1.如圖，一個實木正方體內(nèi)部有一個圓錐體空洞，它的俯視圖是( )
A.
B.
C.
D.
2.一個不透明的袋子中裝有個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同經(jīng)過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中的黃球個數(shù)最有可能是( )
A. B. C. D.
3.若是銳角，，則的值是( )
A. B. C. D.
4.若點是線段的黃金分割點，且，則等于( )
A. B.
C. D. 或
5.下列說法正確的是( )
A. 四條邊相等的四邊形是正方形
B. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
C. 對角線相等的四邊形是矩形
D. 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
6.如圖，四邊形是平行四邊形，：：，，則四邊形的面積是( )
A.
B.
C.
D.
7.某班畢業(yè)時，每位同學(xué)將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送張照片，如果全班有名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程( )
A. B.
C. D.
8.下面四個圖中反比例函數(shù)的表達式均為，則陰影部分的圖形的面積為的有( )
A. 個B. 個C. 個D. 個
9.函數(shù)和函數(shù)是常數(shù)，且在同一平面直角坐標系中的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如圖，在正方形中，，分別為，的中點，，交于點，連接，則：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.若，則 ______．
12.若是方程的一個根，則代數(shù)式的值為______．
13.若點，，在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是______．
14.數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹的高度，在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為米的竹竿的影長為米．同時另一名同學(xué)測量一棵樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上如圖，其影長為米，落在地面上的影長米，則樹高為________米．
15.如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過該菱形對角線的交點，且與邊交于點若點的坐標為，則點的坐標是______．
三、解答題：本題共7小題，共55分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
解方程：
；
；
計算：．
17.本小題分
從一副撲克牌中取出四張牌，他們的牌面數(shù)字分別為，，，，將這四張撲克牌背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄下數(shù)字后放回，稱為抽牌一次．
若隨機抽牌一次，抽到數(shù)字的概率為 ．
將這四張撲克牌背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，不放回；再從剩余的三張牌中隨機抽取一張請利用“列表”或“畫樹狀圖”的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．
18.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為、，．

畫出將向左平移個單位，再向上平移個單位后的，并寫出點的對應(yīng)點的坐標；
以原點為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出的一個位似，使它與的相似比為，并寫出點的對應(yīng)點的坐標；
若內(nèi)部任意一點的坐標為，直接寫出經(jīng)過的變化后點的對應(yīng)點的坐標用含、的代數(shù)式表示．
19.本小題分
如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作于點，延長到點，使得，連接，
求證：四邊形是矩形；
連接，若，，求的長．
20.本小題分
某種商品的標價為元件，由于疫情的影響，銷量不佳，店家經(jīng)過兩次降價后的價格為元件，并且兩次降價的百分率相同．
求該種商品每次降價的百分率；
若該種商品進價為元件，若以元件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各種費用元，在每件降價幅度不超過元的情況下，若每件降價元，則每天可多售出件，如果每天盈利元，每件應(yīng)降價多少元？
21.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸相交于另一點，連接點是線段上方拋物線上的一個動點，過點作交線段于點求拋物線的解析式；
求的最大值，并寫出此時點的坐標；
在軸上找一點，拋物線上找一點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．
22.本小題分
【問題背景】如圖，在中，，于，求證：∽；
【變式遷移】如圖，已知，為上一點，且，若，求的值；
【拓展創(chuàng)新】如圖，四邊形中，，，為邊上一點，且，，直接寫出的值．
答案和解析
1.【答案】
解：從上面看得該幾何體的俯視圖是：
．
故選：．
根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形判定即可．
此題主要考查了簡單組合體的三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
2.【答案】
解：設(shè)袋子中黃球的個數(shù)可能有個，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解，
袋子中黃球的個數(shù)可能是個．
故選：．
設(shè)袋子中黃球的個數(shù)可能有個，根據(jù)概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案．
本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計算出黃球的個數(shù)．
3.【答案】
解：，
，
．
故選：．
判斷出可得結(jié)論．
本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出的值．
4.【答案】
解：點是線段的黃金分割點，且，
，
故選：．
根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．
本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】
解：、四條邊相等的四邊形是菱形，故原說法錯誤，故此選項不符合題意；
B、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故原說法錯誤，故此選項不符合題意；
C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原說法錯誤，故此選項不符合題意；
D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原說法正確，故此選項符合題意；
故選：．
根據(jù)菱形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質(zhì)逐項分析即可得到答案．
本題主要考查了菱形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握它們的判定方法是解此題的關(guān)鍵．
6.【答案】
解：四邊形是平行四邊形，
，，
：：，
：：，
：：，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
四邊形的面積．
故選：．
先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再推出：：，接著利用可判斷∽，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，，利用三角形面積公式得到，所以，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，最后計算即可．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．
7.【答案】
解：設(shè)全班有名同學(xué)，根據(jù)題意，
故選：．
設(shè)全班有名同學(xué)，每位同學(xué)送出張照片，據(jù)此列出一元二次方程，即可求解．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】
解：第個圖中，陰影面積為，
故符合題意；
第個圖中，陰影面積為，
故不符合題意；
第個圖中，陰影面積為，
故符合題意；
第個圖中，陰影面積為，
故不符合題意；
故選：．
根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，三角形的面積公式，分別求出四個圖形中陰影部分的面積，即可求解．
本題考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引軸、軸垂線，所得矩形面積為，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，解此類題一定要正確理解的幾何意義．也考查了反比例函數(shù)的對稱性，三角形的面積．
9.【答案】
解：當時：
函數(shù)的圖象過一、二、三象限，函數(shù)的圖象開口向下；
不正確，不符合題意．
當時：
函數(shù)的圖象過二、三、四象限，函數(shù)的圖象開口向上；
不正確，不符合題意．
函數(shù)的對稱軸為直線，
A正確，符合題意；不正確，不符合題意．
故選：．
分別分析當和時兩種情況下兩個函數(shù)在同一平面坐標系中的圖象，并結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸進行綜合判斷即可．
本題考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的圖象，熟悉它們圖象的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
10.【答案】
解：延長、交于，
在和中
，
≌，
，
，
．
，
∽，
，
，
：：．
故選：．
延長、交于，證明≌，可得，進而可以求證∽，可得出結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】
解：設(shè)，那么，，，
．
故答案是：．
先設(shè)，可得，，，再把、、的值都代入所求式子計算即可．
本題考查了比例的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是先假設(shè)，得出，，，降低計算難度．
12.【答案】
解：是一元二次方程的一個根，
，
，
．
故答案為：．
先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．
本題考查了代數(shù)式求值，一元二次方程的解的概念：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
解：由題知，拋物線的開口向上，且對稱軸是直線，
函數(shù)圖象上的點，離對稱軸越近，函數(shù)值越小，
，
，
故答案為：．
根據(jù)圖象上的點的橫坐標距離對稱軸的遠近來判斷縱坐標的大小．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性．
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，經(jīng)過樹在教學(xué)樓上的影子的頂端作樹的垂線和經(jīng)過樹頂?shù)奶柟饩€以及樹所成三角形，與竹竿，影子、光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹高．本題實際是一個直角梯形的問題，可以通過作垂線分解成直角三角形與矩形的問題．在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．
解：設(shè)從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是米．
則有，解得．
樹高是米，
故填．
15.【答案】
解：過點作，垂足為，
，，
，
菱形，
，
，，
是菱形的對角線交點，
，代入得，，
反比例函數(shù)的關(guān)系式為：，
設(shè)直線的關(guān)系式為，將，代入得：
且，
解得：，，
直線的關(guān)系式為，
將反比例函數(shù)與直線聯(lián)立方程組得：
解得：，舍去，
，
故答案為：
由的坐標為，可求出菱形的邊長，進而求出、、的坐標，確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，直線的關(guān)系式，聯(lián)立求出交點坐標即可．
考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)以及菱形的性質(zhì)等知識，求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．
16.【答案】解：，
移項，得，
除以，得，
配方，得，
即，
開方得，
解得：，；
，
整理得：，
，
或，
解得：，；
原式

．
【解析】利用配方法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可；
根據(jù)有理數(shù)的乘方、特殊角的三角函數(shù)值化簡，然后進行二次根式的加減運算即可．
此題考查了解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握解一元二次方程的方法、熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】
解：若隨機抽牌一次，抽到數(shù)字的概率為，
故答案為：；
樹狀圖如圖所示．
共有種等可能的結(jié)果，其中抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的有種，
故抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為．
根據(jù)概率公式即可得出答案；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，抽取這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
18.【答案】解：如圖所示，為所求三角形．；
如圖所示，為所求三角形．；
．
【解析】利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標位置進而得出答案；
畫出一個以點為位似中心的，使得與的相似比為即可；
根據(jù)相似比即可求得．
本題考查了位似變換作圖，平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應(yīng)點的位置以及坐標是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】證明：四邊形是菱形，
且，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形；
解：四邊形是菱形，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
四邊形是菱形，
，
．
【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：設(shè)該種商品每次降價的百分率為，
依題意，得：，
解得：，不合題意，舍去，
答：該種商品每次降價的百分率為；
設(shè)每件商品應(yīng)降價元，根據(jù)題意，得：
，
解方程得，，
在降價幅度不超過元的情況下，
不合題意舍去．
答：每件商品應(yīng)降價元．
【解析】設(shè)該種商品每次降價的百分率為，根據(jù)該商品的原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；
關(guān)系式為：每件商品的盈利原來的銷售量增加的銷售量每天盈利，為了減少庫存，計算得到降價多的數(shù)量即可．
此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決本題的難點；根據(jù)每天盈利得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：對于，當時，，當時，，
故點、的坐標分別為：，，
則，
解得：，
則拋物線的表達式為：；
過點作軸交于點，

當時，，
解得，，
點的坐標是，
設(shè)直線的表達式為，把點和點的坐標代入，
，
解得，
直線的表達式為：，
設(shè)點，則，
則，
，
當時，的最大值為，
此時，
則點的坐標為，
軸，則，
在中，，，，
則，
則，
則，
即當最大時，最大，
故的最大值為：，
即的最大值為，此時點的坐標為；
設(shè)點、點，，
當是對角線時，
由中點坐標公式得：且，
解得：不合題意的值已舍去，
故點的坐標為；
當或為對角線時，由中點坐標公式得：
或且，
解得：或，
即點的坐標為：或或，
綜上，點的坐標為：或或或．
【解析】先求出點和點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
過點作軸交于點，求出直線的表達式為：，設(shè)點，則，則，當時，的最大值為，則點的坐標為，利用三角函數(shù)得到，則當最大時，最大，得到的最大值為，即可得到答案；
設(shè)點、點，則，分當是對角線、當或為對角線三種情況分別進行求解即可．
此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形、勾股定理等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
22.【答案】解：，，
，
，，
，
∽；
如圖，過點作于點，

則，
，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
又，
，
；
如圖，過點作于點，延長，相交于點，

，，
，
設(shè)，則，，
，，，
，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
．
【解析】利用同角的余角相等得，即可證明結(jié)論；
過點作于點，利用兩個角相等證明∽，得，從而得出答案；
過點作于點，延長，相交于點，設(shè)，則，，首先利用證明≌，得，，再根據(jù)∽，得，，最后根據(jù)∽，進而解決問題．
本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結(jié)論和方法解決新問題是解題的關(guān)鍵．

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