?專(zhuān)題20 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題
一、單選題
1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．若，則是增函數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)
【答案】C
【分析】
對(duì)A,根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可. 由條件可得，則，,所以在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則,將的值代入分別計(jì)算分析，可判斷選項(xiàng)B，C，D
【詳解】
對(duì)A, 的定義域?yàn)?且
.故A正確.
由條件可得，則，
所以在上單調(diào)遞增,且
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則
對(duì)B, 當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)，故B正確.
對(duì)C,當(dāng)時(shí)，由上可知, ，
所以是增函數(shù),故不可能有3個(gè)零點(diǎn).故C錯(cuò)誤.
對(duì)D,當(dāng)時(shí)，，由上可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則，，
所以存在，使得，成立
則在上，，在上，，在上，.
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性從而得出函數(shù)的零點(diǎn)和極值情況，解答本題的關(guān)鍵是對(duì)原函數(shù)的單調(diào)性分析，由條件可得，則，所以在上單調(diào)遞增,且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，經(jīng)過(guò)多次求導(dǎo)分析出單調(diào)性，屬于中檔題.
2．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
通過(guò)讀圖由取值符號(hào)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，得出答案．
【詳解】
由圖象，設(shè)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、其中，

知在，上，
所以此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
在上，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，函數(shù)取得極大值，時(shí)，函數(shù)取得極小值．
則函數(shù)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．
故選: B
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分四種情況討論，分別判斷兩邊導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)，判斷在處是否取得極大值，即可篩選出的取值范圍.
【詳解】
由在處取得極大值可知，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
其等價(jià)于①存在，使得，
且②存在，使得；
若時(shí)，的解集為，不滿足②即不存在，使得，故時(shí)在不是極大值；
若時(shí)，的解集為，的解集為，滿足①②，故時(shí)，在處取得極大值；
若，恒小于等于0，不滿足①，故時(shí)，在取不到極大值；
若時(shí)，的解集為，不滿足②，故時(shí)，在處取不到極大值.
綜上，的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
求函數(shù)極值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù)；(3) 解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.
4．若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最多1個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可.
【詳解】
,
，
由函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)知，
至多1個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
解得，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.
5．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)得到關(guān)于的方程有兩個(gè)解，采用分離常數(shù)的方法分離出，并采用構(gòu)造新函數(shù)的方法確定出新函數(shù)的取值情況，由此分析出的取值情況.
【詳解】
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
所以有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，顯然，
所以有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記，，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又因?yàn)闀r(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí) ，
所以，所以，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，其中涉及到分離參數(shù)方法的使用，對(duì)學(xué)生的理解與計(jì)算能力要求較高，難度較難.
6．“”是“函數(shù)在上有極值”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
求出函數(shù)的極值點(diǎn)，利用該極值點(diǎn)在內(nèi)求得實(shí)數(shù)取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可得出結(jié)論.
【詳解】
，則，令，可得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在處取得極小值.
若函數(shù)在上有極值，則，.
因此，“”是“函數(shù)在上有極值”的充分不必要條件.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.
7．已知函數(shù)，若同時(shí)滿足條件：①，為的一個(gè)極大值點(diǎn)；②，.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
條件①說(shuō)明在上存在零點(diǎn)，極大值點(diǎn)，利用方程的根可得的范圍，然后求出條件②不等式恒成立的范圍，求交集可得的范圍．
【詳解】
定義域是，
，在存在極大值點(diǎn)，則有兩個(gè)不等實(shí)根，，或，
設(shè)的兩個(gè)實(shí)根為，
或時(shí)，，時(shí)，，
當(dāng)，，則，但時(shí)，，不可能是極大值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由知，，或時(shí)，，時(shí)，．即在和上遞增，在上遞減，是極大值點(diǎn)，滿足題意．
所以．
，則，∵，∴，∴．
綜上．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，及不等式恒成立問(wèn)題，求解不等式恒成立問(wèn)題的方法是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．
8．若函數(shù)（為常數(shù)）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先求導(dǎo)得到，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，即可得到答案.
【詳解】
，函數(shù)（為常數(shù)）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，
則，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù)，
所以，故.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，屬于中檔題.
9．已知函數(shù)在處取得極值，則（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】C
【分析】
利用列方程，解方程求得的值.
【詳解】
，依題意，即.
此時(shí)，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以在處取得極大值，符合題意.
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、極值，屬于基礎(chǔ)題.
10．設(shè)函數(shù)，則下列是函數(shù)極小值點(diǎn)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
將函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由于在的左側(cè)，導(dǎo)函數(shù)值小于，右側(cè)導(dǎo)函數(shù)值大于，得到是函數(shù)極小值點(diǎn).
【詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
是的極小值點(diǎn).
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，關(guān)鍵是能夠明確極值點(diǎn)的定義，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值點(diǎn).
11．函數(shù)的圖象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，并求得極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可排除AD；再由時(shí)，恒為正，排除C即可得解.
【詳解】
函數(shù)，
則，令，
解得的兩個(gè)極值點(diǎn)為，故排除AD，
且當(dāng)時(shí)，恒為正，排除C，
即只有B選項(xiàng)符合要求，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
12．已函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)是和，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓弧 B．圓弧 C．雙曲線弧 D．拋物線弧
【答案】D
【分析】
根據(jù)極值點(diǎn)的定義把用表示后，消去得關(guān)于的方程，由方程確定曲線．
【詳解】
由題意，所以是方程的兩根，所以且，所以，，
所以點(diǎn)在曲線上，還要滿足，軌跡為拋物線?。?br /> 故選:D
【點(diǎn)睛】
本題考查值點(diǎn)的定義，考查由方程研究曲線，掌握極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解題基礎(chǔ)．在由方程研究曲線時(shí)，注意方程中變量的取值范圍．
13．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意得到，即可得到答案.
【詳解】
由，則，則.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.
14．已知函數(shù)，則）的極大值點(diǎn)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)大于0以及小于0的解，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn).
【詳解】
解：由，
得：.
由，得：，或.
由，得：.
所以函數(shù)的增區(qū)間為.函數(shù)的減區(qū)間為.
所以，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查求具體函數(shù)的極值點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是區(qū)分極值點(diǎn)和極值的定義，屬于基礎(chǔ)題.
15．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
計(jì)算，然后等價(jià)于在（0，+∞）由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后計(jì)算即可.
【詳解】
的定義域是（0，+∞），
，
若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
則在（0，+∞）由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
故，解得：，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參，考查計(jì)算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.

二、多選題
16．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A． B．是的極值點(diǎn)
C．存在零點(diǎn) D．在單調(diào)遞增
【答案】AD
【分析】
求出定義域，再求導(dǎo)，計(jì)算即可判斷A，由導(dǎo)函數(shù)，即可判斷選項(xiàng)B、D，由，即可判斷選項(xiàng)C，從而可得結(jié)論．
【詳解】
由題可知的定義域?yàn)椋?br /> 對(duì)于A，，則，故A正確；
對(duì)于B、D，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，故無(wú)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確；
對(duì)于C，，故函數(shù)不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．
故選：AD．
17．關(guān)于函數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為
B．當(dāng)時(shí)，存在惟一極小值點(diǎn)
C．對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)
D．存在，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【分析】
逐一驗(yàn)證，選項(xiàng)A，通過(guò)切點(diǎn)求切線，再通過(guò)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；選項(xiàng)B，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并判斷極值范圍，選項(xiàng)C、D，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【詳解】
對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，，
所以，故切點(diǎn)為，
，所以切線斜，
故直線方程為，
即切線方程為：，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，，
，恒成立，
所以單調(diào)遞增，又，
，
所以存在，使得，
即，則在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增，
所以存在惟一極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于 C、D：,，
令得：，
則令，，
，令，
得：，，，
由函數(shù)圖象性質(zhì)知：
時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，，時(shí)，取得極小值，
即當(dāng)時(shí)，取得極小值，
又 ，即,
又因?yàn)樵?，單調(diào)遞減，
所以，
所以，，時(shí)，取得極大值，
即當(dāng) 時(shí)，取得極大值.
又，即，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，
在上無(wú)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C不正確；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
即存在，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的極值、切線、零點(diǎn)的問(wèn)題，屬于較難題.
18．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．是偶函數(shù)
B．是周期函數(shù)
C．在區(qū)間上，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)
D．過(guò)(0，0)作的切線，有且僅有3條
【答案】ACD
【分析】
利用函數(shù)的奇偶性的定義易知函數(shù)為偶函數(shù)，所以A正確；根據(jù)周期性的定義可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，易知有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，C正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程可知D正確．
【詳解】
對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，顯然，所以函數(shù)是偶函數(shù)，正確；
對(duì)于B，若存在非零常數(shù)，使得，令，則，即，令，則，因?yàn)?，所以，即或．若，則，解得，舍去；若，則，解得，所以若存在非零常數(shù)，使得，則．
即，令，則，而，，不符合題意．故不存在非零常數(shù)，使得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C ，，，，，
當(dāng)，，故單減，
又，，故在上有且僅有一個(gè)解，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為，
將 (0，0) 代入，得，解得或，．
若，則切線方程為；若，則，D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，周期性的定義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于中檔題．
19．已知.（ ）
A．的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3
C．x軸為曲線的切線 D．若，則
【答案】BC
【分析】
首先根據(jù)得到，分別畫(huà)出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】
，令，得到.
分別畫(huà)出和的圖像，如圖所示：

由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.
所以，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù).
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，
當(dāng)時(shí)，取得極大值為，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.
因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.
因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，
所以存在，滿足，且，
顯然，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.
20．設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．定義域是 B．時(shí)，圖象位于軸下方
C．存在單調(diào)遞增區(qū)間 D．有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)
【答案】BCD
【分析】
求出函數(shù)定義域判斷A，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)判斷B，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)的增區(qū)間，判斷C，由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得極值，判斷D．
【詳解】
由題意，函數(shù)滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不正確；
由，當(dāng)時(shí)，，∴，所以在上的圖象都在軸的下方，所以B正確；
∵，所以在定義域上有解，所以函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；
由，則，所以，函數(shù)單調(diào)增，則函數(shù)只有一個(gè)根，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個(gè)極小值，所以D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】
本題考查求函數(shù)的定義域，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，掌握極值的定義，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
三、解答題
21．已知函數(shù).
(1)若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）先求導(dǎo)，令，則.令，解不等式組即得解；
（2）只需證，設(shè)，函數(shù)，證明即得證.
【詳解】
(1)解：，
令，則.令，
要使函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則需滿足，即；
(2)證明：因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以即
不妨假設(shè)，則
要證，即要證，
只需證，
只需證，
即證
設(shè)，函數(shù)，
因?yàn)椋?，所以，即?br /> 故在上單調(diào)遞減，則
又因?yàn)?，所以，即?br /> 從而得證.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)分析得到只需證明.對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們可以通過(guò)分析把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，再證明，提高解題效率.
22．已知函數(shù)．
（1）若是奇函數(shù)，且有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若在處有極大值，求當(dāng)時(shí)的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由函數(shù)奇偶性，得到，得出，對(duì)其求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求出結(jié)果；
（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極大值求出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出值域.
【詳解】
（1）∵是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且．
∴，
∴．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
在上只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵在上有三個(gè)零點(diǎn)，∴且，
即，即，
而恒成立，∴．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2），
由已知可得，且，
解得或
當(dāng)，時(shí)，
，，
令，即，解得，
令，即，解得或，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
所以是的極小值點(diǎn)，與題意不符．
當(dāng)，時(shí)，，．
令，即，解得；
令，即，解得或，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意，故，．
又∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，，．
所以在上的值域?yàn)椋?br /> 【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，根據(jù)函數(shù)極值的定義，求出函數(shù)的的極值，再根據(jù)函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定極值的取值情況，進(jìn)而可得出結(jié)果.
23．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)a>0，求證；函數(shù)在上存在唯一的極大值點(diǎn)，且.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（2）設(shè)，則，分，討論，通過(guò)研究的最小值求解；
（3）求得，令得到，通正切函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得極值點(diǎn)．將證明轉(zhuǎn)化為證明，令，則，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可．
【詳解】
（1）證明：設(shè)，則，
從而在為增函數(shù)．所以，
故當(dāng)時(shí)，成立；
（2）解：設(shè)，則，
考慮到當(dāng)時(shí)，，
（?。┊?dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，
從而，此時(shí)適合題意．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，從而在上是減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，這與“當(dāng)時(shí)，恒成立”矛盾．故此時(shí)不適合題意．
由（?。áⅲ┑盟髮?shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）證明：，
令，得，當(dāng)時(shí)，可化為，
由正切函數(shù)的性質(zhì)及，得在內(nèi)必存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)：
當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，
所以是的極大值點(diǎn)．且的極大值為．
下面證明：．
當(dāng)時(shí)，由（1）知，由（2）易證．
所以，從而．
下面證明：．令，則，
即證，即證．
令，則，
從而在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)，，即．
故成立．
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.
24．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.
（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求證:.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）先求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成和兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）求得的表達(dá)式，求得，利用根與系數(shù)關(guān)系得到的關(guān)系式以及的取值范圍，將表示為只含的形式，利用構(gòu)造函數(shù)法求得的最小值，從而證得不等式成立.
【詳解】
(1)由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令，得.
若，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
若，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)，，
.
由得，
，，.
，，
，解得.
.
設(shè)，
則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，.
時(shí)，成立.
【點(diǎn)睛】
求解含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性題，求導(dǎo)后要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式進(jìn)行分類(lèi)討論.
25．已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）先求導(dǎo)得，然后針對(duì)的根的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，得出和時(shí)的取值范圍，從而解出單調(diào)遞增 區(qū)間和遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，然后利用韋達(dá)定理得出，，再將，帶入中，結(jié)合韋達(dá)定理將化為關(guān)于的式子得：，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性及最值，得出在上的值域，從而得出的取值范圍.
【詳解】
解：（1）由題意得，，.
令.(分類(lèi)討論的依據(jù)：結(jié)合二次函數(shù)在上的圖像來(lái)進(jìn)行討論)
①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則，
所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.
（2）由（1）知：時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)且為方程的兩根，

.
.

令，則.
令則，
所以在上單調(diào)遞減.又，
所以在上恒成立，即所以.
所以在上為增函數(shù).所以.
，所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題考查討論含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的綜合問(wèn)題，難度較大.解答的一般思路如下：
（1）分析清楚當(dāng)原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)參數(shù)的取值范圍，并利用韋達(dá)定理得出，與的關(guān)系式；
（2）將，代入目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中，利用（1）中，的值將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使目標(biāo)函數(shù)變?yōu)橹缓慕馕鍪剑?br /> （3）構(gòu)造函數(shù)并討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而得出答案.
26．已知函數(shù)，是偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值以及對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)．
（2）若函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的極大值為，另一個(gè)極大值點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的極大值為；函數(shù)極小值點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的極小值為；（2）．
【分析】
(1)求出的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求出，從而可確定的解析式，求出導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.
(2)結(jié)合第一問(wèn)可得的解析式，從而可求出，由的單調(diào)性可得在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出在上的最小值，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：（1）∵，∴，
∴，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
∴，解得，∴，則，
∴，
由，解得或；由，解得或；
∴在，單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減．
∴函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的極大值為，
另一個(gè)極大值點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的極大值為；
函數(shù)極小值點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的極小值為.
（2）由（1）知，∴，∴，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
∴在上恒成立，即 在上恒成立，
設(shè)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
則，所以.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：
已知奇偶性求函數(shù)解析式時(shí)，常用方法有：一、結(jié)合奇偶性的定義，若已知偶函數(shù)，則，若已知奇函數(shù)，則，從而可求出函數(shù)解析式；二、由奇偶性的性質(zhì)，即偶函數(shù)加偶函數(shù)結(jié)果也是偶函數(shù)，奇函數(shù)加奇函數(shù)結(jié)果也是奇函數(shù).
27．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且.
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求b的取值范圍，并證明過(guò)兩點(diǎn)，的直線m恒過(guò)定點(diǎn)，且求出該定點(diǎn)坐標(biāo)
（3）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在R上只有一個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）；（2）；證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)；（3）證明見(jiàn)解析.
【分析】
(1)由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得a的值；
(2)由題設(shè)知，是方程的兩個(gè)根，得，化簡(jiǎn)，同理可得，因此，直線m的方程是，整理可得定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)先得出，分和兩種情況研究零點(diǎn)即可.
【詳解】
解：(1)因?yàn)椋?br /> 所以，代入，得，
解得；
(2)因?yàn)?，所以，由題設(shè)知，
是方程的兩個(gè)根，故有，解得，
因?yàn)椋?br /> ，
同理可得，
過(guò)兩點(diǎn)，的直線m的方程是，
即，由，解得，
所以直線m橫過(guò)定點(diǎn)；
(3)由(1)可知，
，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br /> 故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，
且的圖像在區(qū)間是不間斷的，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，從而，故在上不存在零點(diǎn).
綜上，在R上有唯一零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題，是較難題.
方法點(diǎn)睛：
求直線所過(guò)定點(diǎn)時(shí)，一般將直線方程轉(zhuǎn)化整理成的形式，令，解方程組后即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
28．設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若曲線在的切線方程為，求a，b的值；
（2）若在處取得極值，求a的值；
（3）若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，，計(jì)算整理，即可求得a，b的值；
（2）令，即可求得a的值，檢驗(yàn)可得為極值點(diǎn)，即可得答案；
（3）令，解得，，分別求得和時(shí)，的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題意，分析推理，即可得答案.
【詳解】
（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
由題設(shè)可得，，
解得，.
（2）因?yàn)樵谌〉脴O值，
所以，解得.
當(dāng)時(shí)，，
令，解得x=1或3，
所以為的極值點(diǎn)，故滿足題意.
（3）令，
得，.
當(dāng)時(shí)，若，則，
所以在和上為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)恒成立.
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，若，則，
所以在和上為增函數(shù)，
從而在上也為增函數(shù)，滿足題意.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)問(wèn)題，考查計(jì)算求值，分類(lèi)討論的能力，屬中檔題.
29．已知函數(shù).其中為常數(shù).
（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）已知，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定的正負(fù)，得的單調(diào)性，從而得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）求得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍，設(shè)，則，，
引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定它是減函數(shù)，得，然后利用，再結(jié)合的單調(diào)性得出證明．
【詳解】
（1），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以此時(shí)只有一個(gè)極值點(diǎn)．

（2）由（1）知
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，，，
又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
令，則，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，即，所以，
所以，
又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).
所以滿足題意.
不妨設(shè)，則，，
令，
則，
，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
又，，且在上單調(diào)遞增，
所以，故得證.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)，證明不等式．難點(diǎn)是不等式的證明，首先由零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出參數(shù)范圍，在不妨設(shè)，則，后關(guān)鍵是引入函數(shù)，同樣用導(dǎo)數(shù)得出它的單調(diào)性，目的是證得，然后利用這個(gè)不等關(guān)系變形的單調(diào)性得結(jié)論．
30．已知函數(shù).
（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）若是的極大值點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則，再令，則，得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出函數(shù)的單調(diào)性，繼而判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可得出函數(shù)的單調(diào)性，可得證；
（2）分兩種情況和，分別討論得出函數(shù)的單調(diào)性，由已知可得出正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
（1）由題知，，
令，則，
若，當(dāng)時(shí)，
，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增；
所以.
（2）①若，由（1）知：在上單調(diào)遞增；
因此不可能是的極大值點(diǎn).
②若，令，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以即在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?，?br /> 因此存在滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)是的極大值點(diǎn)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】
本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，由其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出原函數(shù)的單調(diào)性，及其圖象趨勢(shì)，從而可得出所研究的函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)等相關(guān)的問(wèn)題，屬于難度題.


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