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重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達標檢測
知識點1　樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(1)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相等且都最多,則這些數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中,每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣,則這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).
(2)中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,“中間”的那個數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).當數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時,位于最中間位置的數(shù)就是中位數(shù);當數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時,位于最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).(3)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均值,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為 =　 .?
名師點睛眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較
2.極差、方差、標準差極差、方差、標準差刻畫了一組數(shù)據(jù)的　　　　　　　　　.?(1)極差:數(shù)據(jù)中　　　　　和　　　　　的差.?(2)方差:設一組數(shù)據(jù)為x1,x2,x3,…,xn,其平均數(shù)為 ,則方差s2=　　　　　　　　　　　　　　,其單位是原始觀測數(shù)據(jù)單位的　　　　　　,方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度.?
(3)標準差①定義:它是方差的算術平方根,s= =　　　　　　　　　　　　　　　　,其單位與原始數(shù)據(jù)的單位　　　.?②計算方法:先求出方差s2,再求方差的算術平方根,即得標準差s= .
名師點睛計算方差、標準差的步驟計算樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標準差的算法如下:第一步:算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) ;第二步:算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi- (i=1,2,…,n);第三步:算出第二步中xi- (i=1,2,…,n)的平方;第四步:算出第三步中n個平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差;第五步:算出第四步中平均數(shù)的算術平方根,即為樣本標準差.
過關自診1.[人教B版教材例題]計算下列各組數(shù)的平均數(shù)與方差:(1)18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5;(2)2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6.
(2)可將數(shù)據(jù)整理為
每一個數(shù)都減去4可得
這組數(shù)的平均數(shù)與方差分別為
因此,所求平均數(shù)為4,方差為
2.[人教A版教材例題]某學校要定制高一年級的校服,學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計,高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.
如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格,那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中,哪個量比較合適?試討論用表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.
解 為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征,我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)(圖略).可以發(fā)現(xiàn),選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高,所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.
知識點2　分層隨機抽樣的均值與方差1.分層隨機抽樣的平均數(shù)(1)定義:一般地,將樣本a1,a2,…,am和樣本b1,b2,…,bn合并成一個新樣本,則這個新樣本的平均數(shù)為
　w1,w2∈[0,1]
2.分層隨機抽樣的方差
過關自診[人教A版教材習題]某學校有高中學生500人,其中男生320人,女生180人.有人為了獲得該校全體高中學生的身高信息,采用分層抽樣的方法抽取樣本,并觀測樣本的指標值(單位:cm),計算得男生樣本的均值為173.5,方差為17,女生樣本的均值為163.83,方差為30.03.(1)根據(jù)以上信息,能夠計算出總樣本的均值和方差嗎?為什么?(2)如果已知男、女樣本量按比例分配,你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎?(3)如果已知男、女的樣本量都是25,你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎?它們分別作為總體均值和方差的估計合適嗎?為什么?
解 (1)不能.因為缺少男生樣本量和女生樣本量.
它們分別作為總體平均數(shù)和方差的估計不合適,因為男、女生的身高差異較大,不能等量抽取樣本.
知識點3　百分位數(shù)?　　 取值連續(xù)不斷,不能一一列舉?1.一般地,當總體是連續(xù)變量時,給定一個百分數(shù)p∈(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點:總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p.2.計算一組n個數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟如下:第一步,按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);第二步,計算i=np;第三步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
過關自診[人教B版教材例題]給定甲、乙兩組數(shù)如下所示,計算其75%分位數(shù).
探究點一　平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法
【例1】 在一次中學生田徑運動會上,參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)绫硭?
分別求這些運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).(結果精確到0.01)
解 在17個數(shù)據(jù)中,1.75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題目中表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù),即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是所以這17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75,1.70,1.69.
規(guī)律方法　中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應用注意事項
變式訓練1(1)16位參加百米賽跑半決賽同學的成績各不相同,按成績?nèi)∏?位進入決賽.如果小劉知道了自己的成績后,要判斷能否進入決賽,則其他15位同學成績的下列數(shù)據(jù)中,能使他得出結論的是(　　)A.平均數(shù)B.極差C.中位數(shù)D.方差
解析 判斷能否進入決賽,只要判斷是不是前8名,所以只要知道其他15名同學的成績中是不是有8名高于他,也就是把其他15名同學的成績排列后看第8名的成績即可,小劉的成績高于這個成績就能進入決賽,低于這個成績就不能進入決賽,這個第8名的成績就是這15名同學成績的中位數(shù).
(2)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,那么該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是　　　 ,平均數(shù)是　 .?
探究點二　方差和標準差的計算及應用
【例2】 甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100 cm的零件,為檢驗質(zhì)量,各從中抽取6件測量,數(shù)據(jù)為:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同,又 ,所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
規(guī)律方法　標準差(方差)的兩個作用(1)標準差(方差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差(方差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)在實際應用中,常常把平均數(shù)與標準差結合起來進行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標準差以確定穩(wěn)定性.
變式訓練2已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標準差是 ,則xy=　　.?
解析 由平均數(shù)得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=( )2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.故填96.
【例3】 給出下列一組數(shù)據(jù):18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,求出45%分位數(shù).
解 因為數(shù)據(jù)個數(shù)為10,而且10×45%=4.5,因此該組數(shù)據(jù)的45%分位數(shù)為21.
變式探究求出本例中的80%分位數(shù).
解 因為10×80%=8,所以該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為
規(guī)律方法　計算一組數(shù)據(jù)的p分位數(shù)時,注意區(qū)分i=np的值是否為整數(shù).
1.知識清單:(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差和標準差的意義與計算;(2)樣本數(shù)據(jù)數(shù)字特征的應用;(3)分層隨機抽樣的均值與方差;(4)百分位數(shù).2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計.3.常見誤區(qū):未對數(shù)據(jù)排序?qū)е虑笾形粩?shù)錯誤;方差與標準差計算錯誤;求百分位數(shù)時,未排序?qū)е洛e誤.
1.(多選題)下列說法中,正確的是(　　)A.數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6B.數(shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4C.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個數(shù)據(jù)D.8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
解析 數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)為 =5,顯然A是錯誤的,B,C,D都是正確的.
2.若甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽,四人的平均成績和標準差如下表:
則參加奧運會的最佳人選應為(　　)A.甲B.乙C.丙D.丁
解析 從平均數(shù)來看,乙、丙的平均值最大,從標準差來看,丙的標準差最小,因此應選擇丙參加比賽.
3.已知一組數(shù)據(jù):125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.則這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)和80%分位數(shù)分別是(　　)A.125,128B.124,128C.125,129D.125,128.5
解析 把這15個數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130,由25%×15=3.75,80%C15=12,可知數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第4項數(shù)據(jù)為125,80%分位數(shù)為第12項與第13項數(shù)據(jù)的平均數(shù),即 × (128+129)=128.5.
4.已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是　　　　.?
解析 由已知,得 × [4+2a+(3-a)+5+6]=4,解得a=2.
5.某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:
(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;(2)求這20名工人年齡的方差s2.

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4.2 分層隨機抽樣的均值與方差

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