?專(zhuān)題26 構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題
一、多選題
1．函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上為增函數(shù)，再令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可求得，可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
由，可得，即，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
令，其中，.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，.
若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則.
所以，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，即，，
所以，ABC選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程（或不等式）組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一.
2．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)
C．函數(shù)必有2個(gè)零點(diǎn) D．
【答案】BD
【分析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可判斷選項(xiàng)A，B；根據(jù)極小值的大小可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷選項(xiàng)C；利用在上為增函數(shù)，比較與的大小關(guān)系，判斷出選項(xiàng)D．
【詳解】
函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，故是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，B正確；
若，則有兩個(gè)零點(diǎn)，
若，則有一個(gè)零點(diǎn)，
若，則沒(méi)有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
在上為增函數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，D正確；
故選：BD
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題．
3．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
先構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：令函數(shù)，因?yàn)椋?br /> ，
為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減．
存在，
得，，即，
；，
為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，
由選項(xiàng)知，取，
又，
要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，
只需使，
解得，
的取值范圍為，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中檔題．
4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)恒成立，則下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
先設(shè)，，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，分別判斷設(shè)和的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，，，
則，.
因?yàn)閷?duì)恒成立，
所以，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，，
即，即.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于?？碱}型.
5．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，，且，則（ ）
A． B．在處取得極大值
C． D．在單調(diào)遞增
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)題意可設(shè)，根據(jù)求，再求判斷單調(diào)性求極值即可.
【詳解】
∵函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，
即滿足
∵
∴
∴可設(shè)（為常數(shù)）
∴
∵，解得
∴
∴，滿足
∴C正確
∵，且僅有
∴B錯(cuò)誤，A、D正確
故選：ACD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，屬于中檔題.
6．若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱(chēng)此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（ ）
A．在內(nèi)單調(diào)遞增；
B．和之間存在“隔離直線”，且的最小值為；
C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；
D．和之間存在唯一的“隔離直線”.
【答案】ABD
【分析】
令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，得到正確；
設(shè)，的隔離直線為，根據(jù)隔離直線定義可得不等式組對(duì)任意恒成立；分別在和兩種情況下討論滿足的條件，進(jìn)而求得的范圍，得到正確，錯(cuò)誤；
根據(jù)隔離直線過(guò)和的公共點(diǎn)，可假設(shè)隔離直線為；分別討論、和時(shí)，是否滿足恒成立，從而確定，再令，利用導(dǎo)數(shù)可證得恒成立，由此可確定隔離直線，則正確.
【詳解】
對(duì)于，，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，在內(nèi)單調(diào)遞增，
正確；
對(duì)于，設(shè)，的隔離直線為，
則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.
由對(duì)任意恒成立得：.
⑴若，則有符合題意；
⑵若則有對(duì)任意恒成立，
的對(duì)稱(chēng)軸為，，；
又的對(duì)稱(chēng)軸為，；
即，，；
同理可得：，；
綜上所述：，，正確，錯(cuò)誤；
對(duì)于，函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，
若存在和的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn).
設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，
則恒成立，
若，則不恒成立.
若，令，對(duì)稱(chēng)軸為
在上單調(diào)遞增，
又，故時(shí)，不恒成立.
若，對(duì)稱(chēng)軸為，
若恒成立，則，解得：.
此時(shí)直線方程為：，
下面證明，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，取到極小值，也是最小值，即，
，即，
函數(shù)和存在唯一的隔離直線，正確.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠充分理解隔離直線的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍或參數(shù)值、或不等式的證明問(wèn)題；難點(diǎn)在于能夠?qū)χ本€斜率范圍進(jìn)行準(zhǔn)確的分類(lèi)討論，屬于難題.
7．已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則　　
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
根據(jù)題意，令，，對(duì)其求導(dǎo)分析可得，即函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)分析可得答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，令，，則其導(dǎo)數(shù)，
又由，且恒有，
則有，
即函數(shù)為減函數(shù)，又由，則有，
即，分析可得；
又由，則有，
即，分析可得．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，注意構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，屬于中檔題．

二、單選題
8．已知數(shù)列滿足，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）(選項(xiàng)中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，大約為)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由已知判斷出，再根據(jù)得到，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出最小值大于0，從而得到答案.
【詳解】
由得，
設(shè)，
，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故，則，
所以， ，
由得易得，
記，所以，記，，
當(dāng)即得時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)即得時(shí)單調(diào)遞減，
所以，得，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力，計(jì)算能力，構(gòu)造函數(shù)解題是關(guān)鍵.
9．已知函數(shù)且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)條件變形可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化恒成立，即可求解.
【詳解】
不妨設(shè)可得
令則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上恒成立，

當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
而，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，
所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中恒成立，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)遞減是解題的關(guān)鍵，突破此點(diǎn)后，利用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)就可求解.
10．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)條件可變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用其為增函數(shù)即可求解.
【詳解】
根據(jù)可知，
令
由知為增函數(shù)，
所以恒成立，
分離參數(shù)得，
而當(dāng)時(shí)，在時(shí)有最大值為，
故.
故選：D
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題由條件恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)此式知函數(shù)為增函數(shù),考查了推理分析能力，屬于中檔題.
11．已知是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，又，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，構(gòu)造新函數(shù)，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義得出是定義在上的奇函數(shù)，最后由，得出，所以，從而可求出的解集，即的解集.
【詳解】
解：由題可知，當(dāng)時(shí)，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，
所以，
得也是定義在上的奇函數(shù)，
所以在和上單調(diào)遞增，
又，則，所以，
所以可知時(shí)，解得：或，
則，即，即，
所以的解集為：，
即的解集為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，是解題的關(guān)鍵.
12．已知偶函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
試題分析：令,因,故由題設(shè)可得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù).又因,故,即,所以,故應(yīng)選D.
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性方面的運(yùn)用.
【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題將導(dǎo)數(shù)的知識(shí)和函數(shù)的單調(diào)性及不等式的解法等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.求解時(shí),先將巧妙地構(gòu)造函數(shù),再運(yùn)用求導(dǎo)法則求得,故由題設(shè)可得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù).再運(yùn)用檢驗(yàn)的方法逐一驗(yàn)證四個(gè)答案的真?zhèn)?從而使得問(wèn)題獲解.

13．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】
令，則，所以單調(diào)遞增，
因?yàn)椋约矗?br /> 又為奇函數(shù)，所以，
所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
14．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，分析的單調(diào)性并計(jì)算的值，將轉(zhuǎn)化為，由此求解出不等式的解集.
【詳解】
設(shè)，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以在上單調(diào)遞減，且，
又因?yàn)榈葍r(jià)于，
所以解集為，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有關(guān)的不等式構(gòu)造抽象函數(shù)求不等式解集問(wèn)題，解答問(wèn)題關(guān)鍵是能根據(jù)條件構(gòu)造出合適的抽象函數(shù)，難度較難.常見(jiàn)的構(gòu)造方法：（1）若出現(xiàn)形式，可考慮構(gòu)造；（2）若出現(xiàn)，可考慮構(gòu)造；（3）若出現(xiàn)，可考慮構(gòu)造；（4）若出現(xiàn)，可考慮構(gòu)造.
15．若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到，則有解．再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步求得的取值范圍．
【詳解】
在點(diǎn)的切線斜率為，
在點(diǎn)的切線斜率為，
如果兩個(gè)曲線存在公共切線，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
則有解，
由，的圖象有公共點(diǎn)即可．
當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則
，且，可得
即有切點(diǎn)，，故的取值范圍是：．
故選:.
【點(diǎn)睛】
本題利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，是中檔題．
16．丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)不等式進(jìn)行求解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值即可．
【詳解】
，
，
，
在上為“凸函數(shù)”，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
在上單調(diào)遞增，
，
，
即.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．
17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù).若，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本題為含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，由聯(lián)想到構(gòu)造，對(duì)其求導(dǎo)，從而判斷出該函數(shù)的單調(diào)性.又由得出，不等式等價(jià)于，將其轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性就可得出不等式的解集.
【詳解】
設(shè)，則.
∵，
∴，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.
∵，∴，
∴不等式等價(jià)于，
即，解得.
故不等式的解集為.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，常見(jiàn)的構(gòu)造法如下：
（1）關(guān)系式為“加”型，常構(gòu)造為乘法
①，構(gòu)造，，
②，構(gòu)造，，
③，構(gòu)造，；
（2）關(guān)系式為“減”型，常構(gòu)造為除法
①，構(gòu)造，，
②，構(gòu)造，，
③，構(gòu)造，.
18．函數(shù)，，，對(duì)任意的，都有成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
結(jié)合已知條件分析，需要構(gòu)造函數(shù),通過(guò)條件可得到,在R上為增函數(shù)，利用單調(diào)性比較，即可得出答案．
【詳解】
設(shè)，則，∴在上為增函數(shù)，
，
而，即，∴.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用之解抽象不等式，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)提出所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題.
19．已知函數(shù)，若不等式對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
由已知條件可得對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，令，，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性，可得恒成立，令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得的最大值，進(jìn)而得到的范圍．
【詳解】
解：不等式對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，即對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，
令，，因?yàn)椋?br /> 所以在，上遞減，所以，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，
令，則，由，可得；，可得．
所以在上遞增，在上遞減．所以（1），所以．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查不等式恒成立問(wèn)題解法，注意構(gòu)造法的運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
20．定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，若?x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，則使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D
【分析】
根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的取值范圍，并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱(chēng)性，求出的取值范圍．
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，由可知：兩邊同乘以得：

設(shè)：
則，恒成立：
在單調(diào)遞減，
由

即
即；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：
綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍為，，，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
主要根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，函數(shù)求導(dǎo)，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
21．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由已知得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解抽象不等式，可得選項(xiàng).
【詳解】
設(shè)，
∵，即，即，故是奇函數(shù)，
由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).
∵在上有，∴，
故在單調(diào)遞增，
又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求解抽象不等式的問(wèn)題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于較難題.
22．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]
【答案】A
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為單調(diào)遞增函數(shù)，將原不等式化為，根據(jù)單調(diào)性可解得結(jié)果.
【詳解】
構(gòu)造，
則

，
所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
又，所以不等式等價(jià)于等價(jià)于，所以，故原不等式的解集為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.
23．已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且，對(duì)于恒成立，則下列不等關(guān)系正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后易證得在上單調(diào)遞減，從而有，，，故而得解．
【詳解】
設(shè)，
則，
，
，
即在上單調(diào)遞減，
，
即，
即，故選項(xiàng)A不正確；
，
即，
即，故選項(xiàng)D不正確；
，
即，即．
故選項(xiàng)B不正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分析能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
24．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，對(duì)均有成立，且，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性解不等式.
【詳解】
原不等式等價(jià)于，令，
則恒成立，在上是增函數(shù)，
又，，原不等式為，解得，故選.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
25．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后可證明在上單調(diào)遞增，而不等式可等價(jià)于，故，解之即可.
【詳解】
令，則，
∵定義域?yàn)椋遥?br /> ，在上單調(diào)遞增，
不等式等價(jià)于，
，
解得
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.
26．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(-1)=3，對(duì)任意x∈R，f′(x)>3，則f(x)>3x+6的解集為（ ）
A．(-1，+∞) B．(-1，1) C．(-∞，-1) D．(-∞，+∞)
【答案】A
【分析】
首先設(shè)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)解不等式.
【詳解】
設(shè)函數(shù)，，
，，
函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且，
，
的解集是.
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式，重點(diǎn)考查構(gòu)造函數(shù)，推理能力，屬于基礎(chǔ)題型.
27．奇函數(shù)定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是.當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
令，則，函數(shù)是定義域當(dāng)(內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由于關(guān)于的不等式可化為，即，則；而當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式可化為，即，也即可得，即．所以原不等式的解集，應(yīng)選答案D．
點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于如何將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，這不僅需要有一定的知識(shí)作支撐，同時(shí)還要具有較高思維能力和觀察能力．求解時(shí)，先通過(guò)觀察構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，運(yùn)用題設(shè)確定其單調(diào)遞減，然后將原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而使得問(wèn)題巧妙獲解．
28．若對(duì)任意的，，，恒成立，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，只需使在上遞減，則在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)椋?，則可化為，
整理得，因?yàn)椋裕?br /> 令，則函數(shù)在上遞減，
則在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，則在上恒成立，
則在上遞減，所以，
故只需滿足：.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題，考查構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，難度較大. 解答時(shí)，針對(duì)原式進(jìn)行等價(jià)變形是關(guān)鍵.
29．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，恒成立，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，則根據(jù)題目條件可知在上成立，則在上單調(diào)遞減，又可證得為偶函數(shù)，所以在遞增. 根據(jù)可得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，利用不等式等價(jià)于或求解.
【詳解】
設(shè)，則，
∵當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
∴，即在上單調(diào)遞減.
又函數(shù)是奇函數(shù)，∴，
∴函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增.
∵，∴.
∴當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，.
不等式等價(jià)于或，
∴或.
∴不等式的解集為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合求解不等式問(wèn)題，難度一般,解答時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵.
30．已知、，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出該函數(shù)的極小值，由題意得出，進(jìn)而可得，可得出，令，由可得出，構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，由此可求得的取值范圍.
【詳解】
且，，，
則方程必有兩個(gè)不等的實(shí)根、，設(shè)，
由韋達(dá)定理得，，則必有，且，①
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.
由于，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，②
聯(lián)立①②得，可得，所以，，
令，令，則，
，解得，
.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求代數(shù)式的取值范圍，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.
31．定義在R上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
設(shè)，求導(dǎo)并利用可得在R上單調(diào)遞減，根據(jù)可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以在R上單調(diào)遞減，則，即，
故．
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.
32．已知函數(shù)，其中，若對(duì)于任意的，且，都有成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知將原不等式等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)在上恒成立，運(yùn)用參變分離可得選項(xiàng)．
【詳解】
∵對(duì)于任意的，且，都有成立，
∴不等式等價(jià)為恒成立，
令，則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)；
，則在上恒成立；
∴；即恒成立，
令，∴；
∴在上為增函數(shù)；∴；∴；
∴.
∴的取值范圍是.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立的問(wèn)題，構(gòu)造合適的函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題．
33．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，由是定義在上的偶函數(shù)可推出是定義在上的奇函數(shù)，故在上也單調(diào)遞增，且.而不等式的解可等價(jià)于即的解，從而得解.
【詳解】
解：設(shè)，，則，
∵當(dāng)時(shí)，有恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
∵是定義在上的偶函數(shù)，
∴，即是定義在上的奇函數(shù)，
∴在上也單調(diào)遞增.
又，∴，∴.
不等式的解可等價(jià)于即的解，
∴或，
∴不等式的解集為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，利用了構(gòu)造思想，導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用，屬于中檔題．
三、解答題
34．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，證明：.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）先求解出，然后根據(jù)與的關(guān)系作分類(lèi)討論，由此分析出的單調(diào)性；
（2）根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)分析出滿足的不等式，將待證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)證明成立，從而完成證明.
【詳解】
（1）解：因?yàn)?，所?
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí)，由得；由得.
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）證明：因?yàn)?，所以，?br /> 即.
設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
由題意不妨設(shè)，欲證，只需證.
又，，在上單調(diào)遞增.
故只需證.
因?yàn)?，所以只需證對(duì)任意的恒成立即可，
即.
整理得，
即.
設(shè)，，
則.
因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，
則.
所以成立.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一般思路：
（1）將待證明的不等式進(jìn)行變形，使其一邊含有未知數(shù)，另一邊為；
（2）構(gòu)造關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)（函數(shù)盡量容易求導(dǎo)），分析函數(shù)的單調(diào)性以及最值；
（3）通過(guò)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值，確定出函數(shù)與的關(guān)系，從而達(dá)到證明不等式的目的.
35．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求實(shí)數(shù)，的值﹔
（2）若函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).
【分析】
（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可得解；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按照、分類(lèi)；當(dāng)時(shí)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可得、，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解.
【詳解】
（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
由題意知，即，解得；
（2）由題意知，則，
令，解得，，
（i）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故函?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，
又，構(gòu)造函數(shù)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，
所以，所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
所以，使得，
所以當(dāng)時(shí)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)合理放縮，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解.
36．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，曲線在點(diǎn)?()處的切線分別為?，且?在y軸上的截距分別為?.若，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按照、分類(lèi)，求得、的解集即可得解；
（2）由極值點(diǎn)的性質(zhì)可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得、及，轉(zhuǎn)化條件為，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.
【詳解】
（1）由題意，，
，，∴，
①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）∵是的極值點(diǎn)，∴，即，
解得或（舍），
此時(shí)，，
方程為，
令，得，
同理可得，
，，整理得：，，
又，則，解得，
，
令，則，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，
又，，，
即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，再構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.
37．設(shè)函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）如果對(duì)于任意的，都有成立，試求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)分和兩種情況，分別分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，運(yùn)用不等式恒成立思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最大值，可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng) 時(shí)，，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 則 ，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時(shí)，函數(shù)在 單調(diào)遞減，在上遞增；
（2）由已知得，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，所以函數(shù)在上的最大值為1，
依題意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，
令，則，有，
當(dāng)時(shí)，，，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分類(lèi)討論求得函數(shù)的單調(diào)性，解決不等式恒成立的問(wèn)題，屬于較難題. 不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
38．已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況討論，可求解函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由已知得有實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍.
【詳解】
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由，得，因?yàn)?，所?
令，，
則.
令，得.
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).
所以.
又因?yàn)椋?br /> 因?yàn)?，，所以?br /> 所以當(dāng)時(shí)，.
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，零點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于較難題．
39．給出如下兩個(gè)命題：命題，；命題已知函數(shù)，且對(duì)任意，，，都有.
（1）若命題為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）若命題為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用命題為假，則命題為真，利用換元法得到，求出對(duì)稱(chēng)軸，利用零點(diǎn)存在性定理即可求出結(jié)果；（2）若命題為真時(shí)，利用已知條件得到，構(gòu)造函數(shù)，得在恒成立，分離參數(shù)得到，求導(dǎo)求出的最大值即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）若命題為假，
則命題，為真，
令，
則在區(qū)間有零點(diǎn)，
令，
可得，
其對(duì)稱(chēng)軸為，
要使得在區(qū)間有零點(diǎn)，
解得：，
則當(dāng)命題p為真時(shí)，.
（2）若命題為真時(shí)：
因?yàn)椋?br /> 所以，.
設(shè)，
依題意，在上是減函數(shù)，.
，
.
令，得：.
設(shè)，
則，
所以在上是增函數(shù).
所以，
所以.
故若q為真，則，
若命題為假，為真，則p，q中必有一真一假；
則p真q假為；則q真p假，
綜上：.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題；常見(jiàn)的類(lèi)型：
（1）若命題為假，則為真；
（2）若命題為假，為真，則p，q中必有一真一假；
（3）若命題為真，為真，則p，q都為真；
（4）若命題為假，為假，則p，q都為假；
40．已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，求的取值范圍.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，利用韋達(dá)定理可將表示為以為自變量的函數(shù)，換元，可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，由此可得解.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，令.
當(dāng)，即時(shí)，，則對(duì)任意的恒成立，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，分別為，，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2）由（1）可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，
由韋達(dá)定理可得，，，，，
，，，
，
令，則，設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
因此，的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解代數(shù)式的取值范圍，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
41．已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間.
（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.
【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和兩種情況討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合題意分析可知，由，可證明，再利用分析法轉(zhuǎn)化為證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
【詳解】
（1）解：由題意，，
令.
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，令，則，，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明：由（1）知，
因?yàn)?，所以，得?br /> 要證，只需證.
對(duì)于函數(shù)，有.
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，且，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，即不等式恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，
故當(dāng)時(shí)，，即①.
因?yàn)榍?，所以?br /> 可得，所以②.
由①+②得，，
故得證.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬于難題，本題的難點(diǎn)是第二問(wèn)，需構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化變形，證明不等式.
42．已知函數(shù)，其中.
（1）若在上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)，，若存在最大值，記為，則當(dāng)時(shí)，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值為．
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將題意轉(zhuǎn)換為在上有解，由在上遞增，得，，求出的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，求出（a），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出（a）的最大值即可．
【詳解】
解：（1），，
由題意得，在上有根（不為重根），
即在上有解，
由在上遞增，得，，
檢驗(yàn)，時(shí)，在上存在極值點(diǎn)，
，；
（2）中，
若，即在上滿足，
在上遞減， ，
不存在最大值，則；
方程有2個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
令其為，，且不妨設(shè)，
則，
在遞減，在遞增，在遞減，
對(duì)任意，有，
對(duì)任意，有，
，
（a），
將，代入上式，消去，得：
（a），
，，，
由在遞增，得，，
設(shè)，，，
，，，
，即在，遞增，
（e），
（a）存在最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．
43．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)，當(dāng)且，求證：.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)在遞增；當(dāng)時(shí)增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求得定義域及導(dǎo)函數(shù)，討論的取值情況，即可判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將代入解析式，并將兩個(gè)解析式代入不等式化簡(jiǎn)可得.當(dāng)易證不等式成立，當(dāng)時(shí)，結(jié)合可將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，再構(gòu)造函數(shù)，并求得.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可證明存在使得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由，，可證明的單調(diào)情況，進(jìn)而可知在處取得最小值，即證明即可證明成立.
【詳解】
（1）函數(shù).
函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，可知，所以在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，
解得，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)；
故此時(shí)單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)在遞增；
當(dāng)時(shí)增區(qū)間為；減區(qū)間為.
（2）證明：將代入函數(shù)解析式可得，，定義域?yàn)椋?br /> 要證，即證，
①當(dāng)時(shí)，，，不等式顯然成立，
②當(dāng)時(shí)，，結(jié)合已知可得，，
于是轉(zhuǎn)化為，即證，
令，則，
令，則，且在上單調(diào)遞增，
∵，，存在使得，即，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，
故，得證.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法及導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理判斷極值點(diǎn)和極值，進(jìn)而證明不等式成立，是高考的常考點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題.
44．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)及定義域列表求最值即可（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由單調(diào)性求a的取值范圍.
【詳解】
（1），
令，解得，
列表如下：









單調(diào)遞減
最小值
單調(diào)遞增


結(jié)合表格可知函數(shù)的最小值為.
（2），，即，
令，，則，
，易知在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，即成立.
當(dāng)時(shí)，，，存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，即，不滿足條件.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，單調(diào)性，不等式恒成立，屬于中檔題.
45．已知函數(shù)滿足:①定義為；②.
（1）求的解析式；
（2）若；均有成立，求的取值范圍；
（3）設(shè)，試求方程的解.
【答案】（1）（2）（3），、，、
【分析】
（1）利用構(gòu)造方程組法即可求得的解析式;
（2）根據(jù)不等式,構(gòu)造函數(shù)與.根據(jù)不等式恒成立可知滿足.求得.通過(guò)判斷的符號(hào)可判斷的單調(diào)性,由其單調(diào)性可得,進(jìn)而可知為單調(diào)遞增函數(shù),即可求得.再根據(jù)及二次函數(shù)性質(zhì),可得的取值范圍;
（3）根據(jù)的解析式,畫(huà)出函數(shù)圖像.并令,則方程變?yōu)?解得的值.即可知、及.結(jié)合函數(shù)圖像及解析式,即可求得對(duì)應(yīng)方程的解.
【詳解】
（1）,…①
所以即…②
由①②聯(lián)立解得:.
（2）設(shè),
,
依題意知:當(dāng)時(shí),

又在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞減

在上單調(diào)遞增,

,
解得:
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）的圖象如圖所示：

令,則

當(dāng)時(shí)有1個(gè)解,
當(dāng)時(shí)有2個(gè)解：、,
當(dāng)時(shí)有3個(gè)解:、.
故方程的解分別為：
,、,、
【點(diǎn)睛】
本題考查了構(gòu)造方程組法求函數(shù)解析式,二次求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值,在定區(qū)間上恒成立問(wèn)題的解法,換元法解復(fù)合函數(shù)與方程的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.


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