?2023-2024學年四川省綿陽市江油市八校聯考九年級第一學期月考數學試卷（10月份）
一．選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）
1．將一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次項系數和一次項系數分別為（　?。?br /> A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
2．關于x的一元二次方程3x2﹣2x＝x+1的根的情況是（　?。?br /> A．沒有實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．有兩個相等的實數根 D．無法確定
3．設一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2﹣x1x2的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
4．下列關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（　?。?br /> A．圖象是一條開口向下的拋物線
B．圖象與x軸沒有交點
C．當x＜2時，y隨x增大而增大
D．圖象的頂點坐標是（2，﹣3）
5．下列函數中，y是x的二次函數的是（　?。?br /> A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝﹣3x2
6．拋物線y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　　）
A．先向右平移2個單位，再向下平移6個單位
B．先向左平移2個單位，再向上平移6個單位
C．先向左平移2個單位，再向下平移6個單位
D．先向右平移2個單位，再向上平移6個單位
7．拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點坐標是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
8．已知二次函數y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2時，函數有最大值1，則a的值是（　?。?br /> A．a＝﹣3或a＝1 B．a＝3或a＝﹣1 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝﹣3或a＝3
9．關于二次函數y＝x2+2x﹣8，下列說法正確的是（　?。?br /> A．圖象的對稱軸在y軸的右側
B．圖象與y軸的交點坐標為（0，8）
C．圖象與x軸的交點坐標為（2，0）和（4，0）
D．函數的最小值為﹣9
10．當a≤x≤a+2時，二次函數y＝x2﹣4x+4的最小值為1，則a的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0或3
11．據乘用車市場信息聯席會數據顯示，我國新能源車發(fā)展迅速，2023年1月至3月，新能源車月銷量由33.2萬輛增加到54.6萬輛，設2023年1月至3月新能源車銷量的月平均增長率為x，則可列方程為（　?。?br /> A．33.2（1+2x）＝54.6
B．33.2×2?（1+x）＝54.6
C．33.2[1+（1+x）+（1+x）2]＝54.6
D．33.2（1+x）2＝54.6
12．利用長為12m的墻和40m長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于6m，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為（　?。?br /> A．168m2，102m2 B．200m2，102m2
C．200m2，168m2 D．160m2，102m2
二．填空題（共6小題，每小題4分，共24分）
13．將一元二次方程x（x﹣2）＝5化為一般形式是 　 ?。?br /> 14．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一個根，則2023﹣m2+m的值為 　 ?。?br /> 15．關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是　 　
16．若拋物線y＝﹣x2+2x﹣2，點（﹣2，y1），（3，y2）為拋物線上兩點，則y1　 　y2．（用“＜”或“＞”號連接）
17．二次函數y＝x2﹣3x﹣2與x軸交點坐標分別為（m，0），（n，0），則m2+3n﹣mn的值是 　 　．
18．如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，如果水面下降0.5m，那么水面寬度增加 　 　m．

三．解答題（共9小題，90分）
19．用適當的方法解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
20．已知：關于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出這時方程的根．
（2）問：是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．
21．已知拋物線y＝﹣x2+2x+3．

（1）求出這個拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；
（2）在給定的坐標系中畫出這條拋物線，設拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，求△ABC的面積．

22．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．
23．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）設點M是直線l上的一個動點，當點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標．

24．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y＝ax2+2ax+3的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B．
（1）求該函數的表達式及頂點坐標；
（2）點P（m，n）在該二次函數圖象上，當m≤x≤m+3時，該二次函數有最大值2，請根據圖象求出m的值；
（3）將該二次函數圖象在點A，B之間的部分（含A，B兩點）記為圖象W．
①點Q在圖象W上，連接QA，QB，求△ABQ面積的最大值；
②若直線y＝c與圖象W只有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出c的取值范圍．

25．如圖，一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃筐內，已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，試解答下列問題：
（1）建立圖中所示的平面直角坐標系，求拋物線所對應的函數表達式．
（2）這次跳投時，球出手處離地面多高？

26．為防控新冠疫情，減少交叉感染，某超市在線上銷售優(yōu)質農產品，該超市于今年一月底收購一批農產品，二月份銷售256盒，三、四月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎上，四月份的銷售量達到400盒．若農產品每盒進價25元，原售價為每盒40元．
（1）求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率；
（2）該超市五月份降價促銷，經調查發(fā)現，若該農產品每盒降價1元，銷售量可增加5盒，當農產品每盒降價多少元時，這種農產品在五月份可獲利4250元？
27．為響應“創(chuàng)建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成．設矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝xm，面積為ym2（如圖）．

甲
乙
丙
單價（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若矩形空地的面積為160m2，求x的值；
（3）若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵（每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如表）．問丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由．



參考答案
一．選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）
1．將一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次項系數和一次項系數分別為（　　）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
【分析】先把方程化為一元二次方程的一般形式，進而可得出結論．
解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式為：3x2﹣5x+1＝0，
故二次項系數是3，一次項系數是﹣5．
故選：D．
【點評】本題考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），這種形式叫一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．
2．關于x的一元二次方程3x2﹣2x＝x+1的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．有兩個相等的實數根 D．無法確定
【分析】化成一般形式，計算方程根的判別式，根據計算屬性判斷即可．
解：∵3x2﹣2x＝x+1，
∴3x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握Δ＞0，則方程有兩個不相等的實數根；Δ＝0，方程有兩個相等的實數根；Δ＜0，方程沒有實數根是解題的關鍵．
3．設一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2﹣x1x2的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．0 D．3
【分析】先利用根與系數的關系得x1+x2＝3，x1x2＝2，然后利用整體代入的方法計算．
解：根據根與系數的關系得x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1．
故選：A．
【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．下列關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（　?。?br /> A．圖象是一條開口向下的拋物線
B．圖象與x軸沒有交點
C．當x＜2時，y隨x增大而增大
D．圖象的頂點坐標是（2，﹣3）
【分析】由二次函數解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標，與x軸的交點個數，由此解答即可．
解：A、∵a＝1＞0，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
即圖象與x軸有兩個交點，
故此選項不符合題意；
C、∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，
∴當x＜2時，y隨x增大而減小，
故此選項不符合題意；
D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴圖象的頂點坐標是（2，﹣3），
故此選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數的圖象性質，解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．
5．下列函數中，y是x的二次函數的是（　?。?br /> A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝﹣3x2
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數即為二次函數，據此進行判斷即可．
解：A中當a＝0，b≠0時．y是x的一次函數，則A不符合題意；
B是一次函數，則B不符合題意；
C是一次函數，則C不符合題意；
D符合二次函數定義，它是二次函數，則D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查二次函數的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
6．拋物線y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　?。?br /> A．先向右平移2個單位，再向下平移6個單位
B．先向左平移2個單位，再向上平移6個單位
C．先向左平移2個單位，再向下平移6個單位
D．先向右平移2個單位，再向上平移6個單位
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律求則可．
解：將拋物線y＝﹣5（x+2）2﹣6先向右平移2個單位，再向上平移6個單位即可得到拋物線y＝﹣5x2．
故選：D．
【點評】本題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．
7．拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點坐標是（　?。?br /> A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【分析】根據二次函數性質，由頂點式直接寫出頂點坐標即可．
解：因為拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點坐標是（2，﹣5）．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數性質，由頂點式直接寫出頂點坐標是解題關鍵．
8．已知二次函數y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2時，函數有最大值1，則a的值是（　?。?br /> A．a＝﹣3或a＝1 B．a＝3或a＝﹣1 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝﹣3或a＝3
【分析】先求出二次函數y＝x2﹣2x﹣2的對稱軸，將y＝1代入函數求出對應的x值，分情況討論即可．
解：二次函數y＝x2﹣2x﹣2的對稱軸為，
將y＝1代入y＝x2﹣2x﹣2得1＝x2﹣2x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
當1≤a≤x≤a+2時，在x＝a+2＝3取得最大值，a＝1．
當a≤x≤a+2≤1時，在x＝a＝﹣1取得最大值，a＝﹣1．
∴a＝﹣1或a＝1．
故選：C．
【點評】本題主要考查二次函數的圖象和性質，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．
9．關于二次函數y＝x2+2x﹣8，下列說法正確的是（　　）
A．圖象的對稱軸在y軸的右側
B．圖象與y軸的交點坐標為（0，8）
C．圖象與x軸的交點坐標為（2，0）和（4，0）
D．函數的最小值為﹣9
【分析】將二次函數表達式化為頂點式，即可進行解答．
解：A、∵二次函數y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴圖象的對稱軸x＝﹣1，故A不正確，不符合題意；
B、∵圖象與y軸的交點坐標為（0，﹣8），∴B不正確，不符合題意；
C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴圖象與x軸的交點坐標為（2，0）和（﹣4，0），故C不正確，不符合題意；
D、∵二次函數y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，頂點坐標為（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴函數值有最小值為﹣9，故D正確，符合題意；
故選：D．
【點評】本題主要考查了二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質，解題的關鍵是掌握將二次函數表達式化為頂點式的方法．y＝（x﹣h）2+k的對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）；a＞0時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a＜0時，函數開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減?。?br /> 10．當a≤x≤a+2時，二次函數y＝x2﹣4x+4的最小值為1，則a的值為（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0或3
【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當y＝1時x的值，結合當a≤x≤a+2時函數有最小值1，即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．
解：當y＝1時，有x2﹣4x+4＝1，
解得：x1＝1，x2＝3．
∵當a≤x≤a+2時，函數有最小值1，
∴a＝3或a+2＝1，
∴a＝3或a＝﹣1，

故選：C．
【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的最值，利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當y＝1時x的值是解題的關鍵．
11．據乘用車市場信息聯席會數據顯示，我國新能源車發(fā)展迅速，2023年1月至3月，新能源車月銷量由33.2萬輛增加到54.6萬輛，設2023年1月至3月新能源車銷量的月平均增長率為x，則可列方程為（　?。?br /> A．33.2（1+2x）＝54.6
B．33.2×2?（1+x）＝54.6
C．33.2[1+（1+x）+（1+x）2]＝54.6
D．33.2（1+x）2＝54.6
【分析】利用2023年3月新能源車月銷量＝2023年1月新能源車月銷量×（1+2023年1月至3月新能源車銷量的月平均增長率）2，即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．
解：根據題意得：33.2（1+x）2＝54.6．
故選：D．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
12．利用長為12m的墻和40m長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于6m，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為（　?。?br /> A．168m2，102m2 B．200m2，102m2
C．200m2，168m2 D．160m2，102m2
【分析】設垂直于墻一邊的長度為xm，平行于墻的一邊長度為（40﹣2x）m，由題意知6≤40﹣2x≤12，解之求出14≤x≤17，令苗圃的面積為y，得y＝x（40﹣2x）＝﹣2（x﹣10）2+200，再根據二次函數的性質求解即可．
解：設垂直于墻一邊的長度為xm，則平行于墻的一邊長度為（40﹣2x）m，
由題意知6≤40﹣2x≤12，
解得14≤x≤17，
令苗圃的面積為y，
則y＝x（40﹣2x）
＝﹣2x2+40x
＝﹣2（x2﹣20x+100﹣100）
＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，
∴當x＞10時，y隨x的增大而減小，
當x＝14時，y取得最大值，最大值為168m2，
當x＝17時，y取得最小值，最小值為102m2，
故選：A．
【點評】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，建立二次函數模型，并熟練掌握二次函數的性質．
二．填空題（共6小題，每小題4分，共24分）
13．將一元二次方程x（x﹣2）＝5化為一般形式是 　x2﹣2x﹣5＝0?。?br /> 【分析】根據一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數且a≠0），即可解答．
解：x（x﹣2）＝5，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x﹣5＝0，
故答案為：x2﹣2x﹣5＝0．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
14．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一個根，則2023﹣m2+m的值為 　2020?。?br /> 【分析】利用一元二次方程解的定義得到m2﹣m＝3，然后再利用整體代入的方法計算．
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0，得m2﹣m﹣3＝0，
所以m2﹣m＝3，
所以2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣3＝2020．
故答案為：2020．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
15．關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是　k≤0且k≠﹣1　
【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
解：根據題意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故答案為k≤0且k≠﹣1．
【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．也考查了一元二次方程的定義．
16．若拋物線y＝﹣x2+2x﹣2，點（﹣2，y1），（3，y2）為拋物線上兩點，則y1?。肌2．（用“＜”或“＞”號連接）
【分析】根據題意可得拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線x＝1，從而得到點離拋物線的對稱軸越遠，函數值越小，即可求解．
解：∵y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1，且﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴點離拋物線的對稱軸越遠，函數值越小，
∵1﹣（﹣2）＞3﹣1，
∴y1＜y2．
故答案為：＜
【點評】本題主要考查了拋物線的圖象和性質，熟練掌握拋物線的圖象和性質是解題的關鍵．
17．二次函數y＝x2﹣3x﹣2與x軸交點坐標分別為（m，0），（n，0），則m2+3n﹣mn的值是 　13?。?br /> 【分析】根據題意可得m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根，利用兩根之和與兩根之積與系數的關系即可求解．
解：∵二次函數y＝x2﹣3x﹣2與x軸交點坐標分別為（m，0），（n，0），
∴m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根，
∴mn＝﹣2，m+n＝3，m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2＝3m+2，
∴m2+3n﹣mn＝3m+2+3n﹣mn＝3（m+n）﹣mn+2＝3×3﹣（﹣2）+2＝13．
故答案為13．
【點評】本題考查函數與方程的關系及根與系數的關系，關鍵是掌握公式．
18．如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，如果水面下降0.5m，那么水面寬度增加 　（2﹣4）　m．

【分析】根據已知建立平面直角坐標系，進而求出二次函數解析式，再通過把y＝﹣2代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，

拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA＝OB＝AB＝2米，拋物線頂點C坐標為（0，2），
通過以上條件可設頂點式y＝ax2+2，其中a可通過將A點坐標（﹣2，0）代入拋物線解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，
當水面下降0.5米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：
當y＝﹣0.5時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣0.5與拋物線相交的兩點之間的距離，
可以通過把y＝﹣0.5代入拋物線解析式得出：
﹣0.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，所以水面寬度增加到2米，比原先的寬度當然是增加了（2﹣4）米，
故答案為：（2﹣4）．
【點評】此題主要考查了二次函數的應用，根據已知建立坐標系從而得出二次函數解析式是解決問題的關鍵．
三．解答題（共9小題，90分）
19．用適當的方法解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法進行計算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法進行計算，即可解答．
解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0，
[2（x+2）+3（x﹣3）][2（x+2）﹣3（x﹣3）]＝0，
（5x﹣5）（13﹣x）＝0，
5x﹣5＝0或13﹣x＝0，
x1＝1．x2＝13．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
20．已知：關于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出這時方程的根．
（2）問：是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據一元二次方程的根的判別式Δ＝0，建立關于m的等式，由此求出m的取值．再化簡方程，進而求出方程相等的兩根；
（2）利用根與系數的關系，化簡x12+x22＝136，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．根據根與系數的關系即可得到關于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．
解：（1）若方程有兩個相等的實數根，
則有Δ＝b2﹣4ac＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m＝0，
解得m＝1，
當m＝1時，原方程為x2+4x+4＝0，
∴x1＝x2＝﹣2；
（2）不存在．
假設存在，則有x12+x22＝136．
∵x1+x2＝4m﹣8，
x1x2＝4m2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．
即（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，
∴m2﹣8m﹣9＝0，
（m﹣9）（m+1）＝0，
∴m1＝9，m2＝﹣1．
∵Δ＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1＝9，m2＝﹣1都不符合題意，
∴不存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136．
【點評】總結：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根；
（3）Δ＜0?方程沒有實數根．
2、根與系數的關系為：x1+x2＝x1x2＝．
21．已知拋物線y＝﹣x2+2x+3．

（1）求出這個拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；
（2）在給定的坐標系中畫出這條拋物線，設拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，求△ABC的面積．

【分析】（1）將二次函數配方后即可確定其頂點坐標及對稱軸；
（2）根據上題確定的二次函數的解析式即可求得拋物線與坐標軸的交點坐標，利用三角形面積公式即可求得△ABC的面積．
解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點坐標是（1，4），對稱軸是直線x＝1；

（2）畫圖象：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
又∵C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6．
【點評】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是能夠利用配方法確定二次函數的頂點坐標和拋物線與坐標軸的交點坐標，難度不大．
22．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判別式，進行計算即可解答；
（2）利用根與系數的關系和已知可得，求出α，β的值，再根據αβ＝﹣3m2，進行計算即可解答．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1?（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：由題意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值為±1．
【點評】本題考查了根與系數的關系，根的判別式，熟練掌握根的判別式，以及根與系數的關系是解題的關鍵．
23．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）設點M是直線l上的一個動點，當點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標．

【分析】（1）講點A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c的值，即可求出函數解析式；
（2）點A關于直線l的對稱點為B，利用將軍飲馬原理，連接BC，線段BC就是點M到點A、點C的距離之和最短，求出直線BC的解析式，再求出直線BC與直線l的交點，即可求出點M的坐標．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，
∴，解得，
∴拋物線的函數解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖，
點A是關于直線l成軸對稱，MA+MC＝BM+MC，
當且僅當點B、M、C三點共線時，MB+MC取到最小值，即為點M到點A，點C的距離之和最短，
設直線BC的解析式為y＝kx+m，
∵直線BC經過點C（0，﹣3），點B（3，0），
∴，解得，
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴直線l為：x＝1，
聯立方程，解得，
∴點M的坐標為（1，﹣2）．

【點評】本題考查了用代入法求出二次函數解析式，再用將軍飲馬原理構圖，進而得到點的坐標，綜合性比較強．
24．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y＝ax2+2ax+3的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B．
（1）求該函數的表達式及頂點坐標；
（2）點P（m，n）在該二次函數圖象上，當m≤x≤m+3時，該二次函數有最大值2，請根據圖象求出m的值；
（3）將該二次函數圖象在點A，B之間的部分（含A，B兩點）記為圖象W．
①點Q在圖象W上，連接QA，QB，求△ABQ面積的最大值；
②若直線y＝c與圖象W只有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出c的取值范圍．

【分析】（1）用待定系數法求得拋物線的解析式，再把解析式化成頂點式便可得出頂點坐標；
（2）分兩種情況：m+3＜﹣1；m＞﹣1；根據二次函數的性質列出方程求得m的值便可；
（3）①設Q（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3≤t≤0），過Q作QM⊥y軸于點M，根據三角形的面積公式得出函數解析式，再由函數的性質求得最大值便可；
②根據函數圖象求得當直線y＝c與圖象W只有一個交點時的c的取值便可．
解：（1）把A（﹣3，0）代入y＝ax2+2ax+3中，
得9a﹣6a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，4）；
（2）當m+3＜﹣1，即m＜﹣4時，
∵m≤x≤m+3時，該二次函數有最大值2，
∴﹣（m+3）2﹣2（m+3）+3＝2，
解得m＝﹣4+（舍）或m＝﹣4﹣，
當m＞﹣1時，
∵m≤x≤m+3時，該二次函數有最大值2，
∴﹣m2﹣2m+3＝2，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+，
故m的值為m＝＝﹣4﹣或m＝﹣1+；
（3）①令x＝0，得y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴B（0，3），
設Q（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3≤t≤0），過Q作QM⊥y軸于點M，

則QM＝﹣t，OM＝﹣t2﹣2t+3，
∴△ABQ的面積S＝S梯形OAQB﹣S△OAB﹣S△BQM
＝
＝
＝（﹣3≤t≤0），
∴△ABQ面積的最大值為；
②由函數圖象可知，當c＝4或0≤c＜3時，直線y＝c與W只有一個交點，
∴c＝4或0≤c＜3．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，三角形的面積公式，二次函數的性質，函數圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．
25．如圖，一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃筐內，已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，試解答下列問題：
（1）建立圖中所示的平面直角坐標系，求拋物線所對應的函數表達式．
（2）這次跳投時，球出手處離地面多高？

【分析】（1）設拋物線的表達式為y＝ax2+3.5，依題意可知圖象經過的坐標，由此可得a的值；
（2）設這次跳投時，球出手處離地面hm，因為（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，當x＝﹣2，5時，即可求得結論．
解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（0，3.5），
∴可設拋物線的函數關系式為y＝ax2+3.5．
∵籃圈中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
（2）設這次跳投時，球出手處離地面hm，
因為（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴當x＝﹣2.5時，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．
∴這次跳投時，球出手處離地面2.25m．
【點評】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出二次函數模型，體現了數學建模的數學思想，難度不大，能夠結合題意利用二次函數不同的表達形式求得解析式是解答本題的關鍵．
26．為防控新冠疫情，減少交叉感染，某超市在線上銷售優(yōu)質農產品，該超市于今年一月底收購一批農產品，二月份銷售256盒，三、四月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎上，四月份的銷售量達到400盒．若農產品每盒進價25元，原售價為每盒40元．
（1）求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率；
（2）該超市五月份降價促銷，經調查發(fā)現，若該農產品每盒降價1元，銷售量可增加5盒，當農產品每盒降價多少元時，這種農產品在五月份可獲利4250元？
【分析】（1）設三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為x，利用四月份的銷售量＝二月份的銷售量×（1+三、四這兩個月銷售量的月平均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）設農產品每盒降價y元，則每盒的銷售利潤為（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，利用五月份的銷售總利潤＝每盒的銷售利潤×五月份的銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
解：（1）設三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為x，
依題意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．
答：三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為25%．
（2）設農產品每盒降價y元，則每盒的銷售利潤為（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，
依題意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合題意，舍去）．
答：當農產品每盒降價5元時，這種農產品在五月份可獲利4250元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
27．為響應“創(chuàng)建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成．設矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝xm，面積為ym2（如圖）．

甲
乙
丙
單價（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若矩形空地的面積為160m2，求x的值；
（3）若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵（每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如表）．問丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由．

【分析】（1）根據矩形的面積公式計算即可；
（2）構建方程即可解決問題，注意檢驗是否符合題意；
（3）利用二次函數的性質求出y的最大值，設購買了乙種綠色植物a棵，購買了丙種綠色植物b棵，由題意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，可得a+7b＝1500，推出b的最大值為214，此時a＝2，再求出實際植物面積即可判斷．
解：（1）∵AB＝x，
∴BC＝36﹣2x，
y＝x（36﹣2x），
∵0＜36﹣2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）．
（2）由題意：﹣2x2+36x＝160，
解得x1＝10，x2＝8，
∵x2＝8時，36﹣2×8＝20＞18，不符合題意，舍去，
∴x的值為10．
（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴x＝9時，y有最大值162（m2），
設購買了乙種綠色植物a棵，購買了丙種綠色植物b棵，
由題意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值為214，此時a＝2．
需要種植的面積＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，
∴丙種植物最多可以購買214棵，此時這批植物可以全部栽種到這塊空地上．
【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

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