?專題05 圓錐曲線中的定點問題
一、多選題
1．設(shè)A，B是拋物線上的兩點，是坐標原點，下列結(jié)論成立的是（ ）
A．若，則
B．若，直線AB過定點
C．若，到直線AB的距離不大于1
D．若直線AB過拋物線的焦點F，且，則
【答案】ACD
【分析】
設(shè)直線方程為，將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，結(jié)合直線垂直的條件，逐一分析判斷得解.
【詳解】
B.設(shè)直線方程為，，，，，
將直線方程代入拋物線方程，得，
則，，
，，．
于是直線方程為，該直線過定點．故不正確；
C.到直線的距離，即正確；
A.
．正確；
D.由題得,所以，不妨取.
所以，所以直線AB的方程為，所以.

由題得
=.
所以.所以D正確.
故選：ACD．
【點睛】
本題主要考查了直線與拋物線的綜合問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力．解題的關(guān)鍵是靈活利用韋達定理和拋物線的定義.
2．設(shè)是拋物線上兩點，是坐標原點，若，下列結(jié)論正確的為（ ）
A．為定值 B．直線過拋物線的焦點
C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4
【答案】ACD
【分析】
由拋物線方程及斜率公式即可判斷A；設(shè)直線方程，結(jié)合韋達定理即可判斷B；利用韋達定理求得的最小值，即可判斷C；由直線過定點可判斷D.
【詳解】
對于A，因為，所以，
所以，故A正確；
對于B，設(shè)直線，代入可得，
所以，即，所以直線過點，
而拋物線的焦點為，故B錯誤；
對于C，因為，
當時，等號成立，
又直線過點，所以，故C正確；
對于D，因為直線過點，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】
解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程合理化簡及韋達定理的應(yīng)用，細心計算即可得解.

二、單選題
3．已知直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】
由直線恒過點，將問題轉(zhuǎn)化為點在橢圓上或橢圓內(nèi)，可得選項.
【詳解】
因為直線恒過點，為使直線與橢圓恒有公共點，
只需點在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以，即.又，所以且.
故選：D.
【點睛】
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于直線恒過的點在橢圓上或橢圓的內(nèi)部，屬于中檔題.
三、解答題
4．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，點M(2，m)(m＞0)在拋物線上，且|MF|＝2.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若點P(x0，y0)為拋物線上任意一點，過該點的切線為l0，證明：過點F作切線l0的垂線，垂足必在x軸上.
【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)拋物線的定義可得m＋＝2，再由2pm＝4，即可求解.
（2）討論x0＝0或x0≠0，利用導(dǎo)數(shù)求出點P處的切線的方程l0，再求出過點F且與切線l0垂直的方程，兩方程聯(lián)立求出交點即可求解.
【詳解】
（1）由拋物線的定義可知，|MF|＝m＋＝2，①
又M(2，m)在拋物線上，所以2pm＝4，②
由①②解得p＝2，m＝1，
所以拋物線C的方程為x2＝4y.
（2）證明：①當x0＝0，即點P為原點時，顯然符合；
②x0≠0，即點P不在原點時，
由（1）得，x2＝4y，則y′＝x，
所以拋物線在點P處的切線的斜率為x0，
所以拋物線在點P處的切線l0的方程為
y－y0＝x0(x－x0)，
又＝4y0，
所以y－y0＝x0(x－x0)可化為y＝x0x－y0.
又過點F且與切線l0垂直的方程為y－1＝－x.
聯(lián)立方程得
消去x，得y＝－(y－1)－y0.(*)
因為＝4y0，
所以(*)可化為y＝－yy0，即(y0＋1)y＝0，
由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x軸上.
綜上，過點F作切線l0的垂線，垂足必在x軸上.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出切線方程以及切線的垂線方程，綜合性比較強，考查了計算求解能力.
5．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，A(2，y0)是E上一點，且|AF|＝2.
（1）求E的方程；
（2）設(shè)點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線y＝x－3交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M，證明：直線BM過定點.
【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用拋物線的定義與性質(zhì)求得的值，即可寫出拋物線方程；
（2）設(shè)點、，由直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，利用韋達定理和、、三點共線，化簡整理可得的方程，從而求出直線所過的定點．
【詳解】
（1）由題意得，解得，
所以，拋物線的標準方程為.
（2）證明：
設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
由韋達定理得，，
由軸以及點在直線上，得，
則由、、三點共線，得，
整理得，
將韋達定理代入上式并整理得，
由點的任意性，得，得，
所以，直線的方程為，即直線過定點.
【點睛】
本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，以及直線過定點的應(yīng)用問題，利用韋達定理處理由、、三點共線是解第二問的關(guān)鍵，是中檔題．
6．已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖:

（1）若△POM的面積為 ，求向量與的夾角；
（2）證明:直線PQ恒過一個定點.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用得到兩點的縱坐標之積，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得向量與的數(shù)量積，根據(jù)三角形的面積公式可求得向量與的夾角；
（2）利用和得到的縱坐標的關(guān)系式，利用點斜式求出直線的方程，結(jié)合的縱坐標的關(guān)系式可得直線過定點.
【詳解】
（1）設(shè)點，因為三點共線，
所以，所以，即，所以，
所以
設(shè)∠POM=α，則
所以，
所以，所以
又，所以.
故向量與向量的夾角為.
(2)設(shè)點，因為三點共線，，
即，即，
則，
即，又，
所以，
因為，
所以直線的方程是，
即，
即，
由知，代入上式，
得
由此可知直線PQ過定點E（1，－4）.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：第二問利用和得到的縱坐標的關(guān)系式，并利用此關(guān)系式得到直線的方程是解題關(guān)鍵.
7．設(shè)為坐標原點，橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標.
【答案】（1）；（2）證明見解析，（0，2）.
【分析】
（1）利用焦距和離心率解參數(shù)，即得方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到兩根和與差的關(guān)系，再利用向量數(shù)量積計算求得參數(shù)m，即證得結(jié)論，得到定點.
【詳解】
（1）由題意知，，∴
橢圓C的方程為：；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以，，
所以，＝，
因為，
所以，，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），故直線為：.
所以直線l過定點（0，2）.
【點睛】
圓錐曲線中求直線過定點的問題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用韋達定理、結(jié)合題中條件（比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，距離關(guān)系，面積等）直接計算，即可求出結(jié)果，這類題運算量較大.
8．已知拋物線經(jīng)過點

（1）求拋物線的方程及其相應(yīng)準線方程；
（2）過點作斜率為的兩條直線分別交拋物線于和四點，其中.設(shè)線段和的中點分別為過點作垂足為證明：存在定點使得線段長度為定值.
【答案】（1）；準線；（2）存在，
【分析】
（1）將點代入拋物線即可求解，再由拋物線的標準方程可得準線.
（2）設(shè)出直線：，直線：，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理以及中點坐標公式求出、，從而求出直線，，將兩直線聯(lián)立求出交點，得到點的軌跡是個圓，從而可得定點為圓心.
【詳解】
（1）將點代入拋物線，可得，
解得，所以拋物線方程：，
準線.
（2）由題意可得直線：，直線：，
聯(lián)立 ，整理可得，
設(shè)，，則，，
所以，同理，
，
設(shè)，
：
，
：，聯(lián)立 ，
解得，
，整理可得，
即，
所以點的軌跡是個圓，
故的坐標為，線段長度為定值.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：此題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出直線，的
交點，得到點的軌跡方程，考查了運算求解能力.
9．設(shè)、分別是橢圓C：的左、右焦點，，直線過且垂直于x軸，交橢圓C于A、B兩點，連接A、B、，所組成的三角形為等邊三角形.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點的直線m與橢圓C相交于M、N兩點，試問：橢圓C上是否存在點P，使成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.
【答案】（1）橢圓；（2）存在，.
【分析】
（1）根據(jù)得到，計算，，得到，得到橢圓方程.
（2）設(shè)點和直線，聯(lián)立方程利用韋達定理得到，，轉(zhuǎn)為為點在橢圓上，帶入數(shù)據(jù)計算得到答案.
【詳解】
（1）由可得，等邊三角形中：，，
則，得， 又因為，所以，
則橢圓；

（2）設(shè)、，則由題意知的斜率為一定不為，
故不妨設(shè)，代入橢圓的方程中：，
整理得， 滿足.
由韋達定理有：，①
且②
假設(shè)存在點，使成立，
則其充要條件為：點在橢圓上，即.
整理得，
又在橢圓上，即，，
故由①②代入：，解得，驗證
則.
【點睛】
橢圓內(nèi)的存在性問題，設(shè)而不求，利用韋達定理，將題目轉(zhuǎn)化為點在橢圓上是解題的關(guān)鍵，計算量較大，需要平時多訓(xùn)練.
10．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于點、），求的值；
（3）過點作一條直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點？若是，求出該定點的坐標，否則說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）是，.
【分析】
（1）由題意，列出所滿足的等量關(guān)系式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求得，從而求得橢圓的方程；
（2）寫出，設(shè)，利用斜率坐標公式求得兩直線斜率，結(jié)合點在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；
（3）設(shè)直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結(jié)合韋達定理，得到，結(jié)合直線的方程，得到直線所過的定點坐標.
【詳解】
（1）由題意可知，，又，所以，
所以橢圓的標準方程為：.
（2）,設(shè)，
因為點在橢圓上，所以，
，
又，
.
（3）設(shè)直線的方程為：，，則，
聯(lián)立方程可得：，
所以，
所以 ，
又直線的方程為：，
令，
則
，
所以直線恒過，
同理，直線恒過，
即直線與交于定點.
【點睛】
思路點睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的問題，解題思路如下：
（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，建立方程組求得橢圓方程；
（2）根據(jù)斜率坐標公式，結(jié)合點在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當結(jié)論來用；
（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，結(jié)合直線方程，求得其過的定點.
11．在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)
（1）求動點的軌跡方程；
（2）若過點作與坐標軸不垂直的直線交動點的軌跡于兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，當直線繞著點轉(zhuǎn)動時，試探究：是否存在定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在定點，使得三點共線．
【分析】
（1）設(shè)，由化簡可得結(jié)果；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理得，橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上，設(shè)，根據(jù)列式，結(jié)合可求出.
【詳解】
（1）設(shè)，則，化簡得
故動點的軌跡方程為．
（2）由題知且直線斜率存在，設(shè)為，則直線方程為
由得
設(shè)，則，
由橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上
故假設(shè)存在定點，使得三點共線，則且
又
，
即
化簡得
將式代入上式得
化簡得
故存在定點，使得三點共線．
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：由橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上是解題關(guān)鍵.
12．在平面直角坐標系xOy中，有三條曲線：①；②；③.請從中選擇合適的一條作為曲線C，使得曲線C滿足：點F(1，0)為曲線C的焦點，直線y=x-1被曲線C截得的弦長為8.
（1）請求出曲線C的方程；
（2）設(shè)A，B為曲線C上兩個異于原點的不同動點，且OA與OB的斜率之和為1，過點F作直線AB的垂線，垂足為H，問是否存在定點M，使得線段MH的長度為定值?若存在，請求出點M的坐標和線段MH的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）；
【分析】
（1）利用焦點以及弦長排除①②，從而可得，進而求出拋物線.
（2）、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，設(shè)方程：，與拋物線聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達定理求出，再將、方程聯(lián)立，求出交點，過點，觀察兩個定點，，由，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證出.
【詳解】
（1）對于②，，故排除②；
假設(shè)①為曲線C，則有，解得，
將直線代入，整理可得，
解得，此時弦長為，故排除①；
所以曲線C為③，
則，解得，
所以曲線C的方程為.
（2）易知、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，
設(shè)方程：，代入，
可得，，
設(shè)，，
則，，
且，解得，
聯(lián)立、方程，即，解得，
，
已知過點，不妨猜測可能為，
則，此時不滿足為定值，
觀察兩個定點，，
由于，故在以為直徑的圓上，
的中心為圓心，圓心到的距離恒為.
中點為，，
所以定點M，線段MH的長度為定值，且 .
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：根據(jù)焦點以及弦長確定曲線C，解題的關(guān)鍵是求出直線過點，圍繞以及焦點，進行求解，考查了考生的計算求解能力.
13．.已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）當切線PA的長度為時，求點P的坐標；
（2）若的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由；
【答案】（1）或；（2）過定點；定點，.
【分析】
（1）設(shè)，解方程，即得解；
（2）求出圓N方程：，解方程即得解.
【詳解】
（1）由題可知，圓M的半徑，設(shè)，
因為PA是圓M的一條切線，所以，
所以，
解得或，
所以點P的坐標為或.
（2）設(shè)，因為，
所以經(jīng)過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，
其方程為，
即，
由，
解得或，
所以圓過定點，.
【點睛】
方法點睛：定點問題：對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.
14．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線交橢圓于?兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】（1）；（2）證明見解析，直線過定點.
【分析】
（1）由拋物線的焦點為，求得c，再根據(jù)橢圓的離心率求解.
（2）設(shè)，，利用點差法結(jié)合線段的中點為，求得線段的垂直平分線的方程即可.
【詳解】
（1）拋物線的焦點為，則.
橢圓的離心率，則.
故橢圓的標準方程為.
（2）顯然點在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.
當直線的斜率存在且不為時，設(shè)，，
則有，，
兩式相減得.
由線段的中點為，則，
故直線的斜率.
因為直線是線段的垂直平分線，故直線，即.
令，此時，于是直線過定點.
當直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點.
綜上所述，直線過定點.
【點睛】
方法點睛：定點問題的常見解法：①假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；②從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意．
15．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點作直線與橢圓相較于，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對稱.
【分析】
（1）將點坐標代入方程，結(jié)合離心率公式及，即可求出，進而可求得橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，的表達式，根據(jù)題意可得，直線，的斜率互為相反數(shù)，列出斜率表達式，計算化簡，即可求出Q點坐標.
【詳解】
（1）有題意可得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）存在定點，滿足直線，恰好關(guān)于x軸對稱，
設(shè)直線l的方程為，由，
聯(lián)立得，，
設(shè)，定點，由題意得，
所以，
因為直線，恰好關(guān)于x軸對稱，
所以直線，的斜率互為相反數(shù)，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以當時，直線，恰好關(guān)于x軸對稱，即.
綜上，在軸上存在定點，使直線，恰好關(guān)于x軸對稱.
【點睛】
本題考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，解題的關(guān)鍵是將條件：直線，恰好關(guān)于x軸對稱，轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，再根據(jù)韋達定理及斜率公式，進行求解，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.
16．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P在直線上且不在x軸上，直線與橢圓E的交點分別為A、B，直線與橢圓E的交點分別為C、D．
（1）設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值
（2）問直線m上是否點P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿足若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標若不存在，請說明理由.
【答案】（1）2；（2）存在；點P的坐標是或或.
【分析】
（1）由橢圓的標準方程可得焦點坐標，設(shè)點，由斜率公式化簡即可得解；
（2）按照、的斜率是否都存在討論，當斜率均存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可得或，再代入斜率公式即可得解.
【詳解】
（1）由條件知，
設(shè)點，則，
所以
（2）設(shè)存在點符合條件，
當直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，
則，不合題意；
當直線、的斜率均存在時，設(shè)直線、的斜率分別為、，
則直線：，直線：，
設(shè)，
聯(lián)立，消去y得，，
所以，
所以
，
同理可得，
由得，
所以或，
又，
所以或
解得舍去，，，，
所以點P的坐標是或或.
【點睛】
解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出所需點的坐標，結(jié)合韋達定理求得直線斜率的關(guān)系，利用斜率公式可得點P的橫坐標，整個過程中要注意運算的準確性.
17．已知直線l：x=my+1過橢圓C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦點F，且交橢圓C于A?B兩點，點A?B在直線G：x=a2上的射影依次為點D?E.
（1）若，其中O為原點，A2為右頂點，e為離心率，求橢圓C的方程；
（2）連接AF，BD，試探索當m變化時，直線AE，BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；否則說明理由.
【答案】（1）（2）相較于定點，，證明見解析.
【分析】
（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，由已知等式可得，進而得到，，即可得到橢圓方程；
（2）當時，求得，的交點，猜想定點，．當時，分別設(shè)，的坐標為，，，，由題意可得，，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，運用韋達定理，結(jié)合三點共線的性質(zhì)，計算直線，的斜率，可判斷，，共線，同理可判斷，，共線，即可得到定點．
【詳解】
（1）橢圓的方程為，
設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，
由，可得，
即有，即，解得，
則，，
所以橢圓的方程為；
（2）當時，直線垂直于軸，可得四邊形為矩形，直線，相交于點，，
猜想定點，；
當時，分別設(shè)，的坐標為，，，，由題意可得，，
由可得，
，，
由，，
由，
又，
則，即，所以，，三點共線；
同理可得，，三點共線．
則直線，相交于一定點，．
【點睛】
本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
18．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線在第一象限相切于點，點到坐標原點的距離為.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過點任作直線與拋物線相交于，兩點，請判斷軸上是否存點，使得點到直線，的距離都相等.若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在；點的坐標為.
【分析】
（1）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于0，解得，點坐標為，根據(jù)點到坐標原點的距離為可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線，假設(shè)存在這樣的點，設(shè)，，點，聯(lián)立方程消去整理成關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到和，將點到直線，的距離都相等轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，根據(jù)可得結(jié)果.
【詳解】
（1）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去得，，
由，因為，解得（舍），
所以由可得，所以，
所以點坐標為，則，解得，
故拋物線的標準方程為.
（2）設(shè)直線，假設(shè)存在這樣的點，設(shè)，，點，聯(lián)立方程消去整理得，可得，，
若點到直線，的距離相等，則直線，的斜率互為相反數(shù)，
有（先假設(shè)，），
可得，
整理得，，得對任意的都成立，得.顯然且.
故存在這樣的點的坐標為.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是將點到直線，的距離都相等轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，然后根據(jù)可得結(jié)果.本題考查了學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力．轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題．
19．已知橢圓E：的離心率為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為4
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）已知Q(4，0)，斜率為的直線(不過點Q)與橢圓E交于A，B兩點，O為坐標原點，若，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由
【答案】（1）；（2）過定點，定點坐標.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓定義可求得a的值，根據(jù)離心率為，可求得c的值，根據(jù)可求得b的值，即可求得橢圓E的標準方程；
（2）設(shè)，直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，可求得，的表達式，根據(jù)，可得直線AQ、BQ傾斜角互補，斜率相反，化簡整理，即可求得直線過的定點.
【詳解】
（1）由橢圓定義可知，，，
所以c=1，又，
所以橢圓E的標準方程為.
（2）直線l過定點，證明如下：
設(shè)，直線l：，
聯(lián)立方程，得，
，得，
，
因為，
所以，
所以，即，
所以，即，
代入，得，
化簡整理得，滿足，
則直線l方程為：，
所以直線過定點.
【點睛】
本題考查橢圓的方程求法及幾何性質(zhì)，解題的突破點在于根據(jù)，分析可得直線AQ、BQ傾斜角互補，斜率相反，根據(jù)斜率公式，列式計算即可，考查計算求值，分析理解的能力，屬中檔題.
20．設(shè)兩點的坐標分別為直線相交于點，且它們的斜率之積為，直線方程：，直線與直線分別相交于兩點，交軌跡與點
（1）求點的軌跡方程.
（2）求證：三點共線
（3）求證：以為直徑的圓過定點.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】
（1）設(shè)，化簡即得點的軌跡方程；
（2）設(shè)方程為，證明即得證；
（3）先求出圓方程為，即得解.
【詳解】
（1）設(shè)，由題意，
由已知有
化簡得
（2）設(shè)方程為，
令得點，
由消元得：
顯然恒成立
由，且，得：
代入直線方程得，
又因為，所以：，
所以直線為：，
令得點，，
聯(lián)立方程，
消去得：
所以，
，
因為有公共點，所以三點共線.
（3）設(shè)以為直徑的圓上點，則，
所以圓方程為
即
當時與無關(guān)，
所以以為直徑的圓過定點.
【點睛】
方法點睛：對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.
21．已知橢圓，以拋物線的焦點為橢圓E的一個頂點，且離心率為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線與橢圓E相交于A、B兩點，與直線相交于Q點，P是橢圓E上一點，且滿足（其中O為坐標原點），試問在x軸上是否存在一點T，使得為定值？若存在，求出點T的坐標及的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用橢圓以拋物線的焦點為頂點，且離心率為，求出，即可求橢圓E的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理確定P的坐標，代入橢圓方程，再利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）拋物線的焦點即為橢圓E的頂點，即，
∵離心率為 ，
，
∴橢圓E的方程為；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
直線方程代入橢圓方程，可得
，
代入橢圓方程可得

設(shè)T（t，0），Q（﹣4，m﹣4k），
，
∴


∴要使為定值，只需

∴在x軸上存在一點T（，0），使得．

【點睛】
本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
22．已知點是拋物線的準線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線、，其中、為切點.

（1）證明：直線過定點，并求出定點的坐標；
（2）若直線交橢圓于、兩點，、分別是、的面積，求的最小值.
【答案】（1）定點坐標為，證明見解析；（2）.
【分析】
（1）設(shè)點、、，寫出直線、的方程，再將點的坐標代入兩直線方程，可得出，可得知點、的坐標滿足直線的方程，可得出直線的方程，由此可求得直線所過定點的坐標；
（2）求得，由題意可知直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合弦長公式可得出關(guān)于的表達式，進而可求得的最小值.
【詳解】
（1）先證明出拋物線在其上一點處的切線方程為，
由于點在拋物線上，則，
聯(lián)立，消去得，，即，
所以，關(guān)于的方程有兩個相等的實根，此時，
因此，直線與拋物線相切，且切點為.
設(shè)點、，
則以為切點的切線方程為，同理以為切點的切線方程為，
兩條切線均過點，，即，
所以，點、的坐標滿足直線的方程，
所以，直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，所以，直線過定點；
（2）設(shè)點到直線的距離為，則.
由題意可知，直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，
設(shè)、，由，得，恒成立，
由韋達定理得，，
由弦長公式可得，
由，得，恒成立.
由韋達定理得，，
由弦長公式得.
，
當且僅當時，等號成立.
因此，的最小值為.
【點睛】
本題考查直線過定點的證明，同時也考查了三角形面積比值最值的求解，考查了切點弦方程的應(yīng)用以及韋達定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于難題.
23．已知橢圓的離心率為，其短軸長為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線，過橢圓右焦點的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點，過點作，垂足為．
①求證：直線過定點，并求出定點的坐標；
②點為坐標原點，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）①證明見解析；定點為；②．
【分析】
（1）根據(jù)離心率和短軸長求出后，可得橢圓的標準方程；
（2）①設(shè)直線，代入，得，根據(jù)韋達定理得和，根據(jù)點斜式求出直線的方程，令，得，利用和化簡可得，故可證直線過定點；
②根據(jù)，再換元可求得最大值.
【詳解】
（1）由題意可得，解得，
故橢圓的方程為．
（2）由對稱性，若直線過定點，則該定點必在軸上，
①由題得，設(shè)直線，
設(shè)，，，
聯(lián)立方程，得，（*）
所以有，，且，
因為，所以直線的方程為，
令，得，（**）
將代入（**），則，
故直線過定點，即定點為．
②在（*）中，，
所以，
又直線過定點，
∴，
令，則在上單調(diào)遞減，
故當，時，．
【點睛】
本題考查了求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了直線過定點問題，考查了面積問題，考查了運算求解能力，屬于中檔題.
24．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且
（1）求橢圓的方程
（2）過點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點A，B，求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標．
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
【分析】
（1）由已知得，從而可求出的值，進而可得橢圓的方程；
（2）當直線AB的斜率存在時，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，由可得，從而可得，由此可得或，進而可得直線方程恒過定點，當直線AB的斜率不存在時，設(shè)，，由 可求出坐標，從而可得直線方程，再驗證直線是否過定點即可
【詳解】
（1）解：由已知得
故所求橢圓的方程為．
（2）證明：①當直線AB的斜率存在時，設(shè)方程為，
與橢圓C聯(lián)立消去y得，
．
設(shè)，，
則．
因為，所以，
，
，
代入韋達定理，整理得，
解得或．
若，則直線AB的方程為，過點M，不符題意；
若，則直線AB的方程為，恒過點；
②當直線AB的斜率不存在時，設(shè)，，
由
解得或(舍)，
此時直線AB也過點．
綜上知，直線AB恒過定點．
【點睛】
此題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力和分類思想，屬于中檔題
25．已知橢圓：（）的左焦點，橢圓的兩頂點分別為，，M為橢圓上除A，B之外的任意一點，直線MA，BM的斜率之積為.

（1）求橢圓的標準方程;
（2）若P為橢圓短軸的上頂點，斜率為的直線不經(jīng)過P點且與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，設(shè)直線PE，PF的斜率分別為，且，試問直線是否過定點，若是，求出這定點；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）過定點（2，-1）.
【分析】
（1）設(shè)點，根據(jù)MA，BM的斜率之積為，可得，又M在橢圓上，所以，聯(lián)立方程，可解得，又根據(jù)題意，即可求得橢圓方程.
（2）設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達定理可得的表達式，根據(jù)題意，代入求解可得，代入直線，即可求得定點坐標.
【詳解】
（1）由題意知，設(shè)點，則①，
又點M在橢圓上，所以②，
①②聯(lián)立可得，即，
又及，解得：
所以橢圓方程為：.
（2）直線過定點（2，-1），證明如下：
設(shè)直線：，，
聯(lián)立方程，整理得：，
，，
所以=，
代入得：，
化簡得，此時，所以存在k使得成立，
所以直線l的方程為：，即，
所以直線l恒過定點（2，-1）
【點睛】
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與方程，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)韋達定理可得的表達式，再結(jié)合題意，代入求解即可，計算量偏大，考查計算化簡，分析理解的能力，屬中檔題.

四、填空題
26．設(shè)拋物線上兩點A，B位于x軸的同側(cè)，且A，B兩點的橫坐標之積為4，則直線經(jīng)過的定點坐標是______.
【答案】.
【分析】
設(shè)A，B同在第一象限，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程，消去y，可得x的二次方程，運用韋達定理，可得k，b的關(guān)系式，再由直線恒過定點的求法，可得所求定點.
【詳解】
可設(shè)A，B同在第一象限，設(shè)直線的方程為，
代入拋物線，可得，
則，
設(shè)A，B的橫坐標分別為，，
可得，即，或，
則直線的方程為，即，
則直線恒過定點，
若，則，直線過點，此時直線與拋物線相交的兩個交點在軸的異側(cè)，故舍去.
故答案為：.
【點睛】
思路點睛：利用直線與拋物線的位置關(guān)系求直線過定點問題時，常采用設(shè)出直線，與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件求得的關(guān)系，求得直線所過的定點.


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