?專(zhuān)題23 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例


1、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%
C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元
D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間
【答案】C
【解析】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.
該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為,故A正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為,故B正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為,故D正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為(萬(wàn)元)，超過(guò)6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.
綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.
故選：C.
2、（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（ ）
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D．兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同
【答案】CD
【解析】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；
B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；
C：，故方差相同，正確；
D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；
故選：CD
3、（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求，，，；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．
【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
【解析】（1），
，
，
.
（2）依題意，，，
，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
4、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品
二級(jí)品
合計(jì)
甲機(jī)床
150
50
200
乙機(jī)床
120
80
200
合計(jì)
270
130
400
（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?
（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

【解析】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,
乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.
（2）,
故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
5、（2020全國(guó)Ⅲ理3）在一組樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，因此B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大，故選B．
6、（2020天津4）從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為（ ）


A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B【解析】由題意可得，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，
則區(qū)間內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為：，故選B．
7、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類(lèi)型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，
因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類(lèi)型的是.
故選：D.
8、（2019全國(guó)II理5）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分．7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是
A．中位數(shù) B．平均數(shù)
C．方差 D．極差
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，最中間的一個(gè)數(shù)不變，即中位數(shù)不變．故選A．
9、（2019全國(guó)II理13）我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0．97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0．98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0．99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)_________．
【答案】0．98
【解析】經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為：
．
10、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.
（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.
附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.
【解析】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，
地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為
（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，
由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，
采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，
從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
11、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：
鍛煉人次
空氣質(zhì)量等級(jí)
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（優(yōu)）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（輕度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好


空氣質(zhì)量不好


附：，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

【解析】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為；
（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為
（3）列聯(lián)表如下：

人次
人次
空氣質(zhì)量不好


空氣質(zhì)量好


，
因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
12、（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意
不滿意
男顧客
40
10
女顧客
30
20
（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；
（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？
附：．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

【解析】（1）由題中表格可知，50名男顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意的有40人，
所以男顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意率估計(jì)為,
50名女顧客對(duì)商場(chǎng)滿意的有30人，
所以女顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意率估計(jì)為,
（2）由列聯(lián)表可知，
所以能有的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.


題組一、線性回歸方程
1-1、（2022·湖南常德·高三期末）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程中的，根據(jù)此方程預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，y的取值為（ ）
x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5





A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)求出，，
把代入回歸直線，有，解得，
所以.
當(dāng)時(shí)，.
故選：B
1-2、（2022·湖北江岸·高三期末）（多選題）某電子商務(wù)平臺(tái)每年都會(huì)舉行“年貨節(jié)”商業(yè)促銷(xiāo)狂歡活動(dòng)，現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)了該平臺(tái)從2013年到2021年共9年“年貨節(jié)”期間的銷(xiāo)售額（單位：億元）并作出散點(diǎn)圖，將銷(xiāo)售額y看成年份序號(hào)x（2013年作為第一年）的函數(shù).運(yùn)用excel軟件，分別選擇回歸直線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合，效果如下圖，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．銷(xiāo)售額y與年份序號(hào)x正相關(guān)
B．銷(xiāo)售額y與年份序號(hào)x線性關(guān)系不顯著
C．三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果
D．根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測(cè)2022年“年貨節(jié)”期間的銷(xiāo)售額約為2680.54億元
【答案】ACD
【解析】根據(jù)圖象可知，散點(diǎn)從左下到右上分布，
銷(xiāo)售額與年份序號(hào)呈正相關(guān)關(guān)系，故A正確；
因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，靠近，銷(xiāo)售額與年份序號(hào)線性相關(guān)顯著，B錯(cuò)誤.
根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線的相關(guān)指數(shù)，
相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，所以三次多項(xiàng)式回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果，C正確；
由三次多項(xiàng)式函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，億元，D正確；
故選：ACD
1-3、（2022·湖北·高三期末）（多選題）某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（單位：噸）與需求某種材料y（單位：噸）之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過(guò)程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示
x
3
4
6
7
y
2.5
3
4
5.9
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，則以下正確的是（ ）
A．變量x與y正相關(guān) B．y與x的相關(guān)系數(shù)
C． D．產(chǎn)量為8噸時(shí)預(yù)測(cè)所需材料約為5.95噸
【答案】ACD
【解析】，
，
所以，
所以變量x與y正相關(guān)，y與x的相關(guān)系數(shù)，，產(chǎn)量為8噸時(shí)預(yù)測(cè)所需材料約為噸.
所以ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ACD
1-4、（2022·山東青島·高三期末）已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根據(jù)上表可得回歸方程，其中，據(jù)此估計(jì)，當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷(xiāo)售額為_(kāi)________萬(wàn)元；
【答案】85
【解析】由上表可知：.
得樣本點(diǎn)的中心為，代入回歸方程，得.
所以回歸方程為，
將代入可得：.
故答案為：85
1-5、（2022·山東青島·高三期末）由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為：，已知如下數(shù)據(jù)：，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.
【答案】4
【解析】令，則回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 所以有，即.
故答案為：4
1-6、（2022·河北唐山·高三期末）某統(tǒng)計(jì)部門(mén)依據(jù)《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒——2017》提供的數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)1997-2016年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，作出了兩張散點(diǎn)圖：圖1表示1997-2016年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），圖2表示2007-2016年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）．



(1)用表示第i張圖中的年份與GDP的線性相關(guān)系數(shù)，，依據(jù)散點(diǎn)圖的特征分別寫(xiě)出的結(jié)果；
(2)分別用線性回歸模型和指數(shù)回歸模型對(duì)兩張散點(diǎn)圖進(jìn)行回歸擬合，分別計(jì)算出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)——相關(guān)指數(shù)的數(shù)值，部分結(jié)果如下表所示：
年份
1997-2016
2007-2016
線性回歸模型
0.9306

指數(shù)回歸模型
0.9899
0.978

①將上表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整（結(jié)果保留3位小數(shù)，直接寫(xiě)在答題卡上）；
②若估計(jì)2017年的GDP，結(jié)合數(shù)據(jù)說(shuō)明采用哪張圖中的哪種回歸模型會(huì)更精準(zhǔn)一些？若按此回歸模型來(lái)估計(jì)，2020年的GDP能否突破100萬(wàn)億元？事實(shí)上，2020年的GDP剛好突破了100萬(wàn)億元，估計(jì)與事實(shí)是否吻合？結(jié)合散點(diǎn)圖解釋說(shuō)明.
【答案】(1)，
(2)①0.996，②不吻合，理由見(jiàn)解析.
【解析】(1)
由散點(diǎn)圖可知，圖2擬合效果更好、相關(guān)系數(shù)較大，所以，．
(2)
①0.996
②由圖2中的線性回歸模型得到的相關(guān)指數(shù)為0.996，是所有回歸模型的相關(guān)指數(shù)中數(shù)值最大的，而且2017年是最近的年份，因此選擇圖2中的線性回歸模型來(lái)估計(jì)2017年的GDP，是比較精準(zhǔn)的．
按照?qǐng)D2中的線性回歸模型來(lái)估計(jì)（延長(zhǎng)回歸直線可發(fā)現(xiàn)），2020年不能突破100萬(wàn)億元．
估計(jì)與事實(shí)不吻合．綜合兩張圖來(lái)考慮，我國(guó)的GDP隨年份的增長(zhǎng)整體上呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，而且2020年比2016年又多發(fā)展了4年，指數(shù)回歸趨于明顯，因此，按照線性回歸模型得到的估計(jì)值與實(shí)際數(shù)據(jù)有偏差、不吻合，屬于正常現(xiàn)象．
1-7、（2022·江蘇通州·高三期末）當(dāng)今時(shí)代，國(guó)家之間的綜合國(guó)力的競(jìng)爭(zhēng)，在很大程度上表現(xiàn)為科學(xué)技術(shù)水平與創(chuàng)新能力的競(jìng)爭(zhēng).特別是進(jìn)入人工智能時(shí)代后，誰(shuí)掌握了核心科學(xué)技術(shù)，誰(shuí)就能對(duì)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手進(jìn)行降維打擊.我國(guó)自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科學(xué)研發(fā)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研發(fā)，不斷地對(duì)該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專(zhuān)利.
(1)在研發(fā)過(guò)程中，對(duì)研發(fā)時(shí)間x(月)和產(chǎn)品的厚度y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中1~7月的數(shù)據(jù)資料如下：
x(月)
1
2
3
4
5
6
7
y(nm)
99
99
45
32
30
24
21

現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類(lèi)型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計(jì)該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為多少?
(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競(jìng)爭(zhēng)壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣(mài)方案可供選擇：
①直接售賣(mài)，則每條生產(chǎn)線可賣(mài)5萬(wàn)元；
②先花20萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)技術(shù)專(zhuān)利并對(duì)老舊生產(chǎn)線進(jìn)行改造，使其達(dá)到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣(mài).已知在改造過(guò)程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣(mài)20萬(wàn)元；若改造失敗，則賣(mài)價(jià)為0萬(wàn)元.請(qǐng)判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣(mài)方案更為科學(xué)? 并說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：設(shè)z＝，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝u＋中的斜率和縱截距的最小二乘法估計(jì)的計(jì)算公式為＝，＝－.
【解析】(1)
由題可得，
∴，
∴，
∵，
∴，即該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為13nm.
(2)方案①，售賣(mài)收益為萬(wàn)元；
方案②，設(shè)為3條老舊生產(chǎn)線改造成功的收益，的可能取值為－20,0,20,40，
，，
，，
∴，
∵，
∴該企業(yè)應(yīng)選擇方案②更為科學(xué).
題組二、獨(dú)立性檢驗(yàn)
2-1、（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）每年的畢業(yè)季都是高校畢業(yè)生求職和公司招聘最忙碌的時(shí)候，甲?乙兩家公司今年分別提供了2個(gè)和3個(gè)不同的職位，一共收到了100份簡(jiǎn)歷，具體數(shù)據(jù)如下：
公司
文史男
文史女
理工男
理工女
甲
10
10
20
10
乙
15
20
10
5
分析畢業(yè)生的選擇意愿與性別的關(guān)聯(lián)關(guān)系時(shí)，已知對(duì)應(yīng)的的觀測(cè)值；分析畢業(yè)生的選擇意愿與專(zhuān)業(yè)關(guān)聯(lián)的的觀測(cè)值，則下列說(shuō)法正確的是（ ）















A．有的把握認(rèn)為畢業(yè)生的選擇意愿與專(zhuān)業(yè)相關(guān)聯(lián)
B．畢業(yè)生在選擇甲?乙公司時(shí)，選擇意愿與專(zhuān)業(yè)的關(guān)聯(lián)比與性別的關(guān)聯(lián)性更大一些
C．理科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生更傾向于選擇乙公司
D．女性畢業(yè)生更傾向于選擇甲公司
【答案】B
【解析】解：與專(zhuān)業(yè)關(guān)聯(lián)的的觀測(cè)值，明顯大于，明顯小于，所以有的把握認(rèn)為畢業(yè)生的選擇意愿與專(zhuān)業(yè)相關(guān)聯(lián)，所以不正確；
因?yàn)?，故正確；根據(jù)題中的數(shù)據(jù)表列出專(zhuān)業(yè)與甲?乙公司的關(guān)聯(lián)表可知，理科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生更傾向于選擇甲公司，列出性別與甲?乙公司的關(guān)聯(lián)表可知，
女性畢業(yè)生更傾向于選擇乙公司，所以C，D均不正確.
故選：B.
2-2、（2022·山東萊西·高三期末）通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛(ài)好跳繩，得到如下列聯(lián)表：
跳繩
性別
合計(jì)
男
女
愛(ài)好
40
20
60
不愛(ài)好
20
30
50
合計(jì)
60
50
110
已知，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的為（ ）
A．愛(ài)好跳繩與性別有關(guān)
B．愛(ài)好跳繩與性別有關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001
C．愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)
D．愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001
【答案】D
【解析】，，，
，，，

故，愛(ài)好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001
故選：D
2-3、（2022·湖北武昌·高三期末）武漢熱干面既是中國(guó)四大名面之一，也是湖北武漢最出名的小吃之一．某熱干面店鋪連續(xù)10天的銷(xiāo)售情況如下（單位：份）：
天數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
套餐一
120
100
140
140
120
70
150
120
110
130
套餐二
80
90
90
60
50
90
70
80
90
100

(1)分別求套餐一、套餐二的均值、方差，并判斷兩種套餐銷(xiāo)售的穩(wěn)定情況；
(2)假定在連續(xù)10天中每位顧客只購(gòu)買(mǎi)了一份，根據(jù)圖表內(nèi)容填寫(xiě)下列列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)？
顧客套餐
套餐一
套餐二
合計(jì)
男顧客
400


女顧客

500

合計(jì)




附：

0.10
0.05
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635

【答案】(1)套餐一：均值120，方差480；套餐二：均值80，方差220；套餐二銷(xiāo)量相對(duì)穩(wěn)定
(2)填表見(jiàn)解析；沒(méi)有
【解析】(1)
套餐一：均值
方差；
套餐二：均值
方差．
因?yàn)?，所以，套餐二銷(xiāo)量相對(duì)穩(wěn)定．
(2)
列聯(lián)表如下：
顧客套餐
套餐一
套餐二
合計(jì)
男顧客
400
300
700
女顧客
800
500
1300
合計(jì)
1200
800
2000

因?yàn)椋?br /> 所以，沒(méi)有95%以上的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選有關(guān)
2-4、（2022·江蘇蘇州·高三期末）年月國(guó)務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)劃》，《計(jì)劃》中提出了各方面的主要任務(wù)，包括加大全民健身場(chǎng)地設(shè)施供給、廣泛開(kāi)展全民健身賽事活動(dòng)、提升科學(xué)健身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開(kāi)展和營(yíng)造全民健身社會(huì)氛圍等．在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門(mén)健身運(yùn)動(dòng)．某瑜伽館在月份隨機(jī)采訪了名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查．

愿意
不愿意
合計(jì)
男性



女性



合計(jì)




(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān)？
附：













(2)為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動(dòng)，在全市范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出人，再?gòu)娜酥须S機(jī)抽取人免費(fèi)參加．市文化館撥給瑜伽館一定的經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案為：男性每人元，女性每人元．求補(bǔ)貼金額的分布列及數(shù)學(xué)期望（四舍五入精確到元）
【答案】(1)能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān)
(2)的分布列為









期望為1385（元）
【解析】(1)
由已知得．
所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān)．
(2)
調(diào)查的人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出人，
其中男性人數(shù)為，女性人數(shù)為．
記補(bǔ)貼金額為，則可能為，，．
，，，
則的分布列為









數(shù)學(xué)期望（元）．
題組三、統(tǒng)計(jì)案例、線性回歸分析與概率的綜合
3-1、（2022·河北張家口·高三期末）已知某區(qū)、兩所初級(jí)中學(xué)的初一年級(jí)在校學(xué)生人數(shù)之比為，該區(qū)教育局為了解雙減政策的落實(shí)情況，用分層抽樣的方法在、兩校初一年級(jí)在校學(xué)生中共抽取了名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：

(1)在抽取的名學(xué)生中，、兩所學(xué)校各抽取的人數(shù)是多少？
(2)該區(qū)教育局想了解學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)小時(shí)的學(xué)生比例，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這兩個(gè)數(shù)值；
(3)另?yè)?jù)調(diào)查，這人中做作業(yè)時(shí)間超過(guò)小時(shí)的人中的人來(lái)自中學(xué)，根據(jù)已知條件填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過(guò)小時(shí)”與“學(xué)校”有關(guān)？

做作業(yè)時(shí)間超過(guò)小時(shí)
做作業(yè)時(shí)間不超過(guò)小時(shí)
合計(jì)
校



校



合計(jì)




附表：













附：.
【答案】(1)、兩校所抽取人數(shù)分別為、；
(2)估計(jì)該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，該區(qū)有的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)小時(shí)；
(3)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過(guò)小時(shí)”與“學(xué)校”有關(guān).
【解析】
【分析】
（1）設(shè)、兩校所抽取人數(shù)分別為、，根據(jù)已知條件列出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得解；
（2）將頻率分布直方圖中每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，可得出該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)，計(jì)算出頻率直方圖中后三個(gè)矩形的面積之和，可得出該地區(qū)做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)小時(shí)的學(xué)生比例；
（3）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.
(1)
解：設(shè)、兩校所抽取人數(shù)分別為、，由已知可得，解得.
(2)
解：由直方圖可知，學(xué)生做作業(yè)的平均時(shí)長(zhǎng)的估計(jì)值為
（小時(shí)）.
由，可知有的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)小時(shí).
綜上，估計(jì)該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，該區(qū)有的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3小時(shí).
(3)
解：由（2）可知，有（人）做作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí).
故填表如下（單位：人）：

做作業(yè)時(shí)間超過(guò)小時(shí)
做作業(yè)時(shí)間不超過(guò)小時(shí)
合計(jì)
校



校



合計(jì)




，
所以有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過(guò)小時(shí)”與“學(xué)校”有關(guān).
3-2、（2022·山東濟(jì)南·高三期末）某機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)交通的滿意度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占.
(1)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民對(duì)于交通的滿意度與是否為上班族存關(guān)聯(lián)？

滿意
不滿意
合計(jì)
上班族



非上班族



合計(jì)




(2)為了改善市民對(duì)交通狀況的滿意度，機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)查.規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過(guò)，若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到時(shí)，抽樣結(jié)束.
（i）若，寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ii）請(qǐng)寫(xiě)出的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式（不需證明），根據(jù)你的理解說(shuō)明的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義.
附：













參考公式：，其中.
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，市民對(duì)交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001
(2)（i）分布列見(jiàn)解析，；（ii），平均每抽取2個(gè)人，就會(huì)有一個(gè)不滿意的市民
【解析】(1)
由題意可知

滿意
不滿意
合計(jì)
上班族
15
40
55
非上班族
35
10
45
合計(jì)
50
50
100

零假設(shè)為：市民對(duì)交通的滿意度與是否上班獨(dú)立，
因?yàn)椋?br /> 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對(duì)交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.
(2)
（i）當(dāng)時(shí)，的取值為1，2，3，4，5，
由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為；
所以，，，，，
所以的分布列為

1
2
3
4
5
P






所以；
（ⅱ）
當(dāng)n趨向于正無(wú)窮大時(shí)，趨向于2，此時(shí)恰好為不滿意度的倒數(shù)；
也可以理解為平均每抽取2個(gè)人，就會(huì)有一個(gè)不滿意的市民.


1、（2022·山東青島·高三期末）如圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的年春運(yùn)期間十二個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（ ）

A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高
B．深圳和廈門(mén)的春運(yùn)期間往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所下降
C．平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門(mén)
D．平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州
【答案】C
【解析】從折線圖看，深圳的漲幅最接近，從條形圖看，北京的平均價(jià)格最高，故A正確；
從折線圖看，深圳和廈門(mén)的漲幅均為負(fù)值，故B正確；
從折線圖看，平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京，故C錯(cuò)誤；
從條形圖看，平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州，故D正確.
故選：C.
2、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）（多選題）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的倍
B．若一組數(shù)據(jù)的方差越小，則該組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定
C．由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)、、、所得到的回歸直線至少經(jīng)過(guò)其中的一個(gè)點(diǎn)
D．在某項(xiàng)測(cè)量中，若測(cè)量結(jié)果，則
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，
則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，A對(duì)；
對(duì)于B，由方差的定義可知，方差越小，樣本越穩(wěn)定，B對(duì)；
對(duì)于C，回歸直線一定過(guò)樣本的中心點(diǎn)，不一定過(guò)樣本點(diǎn)，C錯(cuò)；
對(duì)于D， 在某項(xiàng)測(cè)量中，若測(cè)量結(jié)果，則，D對(duì).
故選：ABD.
3、（2022·湖北襄陽(yáng)·高三期末）（多選題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，通常采用分層抽樣的方法抽樣
B．頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高就是該組的頻率
C．若兩個(gè)滿足線性回歸的變量負(fù)相關(guān)，則其回歸直線的斜率為負(fù)
D．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
【答案】AC
【解析】對(duì)于A, 根據(jù)分層抽樣的定義可知，當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，通常采用分層抽樣的方法抽樣,A正確；
對(duì)于B, 頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的高是“頻率/組距”，即每個(gè)小矩形所代表的對(duì)象的頻率/組距，每個(gè)小矩形的面積才是該組的頻率；B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,根據(jù)回歸方程性質(zhì)，若兩個(gè)滿足線性回歸的變量負(fù)相關(guān)，則其回歸直線的斜率為負(fù),C正確；
對(duì)于D，， ,D錯(cuò)誤；
故選：AC.
4、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）（多選題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)
B．若隨機(jī)變量，則
C．方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小
D．“事件是互斥事件”是“事件是對(duì)立事件”的充分不必要條件
【答案】ABC
【解析】選項(xiàng)A: 線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心.判斷正確；
選項(xiàng)B: 若隨機(jī)變量，則.判斷正確；
選項(xiàng)C: 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小. 判斷正確；
選項(xiàng)D: “事件是互斥事件”是“事件是對(duì)立事件”的必要不充分條件.選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.
故選：ABC
5、（2022·山東臨沂·高三期末）為研究數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)是否具有線性相關(guān)性，李老師將班級(jí)里4位同學(xué)的某次數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)記錄如下表所示：
學(xué)生編號(hào)
1
2
3
4
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x
98
102
118
122
物理分?jǐn)?shù)y
80
83
m
100
經(jīng)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)成績(jī)確實(shí)與物理成績(jī)具有相關(guān)性，且線性回歸方程為，則表中______．
【答案】97
【解析】由題可知：，
樣本中心點(diǎn)在回歸直線方程上，代入得
解得.
故答案為：.
6、（2022·湖南郴州·高三期末）2021年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)舉重代表隊(duì)共10人，其中主教練、教練各1人，參賽選手8人，賽后結(jié)果7金1銀，在全世界面前展現(xiàn)了真正的中國(guó)力量；舉重比賽根據(jù)體重進(jìn)行分級(jí)，某次舉重比賽中，男子舉重按運(yùn)動(dòng)員體重分為下列十級(jí)：
級(jí)別
54公斤級(jí)
59公斤級(jí)
64公斤級(jí)
70公斤級(jí)
76公斤級(jí)
體重





級(jí)別
83公斤級(jí)
91公斤級(jí)
99公斤級(jí)
108公斤級(jí)
108公斤級(jí)以上
體重






每個(gè)級(jí)別的比賽分為抓舉與挺舉兩個(gè)部分，最后綜合兩部分的成績(jī)得出總成績(jī)，所舉重量最大者獲勝，在該次舉重比賽中，獲得金牌的運(yùn)動(dòng)員的體重以及舉重成績(jī)?nèi)缦卤?br /> 體重
54
59
64
70
76
83
91
99
106
舉重成績(jī)
291
304
337
353
363
389
406
421
430

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出運(yùn)動(dòng)員舉重成績(jī)與運(yùn)動(dòng)員的體重的回歸直線方程（保留1位小數(shù)）；
(2)某金牌運(yùn)動(dòng)員抓舉成績(jī)?yōu)?80公斤，挺舉成績(jī)?yōu)?18公斤，則該運(yùn)動(dòng)員最有可能是參加的哪個(gè)級(jí)別的舉重？
(3)凱旋回國(guó)后，中央一臺(tái)記者從團(tuán)隊(duì)的10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，用表示抽取到的是金牌得主的人數(shù)，求的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：；
參考公式：．
【答案】(1)
(2)參加的應(yīng)該是91公斤級(jí)舉重
(3)分布列見(jiàn)解析；期望為
【解析】(1)
依題意，，
，
，則，
故回歸方程為：；
(2)該運(yùn)動(dòng)員的抓舉和挺舉的總成績(jī)?yōu)?98公斤，
根據(jù)回歸方程可知：，解得，
即該運(yùn)動(dòng)員的體重應(yīng)該在90公斤左右，即參加的應(yīng)該是91公斤級(jí)舉重；
(3)
隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3．則
，，
，，
所以隨機(jī)變量的概率分布列為：

0
1
2
3






所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
7、（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）某市為積極響應(yīng)上級(jí)部門(mén)的號(hào)召，通過(guò)沿街電子屏、微信公眾號(hào)等各種渠道對(duì)抗疫進(jìn)行了深入的宣傳，幫助全體市民深入了解新型冠狀病毒，增強(qiáng)戰(zhàn)勝疫情的信心．為了檢驗(yàn)大家對(duì)新型冠狀病毒及防控知識(shí)的了解程度，該市推出了相關(guān)的問(wèn)卷調(diào)查，隨機(jī)抽取了年齡在18～99歲之間的200人進(jìn)行調(diào)查，把年齡在和內(nèi)的人分別稱為“青年人”和“中老年人”．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，“青年人”和“中老年人”的人數(shù)之比為2∶3，其中“青年人”中有50%的人對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解全面，“中老年人”中對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解全面和了解不全面的人數(shù)之比是2∶1．
(1)根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果判斷是否有95%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相關(guān)知識(shí)．

了解全面
了解不全面
合計(jì)
青年人



中老年人



合計(jì)




(2)用頻率估計(jì)概率從該市18～99歲市民中隨機(jī)抽取3位市民，記抽出的市民對(duì)防控相關(guān)知識(shí)了解全面的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附表及公式：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有
(2)分布列見(jiàn)解析，
【解析】(1)
解：（1）因?yàn)椤扒嗄耆恕焙汀爸欣夏耆恕钡娜藬?shù)之比為2∶3，所以“青年人”和“中老年人”的人數(shù)分別為80和120，
因?yàn)椤扒嗄耆恕敝杏?0%的人對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解全面，所以“青年人”中對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解全面的有40人，了解不全面的有40人，
因?yàn)椤爸欣夏耆恕敝袑?duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解全面和了解不全面的人數(shù)之比是2∶1，所以“中老年人”中對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解不全面的有80人，了解不全面的有40人，
列聯(lián)表如下：

了解全面
了解不全面
合計(jì)
青年人
40
40
80
中老年人
80
40
120
合計(jì)
120
80
200

因?yàn)椋?br /> 所以有95%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相關(guān)知識(shí)；
(2)
解：用樣本估計(jì)總體可知，從該市18～99歲市民中隨機(jī)抽取1人，抽到的市民對(duì)防控相關(guān)知識(shí)了解全面的概率為，
所以隨機(jī)變量，
隨機(jī)變量可取，
因?yàn)椋?br /> ，
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P





.
8、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）年月底，為嚴(yán)防新型冠狀病毒疫情擴(kuò)散，有效切斷病毒傳播途徑，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭，確保人民群眾生命安全和身體健康，多地相繼做出了封城決定.某地在月日至日累計(jì)確診人數(shù)如下表：
日期（月）
日
日
日
日
日
日
日
人數(shù)（人）








由上述表格得到如散點(diǎn)圖（月日為封城第一天）.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與（，均為大于的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)與封城后的天數(shù)的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；并根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求出回歸方程；
（2）隨著更多的醫(yī)護(hù)人員投入疫情的研究，月日武漢影像科醫(yī)生提出存在大量核酸檢測(cè)呈陰性（陽(yáng)性則確診），但觀其肺片具有明顯病變，這一提議引起了廣泛的關(guān)注，月日武漢疾控中心接收了份血液樣本，假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性樣本的概率為，核酸試劑能把陽(yáng)性樣本檢測(cè)出陽(yáng)性結(jié)果的概率是（核酸檢測(cè)存在陽(yáng)性樣本檢測(cè)不出來(lái)的情況，但不會(huì)把陰性檢測(cè)呈陽(yáng)性），求這份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)的期望.
參考數(shù)據(jù)：











其中，，參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.
【答案】（1）選擇，關(guān)于的回歸方程為；（2）期望為人.
【解析】（1）由散點(diǎn)圖可知選擇，
由兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得，
設(shè)，.
計(jì)算，，，
，
把樣本中心點(diǎn)代入得.
，關(guān)于的回歸方程為；
（2）這份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)為，
則每份檢測(cè)出陽(yáng)性的概率，
由題意可知，（人），
故這份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性份數(shù)的期望為人.

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