精品解析：廣東省深圳市福田區(qū)上步中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?上步中學(xué)2022-2023第一學(xué)期
初三年級(jí)九月反饋練習(xí)（數(shù)學(xué)）
一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分．）
1. 方程的解是（）
A. B. C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：x（x-3）=0，
∴x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
2. 下列一元二次方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：A、，原方程無實(shí)數(shù)根；不符合題意；
B、，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；不符合題意；
C、，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；符合題意；
D、，原方程無實(shí)數(shù)根；不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
3. 在寬為30m，長(zhǎng)為80m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成六塊作試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田總面積為1998平方米，問道路應(yīng)為多寬？若設(shè)道路寬為，則根據(jù)題意可列方程來求解（）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將道路平移到到兩邊后，耕地為一個(gè)矩形，根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程．
【詳解】解：設(shè)道路寬為，則耕地長(zhǎng)為m，耕地寬為m，

根據(jù)題意可列方程：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用一元二次方程解決幾何面積問題，熟練掌握矩形面積公式和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4. 為控制物價(jià)上漲，有關(guān)部門進(jìn)行多項(xiàng)舉措，某種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒由原來28.8元降至20元，求平均每次的降價(jià)率是多少？假設(shè)這兩次降價(jià)率相同，設(shè)每次降價(jià)率為x，可列方程為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)率為x，可列方程為：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用和增長(zhǎng)率（降低率）相關(guān)問題，掌握一元二次方程解決增長(zhǎng)率問題的公式模型是解題的關(guān)鍵．設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，變化率為x，則．
5. 已知，則下列比例式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．
【詳解】A.變成等積式是：，故不符合題意；
B.變成等積式是：，故符合題意；
C.變成等積式是：，故不符合題意；
D.變成等積式是：，故不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行直線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例．
【詳解】

B.錯(cuò)誤
故選B．
【點(diǎn)睛】平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行直線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例．
7. 下列命題正確的是（）
A. 鄰角相等的四邊形是菱形 B. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的判定方法一一判斷即可．
【詳解】解：A、鄰角相等四邊形不是菱形，如直角梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法．
8. 如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A. 70° B. 65° C. 55° D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，再證OE是△ABC的中位線即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，，
∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，
∴∠BAC=55°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴，
∴∠COE=∠BAC=55°，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，下列三角形中不一定與△BCD相似的是（　?。?br />
A. △BFE B. △AFD C. △ACE D. △BAE
【答案】D
【解析】
【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可證△BFE∽△BCD，可判斷A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可證△ADF∽△BDC可判斷B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可證△BDC∽△AEC，可判斷C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD，連結(jié)FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要滿足∠FCE=∠DBC，應(yīng)滿足BF=FC，由AE⊥BC，需有點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，已知中沒有點(diǎn)E為BD中點(diǎn)條件可判斷D．
【詳解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故選項(xiàng)A正確；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故選項(xiàng)B正確；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故選項(xiàng)C正確；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
滿足條件，
即，
∴滿足即，
連結(jié)FC，
應(yīng)有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要滿足∠FCE=∠DBC，
應(yīng)滿足BF=FC，由AE⊥BC，需有點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，
已知中沒有點(diǎn)E為BD中點(diǎn)條件，
∴△BAE不一定與△BCD相似，
故選項(xiàng)D不正確．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，結(jié)合反證法的思想證明不一定相似的選項(xiàng)是解題關(guān)鍵
10. 如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)恰落在邊上的點(diǎn)處；點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)恰落在線段上的點(diǎn)處，；∽；；則下列結(jié)論正確的有（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊得出，，根據(jù)勾股定理求出，再逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)矩形的性質(zhì)得出
由折疊的性質(zhì)得，，，
∴，故①正確；
由折疊的性質(zhì)得，，，
∴
在中，，設(shè)，則，在中，，解得，∴，∴，
同理在中，，，由得，
∴，
∴，
∴與不相似，故②不正確；
∵，，
∴，即，故③正確；
∵，，，
∴，故④正確．
正確的有①③④
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）
11. 如果關(guān)于x的一元二次方程一個(gè)解是，則________．
【答案】2021
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定義得到，然后把變形為，再利用整體代入的方法計(jì)算即可解得答案．
【詳解】解：把代入方程得：，
∴，
∴．
故答案為：2021．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
12. 若兩個(gè)相似多邊形的面積比為1︰4，則它們的周長(zhǎng)比為________．
【答案】1︰2
【解析】
【詳解】∵兩個(gè)相似多邊形的面積比為1︰4，
∴它們的周長(zhǎng)比為1︰2．
故答案為：1︰2
13. 如圖，兩條寬都為的紙條交叉成60°角重疊在一起，則重疊四邊形的面積為______．

【答案】
【解析】
【分析】由題意可知，重疊四邊形為菱形，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求出菱形的底即可．
【詳解】解：過點(diǎn)A作垂足為點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，

∵，，
∴重疊四邊形為平行四邊形，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴重疊四邊形為菱形，
∵，
∴，
設(shè)，，
∵，
根據(jù)勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴重疊四邊形的面積=．
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
14. 圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BE＝BF＝2，則AD＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝DE，設(shè)∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，設(shè)∠BAF＝∠CAF＝y(tǒng)，則∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BFE，
∵BE＝BF＝2，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，
∴AD＝DE，
設(shè)∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
設(shè)∠BAF＝∠CAF＝y(tǒng)，則∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，
∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF＝x﹣y，，
∴∠DBA＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
設(shè)AD＝DE＝m，
∴，
∴BD＝BE+DE＝2+m，
∴DO＝BD＝（2+m），
∴，
∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，
∴m1＝2+2，m2＝2﹣2＜0（舍），
經(jīng)檢驗(yàn)m＝2+2是分式方程的解，
∴AD＝2+2，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等等，熟知平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，正方形中，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)H，連接，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，E是中點(diǎn)，連接，則的面積為1．其中正確的有______（填序號(hào)）

【答案】
【解析】
【分析】①由正方形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出；
②由正方形的性質(zhì)得出和都是等腰直角三角形，得出，，進(jìn)而得出，得出；
③由，，得出，得出，進(jìn)而得出，由，得出；
④如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)四邊形是正方形，，求得，進(jìn)而利用E是中點(diǎn)，求得，同②可證，利用相似三角形的性質(zhì)求得，是等腰直角三角形，得到，最后利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：①∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴①符合題意；
②∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴②符合題意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴③不符合題意；
④如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接

∵四邊形是正方形，，
∴，
∵E是中點(diǎn)，
∴，
同②可證，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴④符合題意；
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共55.0分）
16 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用配方法進(jìn)行求解即可；
（2）用公式法進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
解：，
，
，
或，
，．
【小問2詳解】

解：，，，
，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
17. 現(xiàn)將進(jìn)貨為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500件．已知這批商品每件漲價(jià)1元，其銷售量將減少10個(gè)．問為了賺取8000元利潤(rùn)，同時(shí)盡量照顧到顧客的利益，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少件？
【答案】售價(jià)定為60元，應(yīng)進(jìn)貨400件．
【解析】
【分析】設(shè)售價(jià)x元能賺得8000元的利潤(rùn)，應(yīng)進(jìn)貨[500﹣10(x﹣50)]件，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量即可列出方程解答．
【詳解】解：設(shè)售價(jià)x元能賺得8000元的利潤(rùn)，應(yīng)進(jìn)貨[500﹣10(x﹣50)]件，
由題意得：[500﹣10(x﹣50)](x﹣40)＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80（舍去），
當(dāng)x＝60時(shí)，進(jìn)貨[500﹣10(60﹣50)]＝400件，
答：售價(jià)定為60元時(shí)應(yīng)進(jìn)貨400件．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與實(shí)際問題中的銷售利潤(rùn)問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量即可列出方程．

18. 如圖，一條河的兩岸BC與DE互相平行，兩岸各有一排景觀燈(圖中黑點(diǎn)代表景觀燈)，每排相鄰兩景觀燈的間隔都是10 m，在與河岸DE的距離為16 m的A處(AD⊥DE)看對(duì)岸BC，看到對(duì)岸BC上的兩個(gè)景觀燈的燈桿恰好被河岸DE上兩個(gè)景觀燈的燈桿遮住．河岸DE上的兩個(gè)景觀燈之間有1個(gè)景觀燈，河岸BC上被遮住的兩個(gè)景觀燈之間有4個(gè)景觀燈，求這條河的寬度．

【答案】這條河的寬度為24m.
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件易證△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得BD的長(zhǎng)，即可求得這條河的寬度．
【詳解】由題意可得DE∥BC，所以＝.
又因?yàn)椤螪AE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.
所以＝，即＝.
因?yàn)锳D＝16m，BC＝50m，DE＝2 m，
所以＝.解得DB＝24m.
答：這條河的寬度為24m.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)的相似三角形是解題的關(guān)鍵.
19. 如圖，正方形ABCD中，M為BC上點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．
（1）求證：；
（2）若，，求DE的長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=6，BM=2，
∴AM=，AD=6，
∵F是AM的中點(diǎn)，
∴AF=AM=，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=10，
∴DE=AE-AD=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．也考查了正方形的性質(zhì)．
20. 如圖，中，，是邊上的中線，分別過點(diǎn)C，D作，的平行線交于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)O，求證：

（1）四邊形是菱形；
（2）若，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）欲證明四邊形是菱形，需先證明四邊形為平行四邊形，然后再證明其對(duì)角線相互垂直；
（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知求得菱形的面積，再利用是邊上的中線，求得，進(jìn)而求得答案．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形．
∴，且．
在中，為邊上的中線，
∴．
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴，
∴平行四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：∵，平行四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴；
在中，為邊上的中線，
∴，
∴，
∴四邊形的面積
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形中線的性質(zhì)等．
21.
（1）【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：
①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；
②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．
（2）【拓展探究】
如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明．
（3）【解決問題】
如圖③，和都是等腰直角三角形，，，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE長(zhǎng)的最小值為（直接寫出結(jié)果）．
【答案】（1）①CF＝DG；②45°
（2）結(jié)論不變．理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）連接AF．易證A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
（2）連接AC，AF，延長(zhǎng)CF交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，AG交FK于點(diǎn)O．證明△CAF∽△DAG即可解決問題．
（3）證明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在射線OCE上，當(dāng)OE⊥CE時(shí)，OE的長(zhǎng)最短．
【小問1詳解】
解：如圖①中，①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為CF＝DG；
②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為45°．
理由：如圖①中，連接AF．易證A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．

∵AF＝AG．AC＝AD，
∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
故答案為CF＝DG，45°．
【小問2詳解】
解：結(jié)論不變．

理由：連接AC，AF，延長(zhǎng)CF交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，AG交FK于點(diǎn)O．
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，
∵AC＝AD，AF＝AG，
∴＝＝，
∴△CAF∽△DAG，
∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，
∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，
∵∠AOF＝∠GOK，
∴∠K＝∠FAO＝45°．
【小問3詳解】
解：如圖3中，連接EC．

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在射線CE上，當(dāng)OE⊥CE時(shí)，OE的長(zhǎng)最短，
∵AB=AC=10
∴OA=OC=5
∵
當(dāng)OE⊥CE時(shí)，為等腰直角三角形
則
∴
∴OE=
∴OE的最小值為，
故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
22. 在四邊形中，（E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)），的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．

（1）如圖①，若四邊形是正方形，求證：；
（2）如圖②，若四邊形是菱形，
①（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說明理由；
②若，，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）答案見解析
（2）①成立，理由見解析；②．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，求出，即可得答案；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出，再求出，即可得答案；②先證，得，再證和，即可得答案．
【小問1詳解】
解：如下圖，在正方形中，

，
∴，
即
在中，
∴
∵
∴；
【小問2詳解】
①成立，理由如下：
如下圖，在菱形中，，

，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
②解：如下圖，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．

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