高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊6.2 函數(shù)的極值教案配套ppt課件

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基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
知識點1　極值的概念　　 極值是函數(shù)的一種局部性質(zhì)1.如圖(1),在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點處的函數(shù)值都小于點x0處的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的　　　　　,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的　　　　　.?
2.如圖(2),在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點處的函數(shù)值都大于點x0處的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的　　　　　,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的　　　　.?3.函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值. 極值點在區(qū)間的內(nèi)部
名師點睛1.極值是一個局部概念.由定義知,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最小.2.極大值與極小值無確定的大小關(guān)系.在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值,即極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值小.
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)的極大值一定大于極小值.(　　)(2)函數(shù)y=f(x)一定有極大值和極小值.(　　)2.函數(shù)f(x)可以有多個極大值和極小值嗎?
提示 可以,如函數(shù)f(x)=sin x,g(x)=cs x在R上有無數(shù)多個極大值和極小值.
知識點2　求函數(shù)y=f(x)極值點、極值的方法1.求出導(dǎo)數(shù)f'(x).2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有實數(shù)根.3.對于方程f'(x)=0的每一個實數(shù)根x0,分析f'(x)在x0附近的符號(即f(x)的單調(diào)性),確定極值點和極值:從左到右,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的符號變化.如果f'(x)的符號由正變負(fù),此時x0是極大值點,f(x0)是極大值;如果由負(fù)變正,此時x0是極小值點,f(x0)是極小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右側(cè),f'(x)的符號不變,則f(x0)不是極值.名師點睛導(dǎo)數(shù)等于0的解不一定是極值點;反之,極值點一定是導(dǎo)數(shù)等于0的解,故須對f'(x)=0的解進(jìn)行檢驗.
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,b)內(nèi)單調(diào)遞減,則x0是函數(shù)y=f(x)的極大值點.(　　)(2)對于函數(shù)y=f(x)=x3,因為f'(0)=0,所以x=0是它的極值點.(　　)2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的什么條件?
提示 必要不充分條件.
探究點一　求函數(shù)的極值
角度1.求不含參數(shù)的函數(shù)的極值【例1】 求函數(shù)f(x)= +ln x的極值.
當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化如下表:
∴當(dāng)x=1時f(x)有極小值,即f(1)=1,無極大值.
變式探究求函數(shù)f(x)= 的極值.
因此,x=e是函數(shù)的極大值點,極大值為f(e)= ,沒有極小值.
規(guī)律方法　1.討論函數(shù)的性質(zhì)時,要樹立定義域優(yōu)先的原則.2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟
變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值點和極值.(1)f(x)= x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為R.f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
由上表可以看出,-1為函數(shù)f(x)的極大值點,極大值為f(-1)= ,3為函數(shù)f(x)的極小值點,極小值為f(3)=-6.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為R.f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
由上表可以看出,0為函數(shù)f(x)的極小值點,極小值為f(0)=0.2為函數(shù)f(x)的極大值點,極大值為f(2)=4e-2.
角度2.求含有參數(shù)的函數(shù)的極值【例2】 設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論f(x)的極值.
解 由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1,(1)當(dāng)a=1時,f'(x)=6x2≥0,f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)a>1時,f'(x)=6x[x-(a-1)],當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
從上表可知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,a-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(a-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a=1時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);當(dāng)a>1時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(a-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a-1).(2)由(1)知,當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)沒有極值.當(dāng)a>1時,函數(shù)在x=0處取得極大值1,在x=a-1處取得極小值1-(a-1)3.
規(guī)律方法　討論參數(shù)應(yīng)從f'(x)=0的根所在的范圍與大小關(guān)系入手進(jìn)行.
變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x-aln x(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.
解 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1- .(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1- (x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1.所以曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.①當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)無極值;②當(dāng)a>0時,由f'(x)=0,解得x=a.又因為當(dāng)x∈(0,a)時,f'(x)0時,隨著x變化,f(x),f'(x)的變化情況如下表:
規(guī)律方法　已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應(yīng)注意兩點(1)待定系數(shù)法:常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組,用待定系數(shù)法求解.(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值為0的解不一定就是極值點,故利用上述方程組解出的解必須驗證.
變式訓(xùn)練3設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.
當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,①正確;當(dāng)x∈(-∞,-1)時,xf'(x)0,所以f'(x)0,當(dāng)00,當(dāng)x∈(2,4)時,f'(x)