?專題01 圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題
一、單選題
1．設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
設(shè)橢圓焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將或代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，由此可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)橢圓焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將或代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，，
解得，因此，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)是.
故選：D.
2．已知橢圓，直線l過橢圓C的左焦點(diǎn)F且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的中垂線交x軸于M點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
當(dāng)l：時(shí)，，設(shè)與橢圓聯(lián)立可得：， 然后求得的中垂線方程，令 ，得，然后分別利用兩點(diǎn)間的距離公式和弦長(zhǎng)公式求得，，建立求解.
【詳解】
橢圓的左焦點(diǎn)為,
當(dāng)l：時(shí)，，，
所以，
設(shè)與橢圓聯(lián)立，可得：
，
由韋達(dá)定理得：，
取中點(diǎn)為，
所以的中垂線方程為：
，
令 ，得，
所以，
又，
所以，
綜上所述，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．
2、設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則弦長(zhǎng)為 (k為直線斜率)．
注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．
3．過橢圓9x2+25y2=225的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°的弦長(zhǎng)AB的長(zhǎng)為（ ）
A．5 B．6 C． D．7
【答案】C
【分析】
求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得答案.
【詳解】
由9x2+25y2=225得，，，所以，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB的方程為，所以得，
設(shè)，所以，

.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直線與橢圓的弦長(zhǎng)公式，由韋達(dá)定理的應(yīng)用.
4．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，斜率為的直線l過左焦點(diǎn)且交于，兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，若橢圓的離心率為，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先利用等面積法可得：，求解出的值，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式的取值范圍.
【詳解】
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由題意得
得，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形問題，考查弦長(zhǎng)的取值范圍問題，難度一般.解答時(shí)，等面積法、弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用是關(guān)鍵.

二、多選題
5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，則（ ）
A．若拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，則拋物線的方程為
B．若，則直線的斜率為
C．若直線的斜率為，則
D．設(shè)線段的中點(diǎn)為，若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為
【答案】AD
【分析】
由拋物線的定義求得的值，可判斷A選項(xiàng)的正誤；設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，求得點(diǎn)到軸的距離和，可得出關(guān)于的表達(dá)式，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，由拋物線的定義可得，解得，
所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示：
拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，
由韋達(dá)定理可得，，
由于，由圖象可得，即，
所以，，可得，解得，
所以，直線的斜率為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，由B選項(xiàng)可知，，，
由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則該拋物線的方程為.
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，消去可得，，
則，，
，點(diǎn)到軸的距離為，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確.

故選：AD.
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查了拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、焦半徑的計(jì)算.本題中將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)、的縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，并結(jié)合了拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
三、解答題
6．如圖，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在，之間．

（1）若過拋物線的焦點(diǎn)，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線，將韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式相結(jié)合即可得結(jié)果；
（2）設(shè)，聯(lián)立方程組分別求出A，B，P的縱坐標(biāo)，將表示為關(guān)于的函數(shù)式，結(jié)合基本不等式即可得結(jié)果.
【詳解】
解：（1）由已知得，所以，
聯(lián)立得，消去，可得，
設(shè)點(diǎn)，，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
所以．
（2）設(shè)，由，消去，可知，
∵有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，
解得：，，
由，得，
由于點(diǎn)在點(diǎn)，點(diǎn)之間，
所以，
設(shè)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．
故的最小值為．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）直線弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用；
（2）將所求量表示為關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式求最值.
7．已知橢圓（）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，直線過點(diǎn)，且與橢圓相交于另一點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段長(zhǎng)為，求直線的傾斜角．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）由題設(shè)列出基本量方程組，解得基本量，從而得方程.
（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程得關(guān)于的一元二次方程，韋達(dá)定理整體思想及弦長(zhǎng)公式得關(guān)于斜率的方程，解得斜率得直線方程.
【詳解】
(1)由題意可知 ， ， ， 。
橢圓方程為：
(2)由題可知直線斜率存在，設(shè)直線方程為:代入橢圓方程得：
，，
，解得 ，
直線的傾斜角為或.
【點(diǎn)睛】
本題是橢圓與直線相交弦長(zhǎng)問題，是高考解析幾何中的常見題型.
注意點(diǎn)點(diǎn)睛：
①在設(shè)直線時(shí)要注意直線斜率是否存在，做必要的交代；
②代入消元后要交代的符號(hào)，確定交點(diǎn)是否存在及存在時(shí)的個(gè)數(shù)；
③所得解回代檢驗(yàn)合理性，以確保答案的正確性.
8．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn).
（1）若直線的傾斜角為，求線段的長(zhǎng)；
（2）若，求的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設(shè)點(diǎn)、，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出的值，再利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得線段的長(zhǎng)；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，可得出，由求得的值，利用韋達(dá)定理以及拋物線的方程求得的值，利用拋物線的定義可求得的長(zhǎng).
【詳解】
（1）設(shè)點(diǎn)、，拋物線的焦點(diǎn)為，
由于直線過點(diǎn)，且該直線的傾斜角為，則直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，，
由韋達(dá)定理可得，由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得；
（2）設(shè)點(diǎn)、，
由題意可知，直線不可能與軸重合，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，，
由韋達(dá)定理可得，，
，可得，，，則，
，因此，.
【點(diǎn)睛】
有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
9．已知圓上上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段中點(diǎn)為.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若直線l的方程為y＝x－1，與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設(shè)、，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解.
（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】
（1）設(shè)，，，
點(diǎn)是線段中點(diǎn)，，
又在圓上，，
即點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）聯(lián)立，消去可得，，
，
設(shè)，，
則，，

.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查了軌跡問題、求弦長(zhǎng)，求軌跡的常用方法如下：
（1）定義法：利用圓錐曲線的定義求解.
（2）相關(guān)點(diǎn)法：由已知點(diǎn)的軌跡進(jìn)行求解.
（3）直接法：根據(jù)題意，列出方程即可求解.
10．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)為、，，.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，，解得，，求得，可得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值.
【詳解】
（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由，，
可得，，解得，，
則，
即有橢圓的方程為；
（2）聯(lián)立直線和橢圓，
可得，
設(shè)被橢圓截得的弦的端點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，
則，，
可得弦長(zhǎng)為.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
求解橢圓中的弦長(zhǎng)問題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，即可求出結(jié)果；有時(shí)也可由直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出弦長(zhǎng).
11．已知直線與圓相交.
（1）求的取值范圍；
（2）若與相交所得弦長(zhǎng)為，求直線與相交所得弦長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由圓求出圓心和半徑，利用圓心到直線的距離小于半徑即可求解；
（2）由與相交所得弦長(zhǎng)為，利用弦長(zhǎng)的一半、弦心距、圓的半徑滿足勾股定理可求出圓的半徑，再次利用勾股定理即可求解.
【詳解】
（1）圓的圓心為，半徑為.
因?yàn)橹本€與圓相交，
所以圓心 到的距離
解得：，
即的取值范圍是.
（2）因?yàn)榕c相交所得弦長(zhǎng)為，
所以，
因?yàn)閳A心 到的距離，
所以直線與M相交所得弦長(zhǎng)為.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓的弦長(zhǎng)的兩種求法
（1）幾何法：直線被圓截得的半弦長(zhǎng)為，弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，即；
（2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長(zhǎng)或
12．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).
（1）若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若斜率為1且經(jīng)過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）由雙曲線方程可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入即可得解；
（2）聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式運(yùn)算即可得解.
【詳解】
（1）由題意，雙曲線的焦距，
設(shè)點(diǎn)，則，解得，
代入雙曲線方程可得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（2）由題意，，則直線，
設(shè)，
由，化簡(jiǎn)可得，
則，，
所以.
13．設(shè)拋物線，為的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn).
（1）設(shè)的斜率為，求的值；
（2）求證：為定值.
【答案】（1）5；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，由即可求解；
（2）設(shè)直線方程為，由韋達(dá)定理表示出，即可得出定值.
【詳解】
（1）依題意得，
所以直線的方程為.
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，，
由得，，
所以，.
所以.
（2）證明：設(shè)直線的方程為，
直線與拋物線的交點(diǎn)為，，
由得，，
所以，.
因?yàn)?br /> .
所以為定值.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
14．已知橢圓M：的一個(gè)焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為A，B．經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；
（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為和，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大值為.
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得結(jié)果；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果；
（Ⅲ）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求出，，變形后利用基本不等式可求得最大值.
【詳解】
（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，所以且，所以，
所以橢圓方程為.
（Ⅱ）因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率為1，直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，
則，，
所以.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
則，，所以異號(hào)，
所以
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（Ⅲ）問中將三角形面積用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示，并利用韋達(dá)定理和基本不等式解決是解題關(guān)鍵.
15．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線過橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)，動(dòng)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求此時(shí)的長(zhǎng)度.
【答案】（1）；（2）4或.
【分析】
（1）根據(jù)，以及即可求解.
（2）將直線與聯(lián)立，求出交點(diǎn)，再由，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)在直線：上求出點(diǎn)即可求解.
【詳解】
（1）由題意得，，結(jié)合，
解得，，，
故所求橢圓的方程為.
（2）易知定直線的方程為.
聯(lián)立，整理得，解得，
不妨令點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵，由對(duì)稱性可知，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，
又在直線：上，
故，
解得，，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
所以或，所以的長(zhǎng)度為4或.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，確定點(diǎn)為的中點(diǎn)，考查了計(jì)算求解能力.
16．已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，其離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.
（2）首先設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用根系關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可得到方程，再解方程即可得到答案.
【詳解】
（1）由題意知
解得，.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不符合題意.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
其判別式.
設(shè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，則，.
所以，
整理得，解得或，
所以或.
綜上，直線的方程為或.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的弦長(zhǎng)問題，本題中將直線方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利根系關(guān)系和弦長(zhǎng)公式得到所求的等量關(guān)系為解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.
17．如圖，橢圓（）的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求使取最小值時(shí)直線的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【分析】
（Ⅰ）由離心率及，可得出，，進(jìn)而寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）進(jìn)行分類討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，不滿足題意；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，分別將直線與的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出和的表達(dá)式，然后利用弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出取得最小值時(shí)k的值，最后寫出直線的方程即可.
【詳解】
（Ⅰ）由題意知，，又，解得，，所以橢圓方程為；
（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在時(shí)，由題意知，不滿足條件；
②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，
則直線CD的方程為，設(shè)，，
將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得 ，則，，
所以，
同理， ，
所以+=≥ ，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào)，所以直線AB的方程為或．
【點(diǎn)睛】
易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，對(duì)于第二問，應(yīng)該對(duì)斜率存在與否進(jìn)行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力和的分析計(jì)算能力，屬于中檔題.
18．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，且過點(diǎn)的直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8．
（1）求直線的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率大于零時(shí)，求過點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
【答案】（1）或；（2）或．
【分析】
（1）由題意得，，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出弦長(zhǎng)，結(jié)合已知弦長(zhǎng)可求得結(jié)果；
（2）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切列式解得圓心坐標(biāo)和半徑，可得圓的方程.
【詳解】
（1）由題意得，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)，不滿足，舍去；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為
由得
設(shè)，則，且
由拋物線定義得
即，解得
因此l的方程為或.
（2）由（1）取直線的方程為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，
所以的垂直平分線方程為，即
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，該圓的圓心到直線的距離為，則，則該圓的半徑為，
因?yàn)樵搱A與準(zhǔn)線相切，所以，
解得或,
當(dāng)圓心為時(shí)，半徑為，當(dāng)圓心為時(shí)，半徑為，
因此所求圓的方程為或．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出拋物線的弦長(zhǎng)是關(guān)鍵；第（2）問，根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，利用直線與圓相切列式是解題關(guān)鍵.
19．橢圓：，直線過點(diǎn)，交橢圓于?兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn).
（1）求直線的方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）設(shè)，，利用點(diǎn)差法求直線的斜率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式，求的值.
【詳解】
（1），，點(diǎn)在橢圓里面，
設(shè)，，
則，兩式相減可得，
變形為，①
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，
并且有橢圓對(duì)稱性可知，
由①式兩邊同時(shí)除以，可得，，
設(shè)直線的斜率為，，
解得：，
所以直線的方程；
（2），
，，
可得，，
，
化簡(jiǎn)為，且
解得：
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是解決涉及弦的中點(diǎn)與斜率問題的方法，首先設(shè)弦端點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出關(guān)于弦斜率與弦中點(diǎn)的方程，代入已知斜率，可研究中點(diǎn)問題，代入已知中點(diǎn)可求斜率.
20．如圖所示，已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，問是否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
（1）；（2）存在，實(shí)數(shù).
【分析】
（1）計(jì)算得出，利用橢圓的定義可知，曲線為橢圓，確定焦點(diǎn)的位置，求出、的值，結(jié)合點(diǎn)不在軸上可得出曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線與曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式可計(jì)算出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，
由于四邊形為平行四邊形，則，
，
所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
由得，半焦距，所以，軌跡的方程為：，
由于四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)不能在軸上，可得，
因此，軌跡的方程為：；

（2）由于曲線是橢圓去掉長(zhǎng)軸端點(diǎn)后所形成的曲線，
當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線與軸重合，此時(shí)，直線與曲線無公共點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
由消去得，，
則，，
不妨設(shè)，，
，
同理
所以

，
即，
所以存在實(shí)數(shù)使得成立.
【點(diǎn)睛】
直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題，較少單獨(dú)考查弦長(zhǎng)的求解，一般是已知弦長(zhǎng)的信息求參數(shù)或直線的方程．解此類題的關(guān)鍵是設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長(zhǎng)，將已知弦長(zhǎng)的信息代入求解．
21．已知橢圓，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△面積等于時(shí)，求直線的斜率.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出答案；
（2）易知直線斜率存在，可表示出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，進(jìn)而求出的表達(dá)式，及點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合，可求出直線的斜率.
【詳解】
（1）因?yàn)橹本€l過，斜率為，所以：.
聯(lián)立，得到.
由韋達(dá)定理，有，
設(shè)，則，，
所以，.
（2）由題意，可知直線斜率存在，設(shè)斜率為，則為：，
聯(lián)立，得到，
由韋達(dá)定理，有，
O到直線l的距離為，
.
則.
所以，化簡(jiǎn)得，解得，
所以直線：或.
22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn).
（1）將表示為的函數(shù)；
（2）若，求的周長(zhǎng).
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）設(shè)點(diǎn)，，，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求函數(shù)；
（2）運(yùn)用拋物線的定義和（1）的結(jié)論，結(jié)合，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)．
【詳解】
（1），
整理得，
則，

，其中；
（2）由，
則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，
所以，
由拋物線的定義，
有，
又，
所以的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】
求曲線弦長(zhǎng)的方法：（1）利用弦長(zhǎng)公式；（2）利用；（3）如果交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
23．如圖，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）若，求直線的方程;
（2）記拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)直線分別交于點(diǎn)，求的值.
【答案】（1）；（2）-3.
【分析】
(1) 設(shè)直線的方程為，,方程聯(lián)立得到，由直線方程求出，由條件可得，從而求出答案.
(2) 由直線分別交于點(diǎn)，則,可得，同理可得，由，結(jié)合（1）中的可得答案.
【詳解】
(1) 設(shè)直線的方程為，
由 ，得
所以
則
由拋物線的性質(zhì)可得
解得，所以直線的方程為：
（2）由題意可得直線：，設(shè)
由（1）可得，
由直線分別交于點(diǎn)，則,
即，所以
由直線分別交于點(diǎn)，則,
即，所以

【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)和直線與拋物線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是利用過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線的方程為，方程聯(lián)立韋達(dá)定理代入即可，由直線分別交于點(diǎn)，則得出，同理得出，利用韋達(dá)定理的結(jié)果即可，屬于中檔題.
24．設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，，.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓E： （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組即可.
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時(shí)滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證即可；在該圓的方程存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.
【詳解】
（1）因?yàn)闄E圓E： （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以，
所以橢圓E的方程為.
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，
設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，
則△=，即
，
，，
要使，需使，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以，即或，
因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為，，
所以，則所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，
綜上， 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且.
因?yàn)椋?br /> 所以，

，
①當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.
② 當(dāng)時(shí)，.
③ 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)， 兩個(gè)交點(diǎn)為或，所以此時(shí)，
綜上， |AB |的取值范圍為，即：
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．
2、設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則 (k為直線斜率)．
注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．
25．折紙又稱“工藝折紙”，是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng). 某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用圓形紙片，按如下步驟折紙（如下圖），

步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)不是圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；
步驟2：把紙片對(duì)折，使圓周正好通過F；
步驟3：把紙片展開，于是就留下一條折痕；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，能得到越來越多條的折痕．
所有這些折痕圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為2，按上述方法折紙.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求經(jīng)過，且與直線夾角為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）建立直角坐標(biāo)系后，由橢圓的定義即可得解；
（2）聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可得解.
【詳解】
（1）如圖，以FO所在的直線為x 軸，F(xiàn)O的中點(diǎn)M為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知且，
所以P點(diǎn)軌跡以F，O為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
因?yàn)?，所以，?br /> 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）如圖，不妨令過的直線交橢圓于C，D且傾斜角，
所以直線，設(shè)，
聯(lián)立，消元得，，
所以，
所以.


四、填空題
26．在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線，與拋物線交于，兩點(diǎn)．若弦的長(zhǎng)為6，則實(shí)數(shù)的值為__________.
【答案】
【分析】
設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，，代入弦長(zhǎng)公式，利用線段的長(zhǎng)度，求解即可.
【詳解】
拋物線上的焦點(diǎn)，， 直線的斜率為1，
則可設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，，
聯(lián)立方程，整理得，
由韋達(dá)定理可得：，，
，
解得；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
求曲線弦長(zhǎng)的方法：（1）利用弦長(zhǎng)公式；（2）利用；（3）如果交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
27．已知拋物線C : y2=2px(p>0)，直線l ：y = 2x+ b經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C相交于A、B 兩點(diǎn)．若|AB| = 5，則p = ___．
【答案】2
【分析】
法1：首先利用直線過焦點(diǎn)，得，再利用直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，計(jì)算求得；法2：由已知，求得的值，再利用弦長(zhǎng)公式，求的值.
【詳解】
法1：由題意知，直線，即．直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，
，即．直線的方程為．
設(shè)、，聯(lián)立，消去整理可得，
由韋達(dá)定理得，又，，則.
法2：設(shè)直線的切斜角為，則，得，∴，得.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，與拋物線交于兩點(diǎn)，稱為焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，有如下的性質(zhì)：直線與拋物線交于，①；②；③為定值；④弦長(zhǎng) （為直線的傾斜角）；⑤以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑥焦點(diǎn)對(duì)在準(zhǔn)線上射影的張角為.
28．已知拋物線為過焦點(diǎn)的弦，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，則下列結(jié)論正確的有________．
①若直線的斜率為-1，則弦；
②若直線的斜率為-1，則；
③點(diǎn)恒在平行于軸的直線上；
④若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則．
【答案】①③④
【分析】
設(shè)PA的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,聯(lián)立與的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可知④正確；設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理求出與可知②錯(cuò)誤，③正確；當(dāng)時(shí)，利用拋物線的定義和韋達(dá)定理可得弦長(zhǎng)，可知①正確．
【詳解】
設(shè)PA方程與拋物線方程聯(lián)立得，
由得，
方程為，同理得PB方程，
聯(lián)立，解得，
所以交點(diǎn)P，即，所以④正確；
根據(jù)題意直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，，所以③正確；
當(dāng)t=-1時(shí)，，所以②錯(cuò)誤，
當(dāng)t=-1時(shí)，根據(jù)拋物線的定義可得

，所以①正確．
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切線方程，利用判別式等于0，求出切線方程，聯(lián)立切線方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

五、雙空題
29．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則拋物線的方程是______；若直線過點(diǎn)，則______.
【答案】
【分析】
根據(jù)焦半徑公式可得，再根據(jù)可得，聯(lián)立即可求出，得到拋物線的方程；再聯(lián)立直線和拋物線的方程，可解得，再根據(jù)，即可解出．
【詳解】
設(shè)，，
由拋物線的焦半徑公式可得，，，
則，即.
因?yàn)辄c(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，
則.
因?yàn)?，，所以?br /> 因?yàn)?，所以，則，解得，
故拋物線的方程是.
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程是，
聯(lián)立，整理得，則，
從而，
因?yàn)椋?，解?
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

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高中數(shù)學(xué)高考專題01 圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題(解析版)

高中數(shù)學(xué)高考專題01 圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題(解析版)
（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)：專題01 圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題

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