?專題02 圓錐曲線中的面積問題
一、單選題
1．直線經(jīng)過拋物線的焦點F且與拋物線交于A、B兩點，過A、B兩點分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則的面積的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】
由拋物線方程求出焦點坐標，設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立求出兩點縱坐標之差的絕對值的最小值，再利用三角形面積公式可求得面積的最小值.
【詳解】
由拋物線可知，所以，準線為，
依題意設(shè)直線：，代入得，
設(shè)，
則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
所以.
故選：B
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：利用兩點的縱坐標之差的絕對值表示是本題解題關(guān)鍵.
2．已知，為橢圓的兩個焦點 ，是橢圓上任意一點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用橢圓焦點三角形面積公式，即可求解.
【詳解】
由題意知：，為橢圓的兩個焦點 ，是橢圓上任意一點，
所以是焦點三角形，且，，
所以，
故選：B
3．已知雙曲線的左右焦點分別為，若雙曲線上一點P使得，求的面積（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)雙曲線方程得到，，，設(shè)，，可得，. 由，在根據(jù)余弦定理可得:，即可求得答案.
【詳解】
，所以，，，
在雙曲線上，設(shè)，，
①
由，在根據(jù)余弦定理可得:

故②
由①②可得，
直角的面積
故選：C.
【點睛】
思路點睛：
在解決橢圓或雙曲線上的點與兩焦點組成的三角形問題時，往往利用橢圓或雙曲線的定義進行處理，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理和三角形的面積公式進行求解，要注意整體思想的應(yīng)用.
4．已知橢圓兩焦點，P為橢圓上一點，若，則的的內(nèi)切圓半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由余弦定理得，
得到，可求得面積，再由可得答案.
【詳解】
，，
由題意得，，由余弦定理得，
得，，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，
所以.
故選：B.
【點睛】
橢圓的焦點三角形常常考查橢圓定義，三角形中的正余弦定理，內(nèi)角和定理，面積公式等等，覆蓋面廣，綜合性較強，因此受到了命題者的青睞，特別是面積和張角題型靈活多樣，是歷年高考的熱點.
5．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，線段的中點在直線上，為坐標原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】
首先設(shè)，，利用點差法得到，從而得到直線.聯(lián)立直線與拋物線，利用根系關(guān)系得到，再求的面積即可.
【詳解】
由拋物線，得，
設(shè)，，
由題知：，
即.
由題意知：，
所以，
故直線.
聯(lián)立得：.
所以，.
故.
所以.
則的面積為.
故選：B.
【點睛】
方法點睛：利用點差法求焦點三角形的面積問題.
點差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標的時候,利用直線和圓錐曲線的兩個交點,并把交點代入圓錐曲線的方程,并作差.求出直線的斜率,然后利用中點求出直線方程.利用點差法可以減少很多的計算,所以在解有關(guān)的問題時用這種方法比較好.

二、多選題
6．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的焦點在圓上，圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于、兩點，若點滿足 (為坐標原點)，下列說法正確的有（ ）
A．雙曲線的虛軸長為
B．雙曲線的離心率為
C．雙曲線的一條漸近線方程為
D．三角形的面積為
【答案】BD
【分析】
根據(jù)題中條件，得到雙曲線的半焦距為，由雙曲線方程可得，其漸近線方程為，設(shè)，則，根據(jù)，以及點在圓上，求出的坐標，得出，求出雙曲線方程，再逐項判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為雙曲線的焦點在圓上，
所以雙曲線的半焦距為，
由可得其漸近線方程為，
因為圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于、兩點，不妨設(shè)，則，
又，，所以，即，
整理得，又點在圓上，所以，
由解得，即，
又點在漸近線上，所以，
由解得，因此雙曲線的方程為；
所以其虛軸長為，故A錯；
離心率為，故B正確；
其漸近線方程為，故C錯；
三角形的面積為，故D正確.
故選：BD.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：
解決本題的關(guān)鍵在于通過題中條件，求出雙曲線的方程；根據(jù)漸近線與圓的交點，以及，求出交點坐標，得出之間關(guān)系，進而可求出雙曲線方程，從而可得出結(jié)果.
7．已知曲線C的方程為，，點P是C上的動點，直線與直線交于點M，直線與直線交于點N，則的面積可能為（ ）
A．73 B．76 C．68 D．72
【答案】ABD
【分析】
設(shè)，求出，求出的坐標和的最小值，得到的面積的最小值，即得解.
【詳解】
設(shè)，則．
設(shè)，則，
直線的方程為，則點M的坐標為，
直線的方程為，
則點N的坐標為．所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
從而面積的最小值為.
故選：ABD．
【點睛】
方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：
（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.
（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.
（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；
（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性、直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.
（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.
8．雙曲線C：的右焦點為F，點P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線C的離心率為；
B．若，則的面積為；
C．的最小值為2；
D．雙曲線與C的漸近線相同.
【答案】ABD
【分析】
由題知，雙曲線方程，，再利用雙曲線離心率，雙曲線漸近線方程，點到直線的距離可以分別判斷選項.
【詳解】
選項A，因為，所以，則離心率為，故A正確；
選項B，若，又點P在雙曲線C的一條漸近線上，不妨設(shè)在上，即，點到漸近線的距離為，則，所以的面積為，故B正確；
選項C，的最小值就是點F到漸近線的距離，故C錯誤；
選項D，它們的漸近線都是，漸近線相同，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】
關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要熟記漸近線方程和離心率公式，考查學(xué)生的分析問題能力和運算求解能力，屬于中檔題.
9．已知、是雙曲線的上、下焦點，點是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點，則下列說法正確的有（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．以為直徑的圓方程為
C．點的橫坐標為
D．的而積為
【答案】AD
【分析】
由雙曲線的標準方程可求得漸近線方程，可判斷A選項的正誤；求得的值，可求得以為直徑的圓的方程，可判斷B選項的正誤；將圓的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，求得點的坐標，可判斷C選項的正誤；利用三角形的面積公式可判斷D選項的正誤.
【詳解】
由雙曲線方程知,，焦點在軸，漸近線方程為，A正確；
，以為直徑的圓的方程是，B錯誤；
由得或，由得或.
所以，點橫坐標是，C錯誤；
，D正確．
故選：AD．
【點睛】
雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.
三、解答題
10．已知圓，直線是圓與圓的公共弦所在直線方程，且圓的圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）過點分別作直線、，交圓于、、、四點，且，求四邊形面積的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）設(shè)出經(jīng)過圓和直線的圓系方程，利用圓心在直線上可求得結(jié)果；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，可求出四邊形的面積為，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則直線，利用幾何方法求出和，求出四邊形面積，再換元求出最值可得取值范圍.
【詳解】
（1）依題意可設(shè)圓的方程為，
整理得，
所以圓心，
因為圓心在直線上，所以，解得，
所以圓的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，四邊形面積為，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，即，則直線，
圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，
所以，，
所以四邊形面積為，
令，則，
所以，
當(dāng)，即時，取得最大值，此時四邊形的面積的最大值為，
當(dāng)，即時，取得最小值，此時四邊形面積的最小值為，
綜上所述：四邊形面積的取值范圍為
【點睛】
結(jié)論點睛：經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程為.
11．已知橢圓的一個焦點為，左、右頂點分別為，．經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點．
（1）當(dāng)直線的傾斜角為時，求線段的長；
（2）記與的面積分別為和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）同橢圓方程為，直線方程為，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達定理、弦長公式能求出的長．
（2）當(dāng)直線無斜率時，直線方程為，，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出的最大值．
【詳解】
解：（1）因為為橢圓的焦點，所以，又，
所以，所以橢圓方程為，
因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為1，
所以直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立得到
，消掉，得到，
所以△，，，
所以線段的長．
（2）當(dāng)直線無斜率時，直線方程為，
此時，，，面積相等，，
當(dāng)直線斜率存在（由題意知時，設(shè)直線方程為，
設(shè)，，，，
和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉得，
△，方程有根，且，，
此時
時等號成立）
所以的最大值為．
【點睛】
求解時注意根的判別式，韋達定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．
12．已知直線與拋物線交于A、B兩點，P是拋物線C上異于A、B的一點，若重心的縱坐標為，且直線、的傾斜角互補．
（Ⅰ）求k的值．
（Ⅱ）求面積的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）設(shè)，利用斜率公式得到直線、、的斜率，根據(jù)直線、的傾斜角互補．得到，根據(jù)三角形的重心的坐標公式可得，從而可得；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出邊上的高，根據(jù)面積公式求出面積，再利用導(dǎo)數(shù)求出取值范圍即可.
【詳解】
（Ⅰ）設(shè)，
則，同理可得，
因為直線、的傾斜角互補，所以，
即，
又重心的縱坐標為，根據(jù)三角形的重心的坐標公式可得，
所以，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線，與拋物線方程聯(lián)立，并整理得，
其判別式，所以．
而，
因此，，
又由（Ⅰ）知，，所以，所以，
到直線的距離為，
所以
令，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞減，所以，
故.
【點睛】
結(jié)論點睛：本題中用到的結(jié)論：①三角形的重心的坐標公式，若三角形的三個頂點的坐標為，則三角形的重心的坐標為，
②弦長公式：，本題考查了運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.
13．已知橢圓的右焦點為，直線被稱作為橢圓的一條準線，點在橢圓上（異于橢圓左、右頂點），過點作直線與橢圓相切，且與直線相交于點.
（1）求證：；
（2）若點在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的斜率的平方.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式列方程，求得點的坐標，求得點的坐標，通過計算得到，由此證得.
（2）求得，由此求得三角形面積的表達式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最小值，進而得出直線的斜率的平方.
【詳解】
（1）證明：由題意得，點的坐標為，設(shè).
由，得
，.
即點坐標為.
當(dāng)時，可求得點的坐標為，
，.

故.
（2）解：點在軸上方，，
由（1）知；


①當(dāng)時，由（1）知，
函數(shù)單調(diào)遞增
.
②當(dāng)，由（1）知，
令
則
由

當(dāng)時，，此函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此函數(shù)單調(diào)遞減.
函數(shù)即的最小值，
此時，，解得.
綜上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的斜率的平方為.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查平面向量數(shù)量積的坐標表示垂直關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的最值有關(guān)的計算，解決本題的關(guān)鍵點是表示出，按和分別將用表示，并構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值，考查了學(xué)生分析解決問題的能力和運算求解能力，屬于中檔題.
14．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓(a>b>0)的左、右焦點，且橢圓的離心率為，過F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且的周長為，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F2點且垂直于的直線與橢圓交于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由的周長為，可得，又橢圓的離心率為，即可得出結(jié)果；（2）分類討論：當(dāng)所在的直線斜率不存在時，此時四邊形的面積為：；當(dāng)所在的直線斜率存在且不為時，不妨設(shè)直線的方程為：，，直線的方程為：，分別與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得,利用四邊形的面積，可得關(guān)于斜率的式子，再利用基本不等式求最值即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）由的周長為，
可得，
又橢圓的離心率為，
可得，
所以，
所以橢圓C的方程為：；
（2）又橢圓可得：
，
①當(dāng)所在的直線斜率不存在時，所在的直線斜率為，
此時四邊形的面積為：；
②當(dāng)所在的直線斜率存在時，
由題意知所在的直線斜率不為，
不妨設(shè)直線的方程為：，，
則直線的方程為：，
聯(lián)立，化為：
，
由韋達定理得：，
所以，
把換成，可得，
所以四邊形的面積為：


，
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
此時，
綜上：四邊形ACBD面積的最小值為.
【點睛】
思路點睛：兩條直線相互垂直，先考慮有一條直線的斜率不存在，再分析直線的斜率存在的情況，利用斜率之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式，四邊形面積計算公式以及基本不等式求最值.
15．已知拋物線的焦點F恰為橢圓的一個頂點，且拋物線的通徑（過拋物線的焦點F且與其對稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準線間的距離.
（1）求拋物線及橢圓的標準方程；
（2）過點F作兩條直線，，且，的斜率之積為.
①設(shè)直線交拋物線于A，B兩點，交拋物線于C，D兩點，求的值；
②設(shè)直線，與橢圓的另一個交點分別為M，N.求面積的最大值.
【答案】（1）；(2) ① ②
【分析】
(1)由拋物線的焦點為橢圓的右焦點可得p，求出拋物線方程，根據(jù)通徑與準線間的距離可求a，c，即可求出橢圓方程；
（2）①設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式可求出弦長，代入即可計算求解②設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系，得出弦長，同理可得另外一條弦長，根據(jù)三角形面積公式表示出面積，換元后求最值即可.
【詳解】
(1) ,
右頂點為，
即拋物線的焦點 ,
，
故拋物線方程為，
因為拋物線的通徑的長等于橢圓的兩準線間的距離，
所以，
，
，
橢圓的標準方程為：
(2) ①設(shè)，代入 消元得：
，
設(shè)，
，
，
又，
同理可得


②仍設(shè)，
代入橢圓方程消元得：
，
即，
，
，
同理得，
，
（當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立），
令，則 ，
,
對于，在 上是增函數(shù)，
當(dāng)時，即時，，
，
面積的最大值為.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題求解過程中，需要熟練運用弦長公式，以及類比的思想的運用，在得到三角形面積后，利用換元法，化簡式子，求最值是難點，也是關(guān)鍵點，題目較難.
16．已知橢圓經(jīng)過點，且短軸長為2.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點，且，求面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知條件求出，，然后求解橢圓方程；
（2）當(dāng)，斜率一個為0，一個不存在時，；當(dāng)，斜率都存在且不為0時，設(shè)，，，，，由求出的坐標，然后推出坐標，求解，，求出三角形的面積的表達式，利用基本不等式求解最值.
【詳解】
（1）由題意知，，，解得，，
故橢圓方程為：.
（2）當(dāng)，斜率一個為0，一個不存在時，，
當(dāng)，斜率都存在且不為0時，設(shè)，，，，，
由消得，，
，得，，
，
，
又，所以，
綜上，面積的取值范圍為.
【點睛】
方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：
（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.
（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.
（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思.
（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.
（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.
17．在平面直角坐標系中，動點到直線的距離與到點的距離之差為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點的直線與交于、兩點，若的面積為，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）本題首先可以設(shè)動點，然后根據(jù)題意得出，通過化簡即可得出結(jié)果；
（2）本題首先可排除直線斜率不存在時的情況，然后設(shè)直線方程為，通過聯(lián)立方程并化簡得出，則，，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)的面積為即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）設(shè)動點，
因為動點到直線的距離與到點的距離之差為，
所以，化簡可得，
故軌跡的方程為.
（2）當(dāng)直線斜率不存在時，其方程為，
此時，與只有一個交點，不符合題意，
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，
聯(lián)立方程，化簡得，，
令、，則，，
因為，
所以
，
因為的面積為，
所以，解得或，
故直線的方程為：或.
【點睛】
本題考查動點的軌跡方程的求法以及拋物線與直線相交的相關(guān)問題的求解，能否根據(jù)題意列出等式是求動點的軌跡方程的關(guān)鍵，考查韋達定理的應(yīng)用，在計算時要注意斜率為這種情況，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.
18．如圖，為橢圓的下頂點，過點的直線交拋物線于兩點，是的中點.

（1） 求證:點的縱坐標是定值；
（2）過點作與直線傾斜角互補的直線交橢圓于兩點.問：為何值時，的面積最大？并求面積的最大值.
【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，面積最大值為.
【分析】
（1）由題意可得：，不妨設(shè)，則，代入拋物線方程，整理得，計算可得點的縱坐標值為，從而得證；
（2）由題意可得：，求得直線的斜率，可求得直線的斜率和方程，不妨記，則，代入橢圓方程并整理得，
設(shè)，，求得的值和點到直線的距離，進而根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式可求的面積的最大值，即可求解.
【詳解】
（1）易知，不妨設(shè)，則，
代入拋物線方程得，得，
∴，
故點C的縱坐標為定值.
（2）∵點C是AB的中點，
，
設(shè)直線的斜率為，則，
所以直線的斜率為，
∴直線的方程為，即，
不妨記，則，
代入橢圓方程并整理得，
設(shè)，，則


點到直線的距離，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
解得，所以，從而
故當(dāng)時，的面積最大.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：設(shè)出結(jié)合，可得利用點在拋物線上可求出，利用其計算的值；第二問關(guān)鍵是根據(jù)傾斜角互補可得直線與直線的斜率互為相反數(shù)，直線的方程為，利用弦長公式和點到直線距離公式，三角形面積公式將的面積表示出來，最關(guān)鍵的是利用基本不等式求最值，這是難點也是易考點.
19．已知橢圓的左、右頂點分別為，.過右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且.

（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于的直線經(jīng)過點，且交橢圓于不同的兩點（在點之間）.記與的面積之比為，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由橢圓性質(zhì)結(jié)合通徑運算即可得解；
（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理得，再由三角形的面積公式即可得解.
【詳解】
（1）因為，所以即，
設(shè)橢圓右焦點，
當(dāng)時，，所以，，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，，則，
由，整理可得，
，解得，
所以，，
則
，
所以，
所以.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理即可得解.
20．已知雙曲線的標準方程為，分別為雙曲線的左、右焦點.
（1）若點在雙曲線的右支上，且的面積為，求點的坐標；
（2）若斜率為1且經(jīng)過右焦點的直線與雙曲線交于兩點，求線段的長度.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）由雙曲線方程可得，進而可得點的縱坐標，代入即可得解；
（2）聯(lián)立方程組，由韋達定理、弦長公式運算即可得解.
【詳解】
（1）由題意，雙曲線的焦距，
設(shè)點，則，解得，
代入雙曲線方程可得，
所以點的坐標為或；
（2）由題意，，則直線，
設(shè)，
由，化簡可得，
則，，
所以.
21．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線與的兩個交點間的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）分別過作滿足，設(shè)與的上半部分分別交于兩點，求四邊形面積的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3.
【分析】
(I)利用離心率及直線y=1與C的兩個交點間的距離，求出a， b，即可求橢圓C的方程;
（Ⅱ）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用基本不等式，求四邊形面積的最大值.
【詳解】
（Ⅰ）易知橢圓過點，
所以， ①
又， ②
， ③
由①②③得，，
所以橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)直線，它與C的另一個交點為D.
與C聯(lián)立，消去x，得，
.
設(shè)交點
則，
，
又到的距離為，
所以.
令，則，
所以當(dāng)時，最大值為3.
又
所以四邊形面積的最大值為3.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消元后利用弦長公式、點到直線的距離公式，表示三角形的面積，換元后由均值不等式可求出最值，找到四邊形與三角形的關(guān)系即可解決，屬于中檔題.
22．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點都在橢圓上，且的中點在線段（不包括端點）上.
①求直線的斜率；
②求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】
（1）利用離心率，點代入橢圓方程，及，解方程即得參數(shù)a，b，即得方程；
（2）先利用兩點坐標代入橢圓方程，再作差即求得直線的斜率；設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓的方程，利用弦長公式計算AB的長度，再利用點到直線的距離公式計算的高，即得到面積，最后利用基本不等式求其最大值即可.
【詳解】
解：（1）離心率，代入橢圓方程得，又，
解得，故橢圓的方程是；
（2）①點都在橢圓上，設(shè)，則，作差得，即，
因為，，，即直線的斜率是；
②設(shè)直線的方程是，聯(lián)立橢圓得，
由解得，且，
故，
又O到直線AB的距離為，
故面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故面積的最大值為.
【點睛】
解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：
①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
23．已知橢圓M：的一個焦點為，左右頂點分別為A，B．經(jīng)過點的直線l與橢圓M交于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的傾斜角為時，求線段CD的長；
（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為和，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大值為.
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得結(jié)果；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果；
（Ⅲ）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求出，，變形后利用基本不等式可求得最大值.
【詳解】
（Ⅰ）因為橢圓的焦點為，所以且，所以，
所以橢圓方程為.
（Ⅱ）因為直線l的傾斜角為，所以斜率為1，直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，
則，，
所以.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
則，，所以異號，
所以
,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
所以的最大值為.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：第（Ⅲ）問中將三角形面積用兩點的縱坐標表示，并利用韋達定理和基本不等式解決是解題關(guān)鍵.
24．已知圓：和點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和相交于點，的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）點是曲線與軸正半軸的交點，直線交于?兩點，直線，的斜率分別是，，若，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，再表示為橢圓定義，得到曲線方程；（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，求得，再表示的面積求最值.
【詳解】
（1）圓：的圓心為，半徑為，點
的垂直平分交于點∴
在圓內(nèi)，，
所以曲線是，為焦點，長軸長為的橢圓，
由，，得，所以曲線的方程為.
（2）①設(shè)，，直線：，聯(lián)立方程組得
，
由，解得，，，
由知
，
且，代入化簡得，解得，
②(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).
綜上，面積的最大值為.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查求曲線（橢圓）方程，考查直線與橢圓相交中的面積問題，解題方法是：
（1）求曲線方程采用定義法，利用幾何關(guān)系表示橢圓的定義，即可得曲線方程．
（2）直線與橢圓相交問題采取“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點為，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達定理得，本題的關(guān)鍵是求出，然后代入三角形面積，把面積轉(zhuǎn)化為參數(shù)的函數(shù)后求解．
25．如圖，在平面直標中，橢圓過點.

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點A為橢圓C的左頂點，過點A的直線與橢圓C交于x軸上方一點B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中直線CD過原點，求平行四邊形ABCD面積S的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在如下的平行四邊形ABCD：“原點到直線AB的距離與線段AB的長度相等”，請說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在滿足條件的平行四邊形，理由見解析.
【分析】
（1）將點的坐標代入橢圓方程得到方程組，解出方程即可得到答案.
（2）設(shè)點的坐標為,可求出，則直線AB的方程為，點到直線AB的距離為，得出S的表達式，從而可得出答案.
(3)假設(shè)存在滿足條件的平行四邊形，則，結(jié)合， 分析解方程組是否有解，從而得出答案.
【詳解】
解：（1）由題意有，解得
故橢圓的標準方程為
（2）設(shè)點的坐標為，有
點A的坐標為，
直線AB的方程為，整理為
點到直線AB的距離為

由，可知當(dāng)時，平行四邊形面積的最大值為
（3）由（2）有，若存在滿足條件的平行四邊形，只需要方程組有解
整理為
上述方程組有解的問題化歸為橢圓與圓是否有交點的問題由下圖可知，橢圓和圓有兩個交點，顯然點為所示

故存在滿足條件的平行四邊形.
【點睛】
關(guān)鍵點睛：本題中求四邊形的面積的關(guān)鍵是選擇一個合適的量將面積的目標函數(shù)
表示出來，設(shè),則，然后表示出直線AB的方程，由點到直線的距離求出高，即可表示出目標函數(shù),(3)問中分析出方程組所表示的幾何意義是關(guān)鍵，屬于中檔題.

四、填空題
26．已知橢圓的左、右焦點分別為，過且傾斜角為的直線交橢圓于兩點，則的內(nèi)切圓半徑為________．
【答案】
【分析】
求出△ABF1的周長和面積，可得內(nèi)切圓半徑．
【詳解】
因為橢圓的左、右焦點分別為，
所以直線為：，
代入橢圓方程可得：，
設(shè)兩點坐標為， ，
則，
故的面積， 的周長C=4a=8，
所以的內(nèi)切圓半徑為，
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：考查三角形內(nèi)切圓半徑．橢圓中過一個焦點的弦與另一焦點構(gòu)成的三角形的周長為長軸長的2倍，即．利用三角形面積可求解.
27．橢圓的左焦點為F，直線與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，的面積為________.
【答案】.
【分析】
首先利用橢圓的定義得的周長為
，得出直線經(jīng)過橢圓的右焦點時周長最大，進而得出直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，求出的值，利用即可求解.
【詳解】
由橢圓的標準方程得：，
如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點為，

則的周長為
，
當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的右焦點時取等號，
將代入得，
∴直線的方程為：，
設(shè) ，，
聯(lián)立，消得：，
∴，，
∴，
∴的面積＝
故答案為：.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是的周長為利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為
，進而求出直線過右焦點時的周長最大，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立很容易想到，下一步求面積迎刃而解.
28．已知橢圓，過右焦點的直線與橢圓交與兩點，為坐標原點，則的面積為__________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，求出右焦點，將直線方程代入橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，解方程求出方程根，求出的面積即可.
【詳解】
由題意可知，橢圓，
又直線方程為，
將其代入橢圓，
消去整理可得，
設(shè)，，則，
所以的面積為.
故答案為:.
29．直線與拋物線交于，兩點，為拋物線上一點，，，三點的橫坐標依次成等差數(shù)列.若中，邊上的中線的長為3，則的面積為____.
【答案】
【分析】
設(shè)出，，，由成等差數(shù)列得到，利用點差法得到，再利用韋達定理可得弦長，然后求面積.
【詳解】
設(shè)，，，因為，，三點的橫坐標依次成等差數(shù)列，
所以，又因為為邊上的中線，所以軸，即，因為，在拋物線上，
所以有，兩式作差可得，
所以，所以直線的方程為，
即，由得：，
所以，所以，
故
【點睛】
解決本題的關(guān)鍵點是利用點差法得到直線的斜率和中點坐標之間的關(guān)系，結(jié)合韋達定理得到弦長.
30．已知點，拋物線的焦點為，準線為l，線段交拋物線于點．過作的垂線，垂足為，若，則三角形的面積__________．
【答案】
【分析】
由拋物線的定義可知，，，再由直角三角形的性質(zhì)可知，點為的中點，利用中點坐標公式求出點的坐標，代入拋物線方程求出的值，根據(jù)
即可算出結(jié)果．
【詳解】
解：如圖所示：
，
由拋物線的定義可知，，，
又，
由直角三角形的性質(zhì)可知，點為的中點，
，，
把點，代入拋物線方程：得，，解得，
，，
，
故答案為：．
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形由拋物線的定義得，，，再由直角三角形的性質(zhì)得，點為的中點，利用中點坐標公式表示出點的坐標，考查了直角三角形的性質(zhì)，是中檔題．
31．已知經(jīng)過點（1，0）的直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，點C（-1，-1），且CA⊥CB，則△ABC的面積為________．
【答案】
【分析】
由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立拋物線方程有，，結(jié)合CA⊥CB結(jié)合向量垂直的坐標表示即可求，應(yīng)用點線距、焦點弦長公式即可求△ABC的面積.
【詳解】

由題意，設(shè)直線的方程為與拋物線y2＝4x相交于，
∴、為的兩個根，即有，，
又∵CA⊥CB，由向量垂直的坐標表示，有，得，
若設(shè)C到AB的距離為h，則，
∴由，，
所以，
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：由于直線可能垂直于x軸而不可能平行x軸，用點斜式設(shè)直線為y表示x的方程，注意該直線過拋物線焦點，聯(lián)立方程求得，并應(yīng)用點線距、焦點弦長公式、三角形面積公式求面積.
32．已知經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，點，且，則的面積為______.

【答案】
【分析】
設(shè)直線，聯(lián)立，由，利用韋達定理求得，然后再求得點到的距離及弦長求解.
【詳解】
設(shè)直線，
設(shè)點，，聯(lián)立，得，
則，，
則，.
由題意知，
所以，
展開并代入化簡得，
所以，
所以的方程為，
點到的距離為，
，
所以.
故答案為：
【點睛】
本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系研究三角形面積問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
五、雙空題
33．設(shè)拋物線的焦點為，準線為，過焦點的直線交拋物線于兩點，分別過作的垂線，垂足為，若，則_________.的面積為_________.
【答案】 5
【分析】
由題意利用焦點坐標即可求得的值，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合幾何關(guān)系和弦長公式即可求得的面積．
【詳解】
解：拋物線的焦點為，所以，所以，
如圖所示，過點作，交直線于點，
由拋物線的定義知，，且，
所以，，
所以，
可知：，
所以直線的斜率為，
設(shè)直線的方程為，點，，，，
由，消去整理得，所以，
所以，
所以，
所以的面積為，
故答案為：．

【點睛】
(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．


相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題06 圓錐曲線中的定值問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題06 圓錐曲線中的定值問題（含解析），共53頁。試卷主要包含了單選題，多選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題05 圓錐曲線中的定點問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題05 圓錐曲線中的定點問題（含解析），共42頁。試卷主要包含了多選題，單選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題04 圓錐曲線中的范圍問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題04 圓錐曲線中的范圍問題（含解析），共46頁。試卷主要包含了單選題，多選題，解答題，填空題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題01 圓錐曲線中的弦長問題（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題01 圓錐曲線中的弦長問題（含解析）
新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題01 圓錐曲線中的弦長問題（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點突破練習(xí)專題01 圓錐曲線中的弦長問題（含解析）
(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點突破練習(xí)專題02 圓錐曲線中的面積問題(解析版)

(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點突破練習(xí)專題02 圓錐曲線中的面積問題(解析版)
（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題02 圓錐曲線中的面積問題

（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題02 圓錐曲線中的面積問題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部