?深圳實驗學校光明部2022-2023學年第一學期九年級10月月考數(shù)學試卷
一、選擇題（每題3分，共30分）
1. 下列圖形是中心對稱圖形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各圖的性質(zhì)求解．
【詳解】A、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是中心對稱圖形，故此選項正確；
C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2. 用頻率估計概率，可以發(fā)現(xiàn)，拋擲硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，那么擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，下列說法正確的是（ ）
A. 每兩次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上
C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上
【答案】B
【解析】
【分析】概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)，據(jù)此逐項判斷即可．
【詳解】解：拋擲硬幣“正面朝上”的概率為0.5，
那么擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，可能有5次正面向上，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了概率的意義和應用，解題的關(guān)鍵是要明確：概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．
3. 下列說法正確的有（　?。﹤€．
①對角線相等的四邊形一定是矩形
②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是菱形
③已知點C為線段AB的黃金分割點，AB＝4，則AC＝2
④有一個角是40°的兩個等腰三角形相似
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的判定方法對A進行判斷；根據(jù)中點四邊形對B進行判斷；根據(jù)黃金分割對C進行判斷；根據(jù)相似三角形的判定對D進行判斷．
【詳解】解：①對角線互相平分且相等四邊形是矩形，所以說法錯誤；
②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是菱形，說法正確；
③已知點C為線段AB的黃金分割點，AB＝4，則AC＝（2）或（6﹣2）；
④當40°的角在一個三角形中是底角，在另一個三角形中是頂角時，兩三角形不相似，所以說法錯誤．
故正確的有1個，
故選：D．
【點睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
4. 一個不透明的盒子里有150個紅、黃兩種顏色的小球，這些小球除顏色外其他完全相同，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3，那么估計盒子中紅球的個數(shù)為（　?。?br /> A. 45 B. 85 C. 95 D. 105
【答案】D
【解析】
【分析】設盒子中紅球的個數(shù)為x，則黃球的個數(shù)為（150﹣x），根據(jù)“大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3”列出關(guān)于x的方程，解之可得．
【詳解】設盒子中紅球的個數(shù)為x，則黃球的個數(shù)為（150﹣x），根據(jù)題意，得：
0.3，
解得：x=105，
即盒子中紅球大約有105個．
故選D．
【點睛】本題考查了利用頻率求數(shù)量，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
5. 如圖，點P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來的，得到△A′B′C′，點P在A′C′上的對應點P′的的坐標為（　?。?br />
A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4）
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k，進而結(jié)合已知得出答案．
【詳解】∵點P（8，6）在△ABC邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來的，得到△A′B′C′，
∴點P在A′C′上的對應點P′的的坐標為：（4，3）．
故選A．
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵．
6. 如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且BP＝1，D為AC上一點，若∠APD＝60°，則CD的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意知，求得CD的長只需證的△ABP∽△PCD即可．
【詳解】∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=3
又BP=1，
∴ PC=2，
又∠APD=60°，∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD
∴AB:CP=BP:CD
即，3:2=1：CD,
∴CD=
∴選項A,C,D錯誤，
只有B正確．
【點睛】本題難度小，在解題過程中注意找準對應邊，由已知可得到相似比，從而求出．
7. 反比例函數(shù)圖象上有三個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0 ＜x2 ＜x3，則y1 ，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出其函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜0 ＜x2 ＜x3，判斷出各點橫坐標的大小即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，-k2-1＜0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于二，四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
∵x1＜0 ＜x2 ＜x3，
∴（x1，y1）兩點位于第二象限，點（x2，y2），（x3，y3）位于第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故選：B．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．
8. 如圖，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡位于點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處．點E到地面的高度ED＝3.5m，點F到地面的高度FC＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上，則燈泡到地面的高度GA為（　?。?br />
A. 1.2m B. 1.3m C. 1.4m D. 1.5m
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)△BFC∽BED，得，求出BC的長，從而得到AB的長，再根據(jù)△BGA∽△BFC，得，求出AG的長．
【詳解】解：由題意可得：FC∥DE，
∴△BFC∽BED，
∴，即，解得：BC＝3m，
則AB＝5.4-3＝2.4m，
∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，即，解得AG＝1.2m．
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)列式求解．
9. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點E為AC的中點，的面積為1，則k的值為（ ）

A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】設D點坐標為，表示出E、F、B點坐標，求出的面積，列方程即可求解．
【詳解】解：設D點坐標為，
∵四邊形ABCD是矩形，則A點坐標為，C點縱坐標為，
∵點E為AC的中點，則E點縱坐標為，
∵點E在反比例函數(shù)圖象上，代入解析式得，解得，，
∴E點坐標為，
同理可得C點坐標為，
∵點F在反比例函數(shù)圖象上，同理可得F點坐標為，
∵點E為AC的中點，的面積為1，
∴，即，可得，，
解得，
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是設出點的坐標，依據(jù)面積列出方程．
10. 如圖，正方形的邊長為6，點是邊的中點，連接與對角線交于點，連接并延長，交于點，連接交于點，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)求證 ,從而判斷①；延長DE,AB相交于點M,根據(jù)條件證出△DCH∽△MFH，從而判斷②；根據(jù)勾股定理及三角形面積公式求得，然后根據(jù)△DCG∽△BFG求得，從而判斷④，過點H作HK⊥AB，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得，，求得，從而判斷③.
【詳解】解：由題意可知：
又∵正方形ABCD中，AB=CB,BG=BG
∴△ABG≌△CBG
∴
又∵點E是BC的中點，
∴CE=BE
又∵正方形ABCD中，AB=CD,
∴△DCE≌△ABE
∴
∵
∴ ,即①正確；

如圖：延長DE,AB相交于點M
∵在正方形ABCD中，點E是BC的中點，
∴易證△DCE≌△MBE
∴DC=BM=6
又由①正確
可得
又∵
∴△DCE≌△CBF
∴BF=CE=3
∵DC∥AB
∴△DCH∽△MFH
∴
∴②正確；


由題意可知CE=3,DC=6,∠DCE=90°
∴
又根據(jù)三角形面積公式可得：
∴
由△DCE≌△CBF
∴CF=DE
∵DC∥AB
∴△DCG∽△BFG
∴ ,即
∴
∴，④正確.

過點H作HK⊥AB
由易證可知
∴ ,即
∴
同理： ,即
∴
∴
∴在Rt△AHK中，
∴③正確；正確的共4個，
故選D.
【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應用，做題時，適當添加輔助線，找準相似三角形的對應角和對應邊是解題關(guān)鍵.
二、填空題（每題3分，共15分）
11. 已知==，則=___________．
【答案】
【解析】
【分析】設x=2k，y=3k，z=4k，然后代入分式化簡即可．
【詳解】解：設x=2k，y=3k，z=4k，
則==，
故答案為．
【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)和分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)==設出x=2k，y=3k，z=4k．
12. 在一個不透明的袋子里，有2個黑球和1個白球，除了顏色外全部相同，任意摸兩個球，摸到1黑1白的概率是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與所摸到1黑1白的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖得：

共有6種等可能的結(jié)果，所摸到的球恰好為1黑1白的有4種情況，
∴所摸到的球恰好為1黑1白的概率是：．
故答案為．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．解題時注意：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
13. 若點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，線段AC的長為4，則BC＝_____．
【答案】2﹣2
【解析】
【分析】根據(jù)黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，據(jù)此列出方程即可求解．
【詳解】解：設BC的長為x，
根據(jù)黃金分割的定義可知：
，即，
∴，即4x+x2=16，
解得x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（不符合題意，舍去），
∴BC的長為2﹣2；
故答案為：2﹣2．
【點睛】本題考查了黃金分割的定義以及解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義．
14. 如圖，在ABCD中，M為BC中點，AN=3MN，BN的延長線交AC于點E，交CD于點F．若ABE的周長為6，則CFE的周長為___________．

【答案】4
【解析】
【分析】先由平行四邊形的性質(zhì)得到，，然后由平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)求出，最后計算即可．
【詳解】解：如圖，延長AD、BF交于G，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴，，，，
∴BCE∽GAE，BMN∽GAN，
∴，，
∵AN=3MN，
∴，
∴AG=3BM，
∵M為BC中點，
∴BC=2BM，
∴，
∵，
∴，，
∴ABE∽CFE，
∴，
∵ABE的周長為6，
∴CFE周長為4，
故答案為4．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過邊AB的中點D，與邊AO交于點C，且，AB垂直于BO，連接，若的面積為，則k的值為_______．

【答案】
【解析】
【分析】設點D的坐標為，得，結(jié)合題意得：，從而推導得；結(jié)合AB的中點為點D，得，經(jīng)計算即可完成求解．
【詳解】設點D的坐標為
∴
∵
∴
又∵AB的中點為點D
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)、直角坐標系、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)、直角坐標系、一元一次方程、三角形中線的性質(zhì)，從而完成求解．
三、解答題（共55分）
16. 選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br /> （1）；
（2）（x﹣2）（x﹣3）=1．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先移項，再用十字相乘法求解；
（2）先化為一般式，再根據(jù)公式法求解．
【小問1詳解】
解：

（x﹣2）（x﹣4）=0

【小問2詳解】
解：（x﹣2）（x﹣3）=1



由求根公式得

【點睛】本題考查了用公式法和十字相乘法解一元二次方程，熟練掌握運算方法是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，已知點O是坐標原點，B、C兩點的坐標分別為（3，－1），（2，1）．

（1）以O點為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到原圖的2倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫出對應的△OB?C?；
（2）若△OBC內(nèi)部一點M的坐標為（a，b），則點M對應點M′的坐標是 ；
（3）求出變化后△OB?C?的面積 ．
【答案】（1）見解析；（2）（－2a，－2b）；（3）10
【解析】
【分析】（1）把B、C的橫縱坐標都乘以-2得到B′、C′的坐標，然后描點即可；
（2）利用（1）中對應點的關(guān)系求解；
（3）先計算△OBC的面積，然后利用相似的性質(zhì)把△OBC的面積乘以4得到△OB?C?的面積．
【詳解】（1）如下圖，△OB?C?為所作；

（2）點M對應點M′的坐標為（－2a，－2b）；
（3）．
【點睛】本題考查了作圖、位似變換，熟練應用以原點為位似中心的兩位似圖形對應點的坐標的關(guān)系確定變換后對應點的坐標，然后描點得到變換后的圖形．
18. 隨著道路交通的不斷完善，某市旅游業(yè)快速發(fā)展，該市旅游景區(qū)有A、B、C、D、E等著名景點，市旅游部門統(tǒng)計繪制出2017年“五?一”長假期間旅游情況統(tǒng)計圖（不完整）如下所示，根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：
（1）2017年“五?一”期間，該市旅游景點共接待游客　　萬人，扇形統(tǒng)計圖中A景點所對應的圓心角的度數(shù)是　　，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）在等可能性的情況下，甲、乙兩個旅行團在A、B、D三個景點中選擇去同一景點的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表加以說明．

【答案】（1）50、108°；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用，即可以求出總?cè)藬?shù)，然后利用A占總?cè)藬?shù)的30％，根據(jù)360°×30％這個式子，可以求出景點A所占扇形圖的度數(shù)．
（2）作出樹狀圖，得到所有可能的情況，即可以求出甲、乙兩個旅行團在A、B、D三個景點中選擇去同一景點的概率是多少．
【詳解】（1）該市旅游景點共接待游客15÷30%=50（萬人），
扇形統(tǒng)計圖中A景點所對應的圓心角的度數(shù)是360°×30%=108°，
B景點的人數(shù)為50×24%=12（萬人），
補全條形圖如下：

故答案為 50、108°；
（2）畫樹狀圖可得：

∵共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中同時選擇去同一個景點的結(jié)果有3種，
∴同時選擇去同一個景點的概率．
【點睛】熟練掌握統(tǒng)計圖表、隨機事件的概率的求法以及數(shù)據(jù)分析是解題的關(guān)鍵．
19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）兩點是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=圖象的兩個交點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）觀察圖象，直接寫出不等式kx+b﹣＞0的解集．

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=﹣，一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】（1）先把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可得到m=﹣8，再把點B的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可求出n=2，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）先求出直線y=﹣x﹣2與x軸交點C的坐標，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC進行計算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當x＜﹣4或0＜x＜2時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，據(jù)此可得不等式的解集．
【詳解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函數(shù)解析式為，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，則x=﹣2，
即直線y=﹣x﹣2與x軸交于點C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由圖可得，不等式kx＋b?＞0的解集為：x＜?4或0＜x＜2．

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．
20. 某公司設計了一款工藝品，每件的成本是40元，為了合力定價，投放市場進行試銷：據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每提高1元，每天就減少售出2件，但要求銷售單價不得超過65元．
（1）若銷售單價為每件60元，求每天的銷售利潤；
（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1350元，那么每件工藝品售價應為多少元？
【答案】（1）1600元；（2）55元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)每天的銷售利潤=每件的利潤×每天的銷售量，即可求出結(jié)論；
（2）設每件工藝品售價為x元，則每天的銷售量是[100-2（x-50）]件，根據(jù)每天的銷售利潤=每件的利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）（60-40）×[100-（60-50）×2]=1600（元）．
答：每天的銷售利潤為1600元．
（2）設每件工藝品售價為x元，則每天的銷售量是[100-2（x-50）]件，
依題意，得：（x-40）[100-2（x-50）]=1350，
整理，得：x2-140x+4675=0，
解得：x1=55，x2=85（不合題意，舍去）．
答：每件工藝品售價應為55元．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點，連接EF．

（1）圖①，若將紙片ACB一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使，求AE的長；
（2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使．
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；
②求EF的長．
【答案】（1）
（2）①菱形，見解析，②
【解析】
【分析】（1）先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB，AEF≌DEF，則，則易得，再證明RtAEF∽RtABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長；
（2）①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形；
②連接AM交EF于點O，如圖②，設AE=x，則EM=x，CE=4-x，先證明CME∽CBA得到，解出x后計算出CM=，再利用勾股定理計算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計算EF；
【小問1詳解】
解：∵ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴EF⊥AB，，
∴，
∵，
∴，
在RtABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴RtAEF∽RtABC，
∴，即，
∴AE=；
【小問2詳解】
①四邊形AEMF為菱形．理由如下：
如圖②，∵ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點M處，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF為菱形；
②連接AM交EF于點O，如圖②，
設AE=x，則EM=x，CE=4﹣x，
∵四邊形AEMF為菱形，
∴，
∴CME∽CBA，
∴，即，
解得x=，CM=，
在RtACM中，AM=
∵=EF?AM=AE?CM，
∴EF=2×=

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識：熟練掌握折疊的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)；靈活構(gòu)建相似三角形，運用勾股定理或相似比表示線段之間的關(guān)系和計算線段的長．
22. （1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，點P是邊BC上一動點（不與點B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，連接 CD．
（1）①求的值；②求∠ACD的度數(shù)．
（2）拓展探究
如圖 2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．點P是邊BC上一動點（不與點B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，連接CD，請判斷∠ACD與∠B 的數(shù)量關(guān)系以及PB與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）解決問題
如圖 3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P 是邊BC上一動點（不與點B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，連接CD．若 PA=5，請直接寫出CD的長．

【答案】（1）1，45°；（2）∠ACD=∠B， =k；（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件推出△ABP≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PB=CD，∠ACD=∠B=45°，于是得到
根據(jù)已知條件得到△ABC∽△APD，由相似三角形的性質(zhì)得到，得到 ABP∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
過A作AH⊥BC 于 H，得到△ABH 是等腰直角三角形，求得 AH=BH=4， 根據(jù)勾股定理得到根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，推出△ABP∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵∠A=90°，

∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，
∴AP=AD，
∴∠BAP=∠CAD，
在△ABP 與△ACD 中，
AB=AC, ∠BAP=∠CAD，AP=AD,
∴△ABP≌△ACD，
∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，
∴=1，
（2）
∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴∠ACD=∠B，

（3）過 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，
∴△ABH 是等腰直角三角形，
∵
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴
∴PH==3，
∴PB=1，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴,
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴即
∴
過 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，
∴△ABH 是等腰直角三角形，
∵
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴
∴PH==3，
∴PB=7，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴即
∴
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定
和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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