題型一 子彈打木塊模型
1．模型圖示
2．模型特點(diǎn)
(1)子彈水平打進(jìn)木塊的過程中，系統(tǒng)的動量守恒．
(2)系統(tǒng)的機(jī)械能有損失．
3．兩種情景
(1)子彈嵌入木塊中，兩者速度相等，機(jī)械能損失最多(完全非彈性碰撞)
動量守恒：mv0＝(m＋M)v
能量守恒：Q＝Ff·s＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2
(2)子彈穿透木塊
動量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
能量守恒：Q＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－(eq \f(1,2)Mv22＋eq \f(1,2)mv12)
例1 如圖所示，質(zhì)量為M的木塊放在水平面上，子彈沿水平方向射入木塊并留在其中，測出木塊在水平面上滑行的距離為s，已知木塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ，子彈的質(zhì)量為m，重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計(jì)，則子彈射入木塊前的速度大小為( )
A.eq \f(m＋M,m)eq \r(2μgs) B.eq \f(M－m,m)eq \r(2μgs)
C.eq \f(m,m＋M)eq \r(μgs) D.eq \f(m,M－m)eq \r(μgs)
答案 A
解析 子彈射入木塊過程，系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得mv1＝(M＋m)v，解得v＝eq \f(mv1,M＋m)，子彈射入木塊后，二者做勻減速直線運(yùn)動，對子彈與木塊組成的系統(tǒng)，由動能定理得－μ(M＋m)gs＝0－eq \f(1,2)(M＋m)v2，解得v1＝eq \f(M＋m,m)·eq \r(2μgs)，故A正確．
例2 如圖所示，在固定的水平桿上，套有質(zhì)量為m的光滑圓環(huán)，輕繩一端系在環(huán)上，另一端系著質(zhì)量為M的木塊，現(xiàn)有質(zhì)量為m0的子彈以大小為v0的水平速度射入木塊并留在木塊中，重力加速度為g，下列說法正確的是( )
A．子彈射入木塊后的瞬間，速度大小為eq \f(m0v0,m0＋m＋M)
B．子彈射入木塊后的瞬間，繩子拉力等于(M＋m0)g
C．子彈射入木塊后的瞬間，環(huán)對輕桿的壓力大于(M＋m＋m0)g
D．子彈射入木塊之后，圓環(huán)、木塊和子彈構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒
答案 C
解析 子彈射入木塊時(shí)，子彈和木塊系統(tǒng)的動量守恒，則m0v0＝(M＋m0)v1，解得速度大小為v1＝eq \f(m0v0,m0＋M)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；子彈射入木塊后的瞬間，根據(jù)牛頓第二定律可得FT－(M＋m0)g＝(M＋m0)eq \f(v12,l)，可知繩子拉力大于(M＋m0)g，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；子彈射入木塊后的瞬間，對圓環(huán)：FN＝FT＋mg> (M＋m＋m0)g，根據(jù)牛頓第三定律可知，選項(xiàng)C正確；子彈射入木塊之后，圓環(huán)、木塊和子彈構(gòu)成的系統(tǒng)只在水平方向動量守恒，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
例3 如圖所示，在光滑的水平桌面上靜止放置一個(gè)質(zhì)量為980 g的長方形勻質(zhì)木塊，現(xiàn)有一顆質(zhì)量為20 g的子彈以大小為300 m/s的水平速度沿木塊的中心軸線射向木塊，最終留在木塊中沒有射出，和木塊一起以共同的速度運(yùn)動．已知木塊沿子彈運(yùn)動方向的長度為10 cm，子彈打進(jìn)木塊的深度為6 cm.設(shè)木塊對子彈的阻力保持不變．
(1)求子彈和木塊的共同速度以及它們在此過程中所產(chǎn)生的內(nèi)能．
(2)若子彈是以大小為400 m/s的水平速度從同一方向水平射向該木塊，則在射中木塊后能否射穿該木塊？
答案 (1)6 m/s 882 J (2)能
解析 (1)設(shè)子彈射入木塊后與木塊的共同速度為v，對子彈和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得
mv0＝(M＋m)v
解得v＝6 m/s
此過程系統(tǒng)所增加的內(nèi)能ΔE＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2＝882 J.
(2)假設(shè)子彈以v0′＝400 m/s的速度入射時(shí)沒有射穿木塊，則對以子彈和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得mv0′＝(M＋m)v′
解得v′＝8 m/s
此過程系統(tǒng)所損耗的機(jī)械能為
ΔE′＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)(M＋m)v′2＝1 568 J
由功能關(guān)系有ΔE＝F阻x相＝F阻d
ΔE′＝F阻x相′＝F阻d′
則eq \f(ΔE,ΔE′)＝eq \f(F阻d,F阻d′)＝eq \f(d,d′)
解得d′＝eq \f(1 568,147) cm
因?yàn)閐′>10 cm，所以能射穿木塊．
題型二 滑塊—木板模型
1．模型圖示
2．模型特點(diǎn)
(1)系統(tǒng)的動量守恒，但機(jī)械能不守恒，摩擦力與兩者相對位移的乘積等于系統(tǒng)減少的機(jī)械能．
(2)若滑塊未從木板上滑下，當(dāng)兩者速度相同時(shí)，木板速度最大，相對位移最大．
3．求解方法
(1)求速度：根據(jù)動量守恒定律求解，研究對象為一個(gè)系統(tǒng)；
(2)求時(shí)間：根據(jù)動量定理求解，研究對象為一個(gè)物體；
(3)求系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能或相對位移：根據(jù)能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究對象為一個(gè)系統(tǒng)．
例4 (多選)長木板A放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m＝2 kg的另一物體B以水平速度v0＝2 m/s滑上原來靜止的長木板A的上表面，由于A、B間存在摩擦，之后A、B速度隨時(shí)間變化情況如圖所示，g＝10 m/s2.則下列說法正確的是( )
A．木板獲得的動能為1 J
B．系統(tǒng)損失的機(jī)械能為2 J
C．木板A的最小長度為2 m
D．A、B間的動摩擦因數(shù)為0.1
答案 ABD
解析 由題圖可知，最終木板獲得的速度為v＝1 m/s，A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，以B的初速度方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律得mv0＝(M＋m)v，解得M＝2 kg，則木板獲得的動能為Ek＝eq \f(1,2)Mv2＝eq \f(1,2)×2×12 J＝1 J，故A正確；系統(tǒng)損失的機(jī)械能ΔE＝eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)(m＋M)v2，代入數(shù)據(jù)解得ΔE＝2 J，故B正確；根據(jù)v－t圖像中圖線與t軸所圍的面積表示位移，由題圖得到0～1 s內(nèi)B的位移為xB＝eq \f(1,2)×(2＋1)×1 m＝1.5 m，A的位移為xA＝eq \f(1,2)×1×1 m＝0.5 m，則木板A的最小長度為L＝xB－xA＝1 m，故C錯(cuò)誤；由題圖可知，B的加速度a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(1－2,1) m/s2＝－1 m/s2，負(fù)號表示加速度的方向與v0的方向相反，由牛頓第二定律得－μmBg＝mBa，解得μ＝0.1，故D正確．
例5 (2022·山東鄒城市模擬)質(zhì)量為M＝1.0 kg的長木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左運(yùn)動，某時(shí)刻質(zhì)量為m＝0.5 kg的小木塊B以v2＝4 m/s的速度從左端向右滑上長木板，經(jīng)過時(shí)間t＝0.6 s小木塊B相對A靜止，求：
(1)兩者相對靜止時(shí)的運(yùn)動速度v；
(2)從木塊滑上木板到相對木板靜止的過程中，木板A的動量變化量的大??；
(3)小木塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ.
答案 (1)1 m/s，方向水平向右 (2)1.5 kg·m/s (3)0.5
解析 設(shè)水平向右為正方向
(1)從開始到相對靜止，水平方向動量守恒－Mv1＋mv2＝(M＋m)v
解得v＝1 m/s，方向水平向右．
(2)長木板的動量變化量大小Δp＝Mv－(－Mv1)＝1.5 kg·m/s
(3)對小木塊B，根據(jù)動量定理得
－μmgt＝mv－mv2
解得μ＝0.5.
例6 如圖所示，可看成質(zhì)點(diǎn)的A物體疊放在上表面光滑的B物體上，一起以v0的速度沿光滑的水平軌道勻速運(yùn)動，B與靜止在同一光滑水平軌道上的木板C發(fā)生完全非彈性碰撞，B、C的上表面相平且B、C不粘連，A滑上C后恰好能到達(dá)C板的最右端，已知A、B、C質(zhì)量均相等，且為m，木板C長為L，求：
(1)A物體的最終速度的大?。?br>(2)A、C之間的摩擦力的大小；
(3)A在木板C上滑行的時(shí)間t.
答案 (1)eq \f(3,4)v0 (2)eq \f(mv02,16L) (3)eq \f(4L,v0)
解析 (1)B、C碰撞過程中動量守恒，設(shè)B、C碰后的共同速度為v1，以B的初速度方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律得：mv0＝2mv1，
解得：v1＝eq \f(v0,2)，
B、C共速后A以v0的速度滑上C，A滑上C后，B、C脫離，A、C相互作用過程中動量守恒，
設(shè)最終A、C的共同速度為v2，以向右為正方向，由動量守恒定律得：mv0＋mv1＝2mv2，
解得：v2＝eq \f(3,4)v0.
(2)在A、C相互作用過程中，由能量守恒定律得：
FfL＝eq \f(1,2)mv02＋eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)·2mv22，
解得：Ff＝eq \f(mv02,16L).
(3)A與C相互作用過程中，對C由動量定理得：
Fft＝mv2－mv1，
解得：t＝eq \f(4L,v0).
課時(shí)精練
1．質(zhì)量為M的木塊在光滑水平面上以速度v1向右運(yùn)動，質(zhì)量為m的子彈以速度v2水平向左射入木塊，要使木塊停下來，必須使發(fā)射子彈的數(shù)目為(子彈均留在木塊中不穿出)( )
A.eq \f(?M－m?v1,mv2) B.eq \f(Mv1,?M＋m?v2)
C.eq \f(Mv1,mv2) D.eq \f(mv1,Mv2)
答案 C
解析 設(shè)發(fā)射子彈的數(shù)目為n，選擇n顆子彈和木塊組成的系統(tǒng)為研究對象．系統(tǒng)在水平方向所受的合外力為零，滿足動量守恒的條件．以子彈運(yùn)動的方向?yàn)檎较?，由動量守恒定律有：nmv2－Mv1＝0，得n＝eq \f(Mv1,mv2)，所以選項(xiàng)C正確．
2．(多選)如圖所示，質(zhì)量為M的木塊放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射中木塊，并最終留在木塊中與木塊一起以速度v運(yùn)動，已知當(dāng)子彈相對木塊靜止時(shí)，木塊前進(jìn)距離L，子彈進(jìn)入木塊的深度為s，此過程經(jīng)歷的時(shí)間為t.若木塊對子彈的阻力大小Ff視為恒定，則下列關(guān)系式中正確的是( )
A．FfL＝eq \f(1,2)Mv2
B．Fft＝mv0－mv
C．v＝eq \f(mv0,M)
D．Ffs＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv2
答案 AB
解析 由動能定理，對木塊可得FfL＝eq \f(1,2)Mv2，選項(xiàng)A正確；以向右為正方向，由動量定理，對子彈可得－Fft＝mv－mv0，選項(xiàng)B正確；對木塊、子彈整體，根據(jù)動量守恒得mv0＝(M＋m)v，解得v＝eq \f(mv0,M＋m)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)能量守恒定律得Ffs＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
3.(多選)如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的木箱靜止在光滑水平面上，木箱內(nèi)粗糙的底板上放著一個(gè)質(zhì)量為m的小木塊．現(xiàn)使木箱瞬間獲得一個(gè)水平向左的初速度v0，下列說法中正確的是( )
A．最終小木塊和木箱都將靜止
B．最終小木塊和木箱組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為eq \f(Mv02,2)－eq \f(?Mv0?2,2?M＋m?)
C．木箱速度為eq \f(v0,3)時(shí)，小木塊的速度為eq \f(2Mv0,3m)
D．最終小木塊速度為eq \f(Mv0,m)
答案 BC
解析 木箱與木塊組成的系統(tǒng)動量守恒，以木箱的初速度方向?yàn)檎较?，設(shè)最終速度為v1，由動量守恒定律得Mv0＝(m＋M)v1，解得小木塊和木箱最終速度v1＝eq \f(Mv0,m＋M)，故A、D錯(cuò)誤；對整個(gè)過程，由能量守恒定律可得小木塊和木箱組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為ΔE＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v12＝eq \f(Mv02,2)－eq \f(M2v02,2?m＋M?)，故B正確；木箱與木塊組成的系統(tǒng)動量守恒，以木箱的初速度方向?yàn)檎较颍蓜恿渴睾愣傻肕v0＝mv2＋Mv3，木箱速度為v3＝eq \f(v0,3)時(shí)，小木塊的速度為v2＝eq \f(2Mv0,3m)，故C正確．
4.如圖所示，光滑水平面上有一矩形長木板，木板左端放一小物塊，已知木板質(zhì)量大于物塊質(zhì)量，t＝0時(shí)兩者從圖中位置以相同的水平速度v0向右運(yùn)動，碰到右面的豎直擋板后木板以與原來等大反向的速度被反彈回來，運(yùn)動過程中物塊一直未離開木板，則關(guān)于物塊運(yùn)動的速度v隨時(shí)間t變化的圖像可能正確的是( )
答案 A
解析 木板碰到擋板前，物塊與木板一直做勻速運(yùn)動，速度為v0；木板碰到擋板后，物塊向右做勻減速運(yùn)動，速度減至零后向左做勻加速運(yùn)動，木板向左做勻減速運(yùn)動，最終兩者速度相同，設(shè)為v1.設(shè)木板的質(zhì)量為M，物塊的質(zhì)量為m，取向左為正方向，則由動量守恒得：Mv0－mv0＝(M＋m)v1，得v1＝eq \f(M－m,M＋m)v0＜v0，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
5.如圖所示，放在光滑水平面上的矩形滑塊是由不同材料的上、下兩層粘在一起組成的．質(zhì)量為m的子彈(可視為質(zhì)點(diǎn))以速度v水平射向滑塊，若擊中上層，則子彈剛好不穿出；若擊中下層，則子彈嵌入其中部．比較這兩種情況，以下說法中不正確的是( )
A．滑塊對子彈的阻力一樣大
B．子彈對滑塊做的功一樣多
C．滑塊受到的沖量一樣大
D．系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量一樣多
答案 A
解析 最后滑塊與子彈相對靜止，根據(jù)動量守恒定律可知，兩種情況下滑塊和子彈的共同速度相等，根據(jù)能量守恒定律可知，兩種情況下動能的減少量相等，產(chǎn)生的熱量相等，而子彈相對滑塊的位移大小不等，故滑塊對子彈的阻力不一樣大，A錯(cuò)誤，D正確；根據(jù)動能定理可知，滑塊動能的增加量等于子彈對滑塊做的功，因兩種情況下滑塊的動能增加量相等，所以兩種情況下子彈對滑塊做的功一樣多，B正確；因兩種情況下滑塊的動量變化相同，根據(jù)動量定理，兩種情況下滑塊受到的沖量一樣大，C正確．
6.(多選)如圖所示，一質(zhì)量M＝8.0 kg的長方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一個(gè)質(zhì)量m＝2.0 kg的小木塊 A．給A和B以大小均為5.0 m/s、方向相反的初速度，使A開始向左運(yùn)動，B開始向右運(yùn)動，A始終沒有滑離B板，A、B之間的動摩擦因數(shù)是0.5，重力加速度g取10 m/s2.則在整個(gè)過程中，下列說法正確的是( )
A．小木塊A的速度減為零時(shí)，長木板 B 的速度大小為3.75 m/s
B．小木塊A的速度方向一直向左，不可能為零
C．小木塊A與長木板B共速時(shí)速度大小為3 m/s
D．長木板的長度可能為10 m
答案 ACD
解析 木塊與木板組成的系統(tǒng)動量守恒，由于初速度均為v0＝5.0 m/s，所以木板的動量大于小木塊的動量，系統(tǒng)合動量方向向右，所以木塊A先向左做減速運(yùn)動，速度減為零后反向向右做加速運(yùn)動，最后木塊與木板一起做勻速直線運(yùn)動，以向右為正方向，由動量守恒定律得，當(dāng)木塊A的速度減為零時(shí)，Mv0－mv0＝MvB，代入數(shù)據(jù)解得vB＝3.75 m/s，故A正確，B錯(cuò)誤；最終木塊與木板速度相等，根據(jù)動量守恒定律可得Mv0－mv0＝(M＋m)v，代入數(shù)據(jù)解得v＝3 m/s，故C正確；最終木塊與木板相對靜止，一起做勻速直線運(yùn)動，對系統(tǒng)由能量守恒定律可知，eq \f(1,2)Mv02＋eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2＝μmgx，代入數(shù)據(jù)解得x＝8 m，木板的最小長度為8 m，可能為10 m，故D正確．
7.(2022·陜西省西安中學(xué)模擬)如圖所示，質(zhì)量為M的物塊靜止在光滑桌面邊緣，桌面距離水平地面的高度為h，質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入物塊后，沒有從物塊射出．重力加速度為g.求：
(1)物塊落地點(diǎn)離桌面邊緣的水平距離；
(2)子彈射入物塊過程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
答案 (1)eq \f(mv0,M＋m)eq \r(\f(2h,g)) (2)eq \f(Mmv02,2?M＋m?)
解析 (1)設(shè)子彈擊中物塊后，二者共同速度為v1，系統(tǒng)動量守恒mv0＝(m＋M)v1
物塊做平拋運(yùn)動的時(shí)間h＝eq \f(1,2)gt2
物塊落地點(diǎn)離桌面邊緣的水平距離x＝v1t
解得 x＝eq \f(mv0,M＋m)eq \r(\f(2h,g))
(2)對系統(tǒng)，由能量守恒定律得eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)(m＋M)v12＋ΔE
解得ΔE＝eq \f(Mmv02,2?M＋m?).
8．如圖所示，一質(zhì)量m1＝0.45 kg的平板小車靜止在光滑的水平軌道上．車頂右端放一質(zhì)量m2＝0.5 kg的小物塊，小物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，小物塊與小車上表面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.現(xiàn)有一質(zhì)量m0＝0.05 kg的子彈以v0＝100 m/s的水平速度射中小車左端，并留在小車中，子彈與小車相互作用時(shí)間很短．g取10 m/s2，求：
(1)子彈剛射入小車后，小車的速度大小v1；
(2)要使小物塊不脫離小車，小車的長度至少為多少．
答案 (1)10 m/s (2)5 m
解析 (1)子彈射入小車的過程中，子彈與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律得m0v0＝(m0＋m1)v1，解得v1＝10 m/s.
(2)子彈、小車、小物塊組成的系統(tǒng)動量守恒，設(shè)當(dāng)小物塊與車共速時(shí)，共同速度為v2，兩者相對位移大小為L，由動量守恒定律和能量守恒定律有：(m0＋m1)v1＝(m0＋m1＋m2)v2，μm2gL＝eq \f(1,2)(m0＋m1)v12－eq \f(1,2)(m0＋m1＋m2)v22，解得L＝5 m，故要使小物塊不脫離小車，小車的長度至少為5 m.
9．(多選)將一長木板靜止放在光滑的水平面上，如圖甲所示，一個(gè)滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以水平速度v0沿木板從左端向右端滑動，到達(dá)右端時(shí)恰能與木板保持相對靜止，現(xiàn)將木板分成A和B兩段，如圖乙所示，并緊挨著放在水平面上，讓滑塊仍以初速度v0從木板左端向右端滑動，滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)處處相同，在以后的整個(gè)過程中下列說法正確的是( )
A．甲、乙兩圖中，滑塊克服摩擦力做的功一樣多
B．系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量甲圖比乙圖多
C．最終甲、乙兩圖中滑塊受到合外力的沖量相同
D．圖乙過程中滑塊與B一定不會分離
答案 BD
解析 設(shè)滑塊的質(zhì)量為m，A部分的質(zhì)量為M1，B部分的質(zhì)量為M2，則滑塊在木板上運(yùn)動的過程中，系統(tǒng)的動量守恒，選擇向右為正方向，對題圖甲mv0＝(m＋M1＋M2)v，對題圖乙mv0＝M1v1＋(m＋M2)v2，由于滑塊滑過A后，在B上滑動的過程中，滑塊的速度將大于A的速度，則有v1

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