1、【2022年全國乙卷】某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【答案】D
【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為
則
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.
故選：D
2、（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).
（1）若小明先回答A類問題，記 SKIPIF 1 < 0 為小明的累計(jì)得分，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.
【解析】（1）由題可知， SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ．
若小明先回答 SKIPIF 1 < 0 問題，記 SKIPIF 1 < 0 為小明的累計(jì)得分，則 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以小明應(yīng)選擇先回答 SKIPIF 1 < 0 類問題．
3、（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．
【解析】前四場中有一場客場輸，第五場贏時(shí)，甲隊(duì)以 SKIPIF 1 < 0 獲勝的概率是 SKIPIF 1 < 0
前四場中有一場主場輸，第五場贏時(shí)，甲隊(duì)以 SKIPIF 1 < 0 獲勝的概率是 SKIPIF 1 < 0
綜上所述，甲隊(duì)以 SKIPIF 1 < 0 獲勝的概率是 SKIPIF 1 < 0
4、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【解析】（1）記事件 SKIPIF 1 < 0 甲連勝四場，則 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）記事件 SKIPIF 1 < 0 為甲輸，事件 SKIPIF 1 < 0 為乙輸，事件 SKIPIF 1 < 0 為丙輸，
則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）記事件 SKIPIF 1 < 0 為甲輸，事件 SKIPIF 1 < 0 為乙輸，事件 SKIPIF 1 < 0 為丙輸，
記事件 SKIPIF 1 < 0 甲贏，記事件 SKIPIF 1 < 0 丙贏，
則甲贏的基本事件包括： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，甲贏的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 SKIPIF 1 < 0 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得 SKIPIF 1 < 0 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分， SKIPIF 1 < 0 表示“甲藥的累計(jì)得分為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(i)證明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列；
(ii)求 SKIPIF 1 < 0 ，并根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
【解析】（1）由題意可知 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 的分布列如下：
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
整理可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列
（ii）由（i）知： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0
作和可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.
6、（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
【解析】(1)由題意可知， SKIPIF 1 < 0 所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)由題意可知， SKIPIF 1 < 0 包含的事件為“前兩球甲乙各得 SKIPIF 1 < 0 分，后兩球均為甲得分”
所以 SKIPIF 1 < 0 =0.1
7、【2022年全國甲卷】甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
【解析】(1)
設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為
．
(2)依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
期望.
8、【2022年新高考1卷】一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．
附，
【解析】(1)
由已知，
又，，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
(2)(i)因?yàn)椋?br>所以
所以，
(ii) 由已知，，
又，，
所以
9、【2022年新高考2卷】在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【解析】(1)
平均年齡
（歲）．
(2)設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
(3)
設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，
則由條件概率公式可得
．
題組一、正態(tài)分布
1-1、（2022·江蘇海門·高三期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布．例如反復(fù)測量某一個(gè)物理量，其測量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布．若某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差，Xn ~N(0， SKIPIF 1 < 0 )，則為使|Xn|≥ SKIPIF 1 < 0 的概率控制在0.0456以下，至少要測量的次數(shù)為（ ）
（附）隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．
A．32B．64C．128D．256
【答案】C
【解析】根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
1-2、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0.43B．0.28C．0.14D．0.07
【答案】D
【解析】∵隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，∴正態(tài)曲線的對稱軸是 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
1-3、（2022·江蘇常州·高三期末）已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
題組二、二項(xiàng)分布
2-1、（2022·廣東東莞·高三期末）甲乙兩人在數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)解一道題，先解出題的人贏得一局，假設(shè)無平局，且每局甲乙兩人贏的概率相同，先贏3局者獲勝，則甲獲勝且比賽恰進(jìn)行了4局的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】甲乙兩人各自解題是相互獨(dú)立事件，又知每局中甲乙兩人贏的概率相同，
即甲贏的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，甲輸?shù)母怕蕿?SKIPIF 1 < 0 .
則甲獲勝且比賽恰進(jìn)行了4局的比賽情況是：甲在前三局中贏了兩局，第四局贏了.
其概率是 SKIPIF 1 < 0
故選：D
2-2、（2021·山東濱州市·高三二模）為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.
（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.
【解析】（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，
恰好打了6局，乙獲勝的概率為，
所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.
（2）X的可能取值為2，3，4，5，
，
，
，
.
所以X的分布列如下：
故.
2-3、（2021·山東濟(jì)寧市·高三二模）甲、乙兩人進(jìn)行“抗擊新冠疫情”知識(shí)競賽，比賽采取五局三勝制，約定先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)在每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立．
（1）求甲獲勝的概率；
（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)甲和乙共進(jìn)行了局比賽，求隨機(jī)變景的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．
【解析】（1）由題意知，比賽三局且甲獲勝的概率，
比賽四局且甲獲勝的概率為，
比賽五局且甲獲勝的概率為，
所以甲獲勝的概率為．
（2）隨機(jī)變量的取值為3，4，5，
則，，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為
所以．
題組三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差
3-1、（2022·江蘇通州·高三期末）下列命題中，正確的是（ ）
A．若事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 互斥，則事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 獨(dú)立
B．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的方差為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從二項(xiàng)分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
D．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 互斥，即事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 不能同時(shí)發(fā)生，也就是其中一個(gè)事件的發(fā)生會(huì)干擾另一件的發(fā)生，即事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 一定不獨(dú)立，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由方差的運(yùn)算性質(zhì)可知B選項(xiàng)正確；由二項(xiàng)分布的期望公式， SKIPIF 1 < 0 ，由期望的運(yùn)算性質(zhì)，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，C選項(xiàng)正確；由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可知，
SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)對稱性， SKIPIF 1 < 0 ，于是
SKIPIF 1 < 0 ，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
3-2、（2022·河北保定·高三期末）某車間打算購買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件，價(jià)格為每個(gè)300元.在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)， SKIPIF 1 < 0 代表購買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購買易損零件的個(gè)數(shù).
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，應(yīng)選哪一個(gè)？
【解析】(1)
SKIPIF 1 < 0 的可能取值為10，11，12，13，14，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
(2)記 SKIPIF 1 < 0 為當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)購買零件所需費(fèi)用，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 元，
記 SKIPIF 1 < 0 為當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)購買零件所需費(fèi)用，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 元，顯然 SKIPIF 1 < 0 ，
所以應(yīng)選擇 SKIPIF 1 < 0 .
3-3、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）3360元；（2）見解析
【解析】（1）記每個(gè)農(nóng)戶的平均損失為元，則
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），
隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；
計(jì)算P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列為；
數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．
3-4、（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）唐三彩是中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn)，在中國文化中占有重要的歷史地位，在陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆，唐三彩的生產(chǎn)至今已有 SKIPIF 1 < 0 多年的歷史，制作工藝十分復(fù)雜，而且優(yōu)質(zhì)品檢驗(yàn)異常嚴(yán)格，檢驗(yàn)方案是：先從燒制的這批唐三彩中任取 SKIPIF 1 < 0 件作檢驗(yàn)，這 SKIPIF 1 < 0 件唐三彩中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，再從這批唐三彩中任取 SKIPIF 1 < 0 件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗(yàn)：如果 SKIPIF 1 < 0 ，再從這批唐三彩中任取 SKIPIF 1 < 0 件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗(yàn)，其他情況下，這批唐三彩的優(yōu)質(zhì)品概率為 SKIPIF 1 < 0 ，即取出的每件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品的概率都為 SKIPIF 1 < 0 ，且各件唐三彩是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．
(1)求這批唐三彩通過優(yōu)質(zhì)品檢驗(yàn)的概率；
(2)已知每件唐三彩的檢驗(yàn)費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 元，且抽取的每件唐三彩都需要檢驗(yàn)，對這批唐三彩作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的總費(fèi)用記為 SKIPIF 1 < 0 元，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
解：設(shè)第一次取出的 SKIPIF 1 < 0 件唐三彩中恰有 SKIPIF 1 < 0 件優(yōu)質(zhì)品為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
第一次取出的 SKIPIF 1 < 0 件唐三彩全是優(yōu)質(zhì)品為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
第二次取出的 SKIPIF 1 < 0 件唐三彩都是優(yōu)質(zhì)品為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
第二次取出的 SKIPIF 1 < 0 件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品為事件 SKIPIF 1 < 0 ，這批唐三彩通過檢驗(yàn)為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
解： SKIPIF 1 < 0 可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 .
題組四、概率中的最值問題
4-1、（2022·山東日照·高三期末）2021年某出版社對投稿某期刊的600篇文章進(jìn)行評選，每篇文章送3位專家進(jìn)行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的文章，將認(rèn)定為“不入圍文章”，有且只有1位專家評議意見為“不合格”的文章，將再送 2 位專家進(jìn)行復(fù)評，2位復(fù)評專家中有1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的文章，將認(rèn)定為“不入圍文章”.設(shè)每篇文章被每位專家評議為“不合格”的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，且各篇文章是否被評議為“不合格”相互獨(dú)立.
(1)記一篇參評的文章被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若擬定每篇文章需要復(fù)評的評審費(fèi)用為1500元，不需要復(fù)評的評審費(fèi)用為900元；除評審費(fèi)外，其他費(fèi)用總計(jì)為10萬元.該出版社總預(yù)算費(fèi)用為80萬元，現(xiàn)以此方案實(shí)施，問是否會(huì)超過預(yù)算? 并說明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)不會(huì)超過預(yù)算，理由見解析.
【解析】(1)
因?yàn)橐黄恼鲁踉u被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，一篇文章復(fù)評后被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以一篇參評的文章被認(rèn)定為“不入圍文章”的概率
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
設(shè)每篇文章的評審費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 元，則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為： SKIPIF 1 < 0 （萬元）.
因此實(shí)施此方案，不會(huì)超過預(yù)算.
4-2、（2022·山東萊西·高三期末）現(xiàn)有混在一起質(zhì)地均勻且粗細(xì)相同的長度分別為1 SKIPIF 1 < 0 ?2 SKIPIF 1 < 0 ?3 SKIPIF 1 < 0 的鋼管各3根（每根鋼管附有不同的編號(hào)），現(xiàn)隨機(jī)抽取4根（假設(shè)各鋼管被抽取的可能性是相等的），再將抽取的這4根首尾相接焊成筆直的一根.
(1)記事件 SKIPIF 1 < 0 “抽取的4根鋼管中恰有2根長度相同”，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若用 SKIPIF 1 < 0 表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計(jì)）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】(1)
由已知 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由已知 SKIPIF 1 < 0 可能的取值有 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
4-3、（2022·山東淄博·高三期末）學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動(dòng)，一項(xiàng)為“雙人對戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”．活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí)，每局比賽獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；參加“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p， SKIPIF 1 < 0 ．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)（每天兩局），各局比賽互不影響．
(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．求p為何值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值．
【答案】(1)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0 （分）
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
解： SKIPIF 1 < 0 可取5，6，7，8，9，10，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分布列如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 （分）；
(2)
解：設(shè)一天得分不低于3分為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
則恰有3天每天得分不低于3分的概率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上遞減，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值.
1、（2022·山東萊西·高三期末）設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故選：D
2、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績 SKIPIF 1 < 0 近似地服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，估計(jì)這些考生成績落在 SKIPIF 1 < 0 的人數(shù)約為（ ）
(附： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
A．36014B．72027C．108041D．168222
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
這些考生成績落在 SKIPIF 1 < 0 的人數(shù)約為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
3、（2022·湖北江岸·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有A，B，C三種，且A，B，C三個(gè)事件之間兩兩互斥.已知在每一次試驗(yàn)中，事件A，B發(fā)生的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，則事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差之比為（ ）
A．5：5：4B．4：4：3C．3：3：2D．2：2：1
【答案】C
【解析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 事件的互斥性可得：每一次試驗(yàn)中，事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0
設(shè)事件A，B，C發(fā)生的次數(shù)為分別隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則有：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
則事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差之比為： SKIPIF 1 < 0
故選：C
4、（2022·江蘇海安·高三期末）一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，若出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2倍關(guān)系，則稱這次拋擲“漂亮”．規(guī)定一次拋擲“漂亮”得分為3，否則得分為－1．若拋擲30次，記累計(jì)得分為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．拋擲一次，“漂亮”的概率為 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ＝2時(shí)，“漂亮”的次數(shù)必為8
C．E( SKIPIF 1 < 0 )＝－10
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由題可知一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子有36種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2倍關(guān)系的有6種等可能的結(jié)果，所以拋擲一次，“漂亮”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
記拋擲30次拋擲“漂亮”的次數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故CD正確.
故選：BCD.
5、（2022·江蘇如皋·高三期末）（多選題）如圖所示，是一個(gè)3×3九宮格，現(xiàn)從這9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)挑出3個(gè)不同的數(shù)字，記事件A1：恰好挑出的是1、2、3；記事件A2：恰好挑出的是1、4、7；記事件A3：挑出的數(shù)字里含有數(shù)字1.下列說法正確的是（ ）
A．事件A1，A2是互斥事件
B．事件A1，A2是獨(dú)立事件
C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)
D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
【答案】AC
【解析】A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同時(shí)發(fā)生，正確；
B.事件A1，A2不是獨(dú)立事件，錯(cuò)誤；
C. SKIPIF 1 < 0 ，正確；
D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤.
故選：AC.
6、（2022·河北唐山·高三期末）（多選題）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究競哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時(shí)，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為 SKIPIF 1 < 0 次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽性的概率都為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1
【答案】CD
【解析】設(shè)混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù) SKIPIF 1 < 0 可能取值為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0
設(shè)逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式，需 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故選：CD
7、（2022·山東青島·高三期末）習(xí)近平總書記在黨的十九大報(bào)告中指出，保障和改善人民最關(guān)心最直接最現(xiàn)實(shí)的利益問題要從“讓人民群眾滿意的事情”做起.2021年底某市城市公園建設(shè)基本完成，為了解市民對該項(xiàng)目的滿意度，從該市隨機(jī)抽取若干市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評分(滿分100分)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí)：
(1)若市民的滿意度評分相互獨(dú)立，以滿意度樣本估計(jì)全市民滿意度，現(xiàn)從全市民中隨機(jī)抽取5人，求至少2人非常滿意的概率；
(2)相關(guān)部門對該項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收，驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是：全民對該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項(xiàng)目需要進(jìn)行整改，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收，并說明理由；(注：滿意指數(shù)= SKIPIF 1 < 0 )
(3)在等級(jí)為不滿意的市民中，老人占 SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)從該等級(jí)市民中按年齡分層抽取9人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔(dān)任督導(dǎo)員.記X為老年督導(dǎo)員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)能通過驗(yàn)收，理由見解析；
(3) SKIPIF 1 < 0 的分布列見解析， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)至少2人非常滿意的概率為事件A，由題意知5人中非常滿意的人數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由頻率分布直方圖得：
滿意度平均分為 SKIPIF 1 < 0 ，滿意指數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，因此，能通過驗(yàn)收.
(3)
分層抽取9人中老人有3人，由題意知 SKIPIF 1 < 0 服從超幾何分布， SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則分布列為：
所以， SKIPIF 1 < 0 .
8、（2022·山東青島·高三期末）法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購買一個(gè)面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000 SKIPIF 1 < 0 ，上下浮動(dòng)不超過50 SKIPIF 1 < 0 .這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000 SKIPIF 1 < 0 ，標(biāo)準(zhǔn)差為50 SKIPIF 1 < 0 的正態(tài)分布.
(1)已知如下結(jié)論：若 SKIPIF 1 < 0 ，從 SKIPIF 1 < 0 的取值中隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)據(jù)，記這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為 SKIPIF 1 < 0 ，則隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 .利用該結(jié)論解決下面問題.
（i）假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買25個(gè)面包，記隨機(jī)購買25個(gè)面包的平均值為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）龐加萊每天都會(huì)將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在 SKIPIF 1 < 0 上，并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為 SKIPIF 1 < 0 .龐加萊通過分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；
(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：
①隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②通常把發(fā)生概率小于 SKIPIF 1 < 0 的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.
【答案】(1)（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii）理由見解析.
(2)
SKIPIF 1 < 0
【解析】（i）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）由第一問知 SKIPIF 1 < 0 ，龐加萊計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生，這就是龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；
(2)
設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為0,1,2,
則 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故分布列為：
其中數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0
9、（2022·山東臨沂·高三期末）一機(jī)床生產(chǎn)了 SKIPIF 1 < 0 個(gè)汽車零件，其中有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)一等品、 SKIPIF 1 < 0 個(gè)合格品、 SKIPIF 1 < 0 個(gè)次品，從中隨機(jī)地抽出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)零件作為樣本.用 SKIPIF 1 < 0 表示樣本中一等品的個(gè)數(shù).
（1）若有放回地抽取，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計(jì)總體中一等品的比例.
①求誤差不超過 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的值；
②求誤差不超過 SKIPIF 1 < 0 的概率（結(jié)果不用計(jì)算，用式子表示即可）
【答案】（1）分布列答案見解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）對于有放回抽取，每次抽到一等品的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列如下：
（2）對于不放回抽取，各次試驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立， SKIPIF 1 < 0 服從超幾何分布，樣本中一等品的比例為 SKIPIF 1 < 0 ，而總體中一等品的比例為 SKIPIF 1 < 0 ，由題意，
① SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 .
10、（2022·湖北江岸·高三期末）5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)的簡稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一.2020年初以來，我國5G網(wǎng)絡(luò)正在大面積鋪開.A市某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民對該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿意程度，從使用了5G手機(jī)的市民中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行問卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組： SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ?…， SKIPIF 1 < 0 ，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：
(1)由直方圖可認(rèn)為A市市民對5G網(wǎng)絡(luò)滿意度得分Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 近似為樣本平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得 SKIPIF 1 < 0 .若A市恰有2萬名5G手機(jī)用戶，試估計(jì)這些5G手機(jī)用戶中滿意度得分位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)該調(diào)查機(jī)構(gòu)為參與本次調(diào)查的5G手機(jī)用戶舉行了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人最多有3輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每一輪抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，中獎(jiǎng)率均為 SKIPIF 1 < 0 .每一輪抽獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為100元話費(fèi)且繼續(xù)參加下一輪抽獎(jiǎng)；若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)束.現(xiàn)小王參與了此次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求小王所獲話費(fèi)總額X的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
由題意知樣本平均數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0
故2萬名5H手機(jī)用戶中滿意度得分位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的人數(shù)約為 SKIPIF 1 < 0 （人）
(2)
由題意可知X的可能取值有0?100?200?300，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （元）. SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2
3
4
5
3
4
5
SKIPIF 1 < 0
5
6
7
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
10
11
12
13
14
SKIPIF 1 < 0
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
X
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
5
6
7
8
9
10
11
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
5
6
7
8
9
10
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
SKIPIF 1 < 0
1
11
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
滿意度評分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
滿意度等級(jí)
不滿意
基本滿意
滿意
非常滿意
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0

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