.【答案】解：原式

；
原式

． 【解析】直接利用二次根式的混合運算法則分別化簡，進而得出答案；
直接利用絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的除法運算法則分別化簡，進而得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運算、實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18.【答案】解：原式
．
當時，原式． 【解析】本題主要考查了分式的混合運算化簡求值問題，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．
把分式進行化簡，再把的值代入即可求出結(jié)果．19.【答案】解：
，
，
，
無論取何值，代數(shù)式的值總是負數(shù)；
，
當時，代數(shù)式有最大值，最大值是． 【解析】此題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識點是配方法的步驟，關(guān)鍵是對要求的式子進行配方，注意在變形的過程中不要改變式子的值．
根據(jù)配方法的步驟把代數(shù)式進行配方，即可得出答案；
根據(jù)的結(jié)果即可直接得出代數(shù)式的最大值．20.【答案】證明：
，
在實數(shù)范圍內(nèi)，無論取何值，，即，
關(guān)于的方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；
解：把代入方程得，
解得．
方程化為，
設(shè)方程的另一個根為，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
解得，
即另一個根為，的值為． 【解析】先計算根的判別式的值，再證明即可；
先把代入一元二次方程可求得的值，則方程化為，設(shè)方程的另一個根為，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，然后解一次方程即可．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．21.【答案】解：根據(jù)題意得，
解得；
根據(jù)題意得，，
而，
所以，解得，
而，
所以的范圍為． 【解析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再利用得到，然后解不等式和利用中的結(jié)論可確定滿足條件的的取值范圍．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，也考查了根的判別式．22.【答案】解：設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長為米，寬為米的矩形，
由題意，得：，
整理，得：，
解得：，不合題意，
答：小道的寬為米． 【解析】設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解方程即可．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：件，
元．
答：均每天可售出件模型，此時每天銷售獲利元．
設(shè)每件模型應(yīng)降價元，則每件盈利元，每天可售出件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
．
答：每件模型應(yīng)降價元．
該模型每天的銷售獲利不能達到元，理由如下：
設(shè)每件模型應(yīng)降價元，則每件盈利元，每天可售出件，
依題意得：，
整理得：．
，
該方程無實數(shù)根，
即該模型每天的銷售獲利不能達到元． 【解析】利用日銷售量每件模型降低的價格，可求出日銷售量，再利用每天銷售該種模型獲得的利潤每件盈利日銷售量，即可求出每天銷售該種模型獲得的利潤；
設(shè)每件模型應(yīng)降價元，則每件盈利元，每天可售出件，利用每天銷售該種模型獲得的利潤每件盈利日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
該模型每天的銷售獲利不能達到元，設(shè)每件模型應(yīng)降價元，則每件盈利元，每天可售出件，利用每天銷售該種模型獲得的利潤每件盈利日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式，可得出該方程無實數(shù)根，即該模型每天的銷售獲利不能達到元．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混用運算以及根的判別式，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

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