離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差專(zhuān)題檢測(cè) 1.(2019遼寧葫蘆島期末,6)已知X是離散型隨機(jī)變量P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,則D(2X-1)=????????????? (　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　B　因?yàn)?/span>P(X=1)=,P(X=a)=,所以P(X=1)+P(X=a)=+=1,則X只有兩個(gè)變量1和a.所以E(X)=1×+a=,解得a=2,即P(X=2)=.所以D(X)=×+×=,則D(2X-1)=4×=,故選B.2.(2020全國(guó)高三月考,8)已知甲盒中有2個(gè)紅球,1個(gè)藍(lán)球,乙盒中有1個(gè)紅球,2個(gè)藍(lán)球,從甲、乙兩個(gè)盒中各取1球放入原來(lái)為空的丙盒中,現(xiàn)從甲盒中取1個(gè)球,記紅球的個(gè)數(shù)為ξ1,從乙盒中取1個(gè)球,記紅球的個(gè)數(shù)為ξ2,從丙盒中取1個(gè)球,記紅球的個(gè)數(shù)為ξ3,則下列說(shuō)法正確的是????????????? (　　)A.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)B.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)C.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)D.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)答案　C　本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算,考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力.隨機(jī)變量ξ1的可能取值為0,1,P(ξ1=0)=×=,P(ξ1=1)=×1+×=,故E(ξ1)=,D(ξ1)=,隨機(jī)變量ξ2的可能取值為0,1,P(ξ2=0)=×+×1=,P(ξ2=1)=×=,故E(ξ2)=,D(ξ2)=.隨機(jī)變量ξ3的可能取值為0,1,當(dāng)ξ3=0時(shí),丙盒中無(wú)紅球或有一個(gè)紅球,無(wú)紅球的概率為×=,有一個(gè)紅球的概率為×+×=,故P(ξ3=0)=×1+×=,P(ξ3=1)=1-=,故E(ξ3)=,D(ξ3)=.綜上,E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3).故選C.3.(2020河南安陽(yáng)模擬,10)已知隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101Pabc其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤對(duì)所有a∈(0,1-b)都成立,則 (　　)A.b≤　　B.b≤　　C.b≥　　D.b≥答案　D　本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的求法,考查運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).依題意,知a+b+c=1,故c=1-a-b,當(dāng)a∈(0,1-b)時(shí),E(X)=-a+c=1-b-2a,則D(X)=E(X2)-E2(X)=a+c-(c-a)2=a+c-[(c-a)2+4ac]+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a)=(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,則t∈(0,1),D(X)=t-t2+4a(t-a)≤,a∈(0,t),故4a2-4at+t2-t+≥0在a∈(0,t)上恒成立,當(dāng)a=時(shí)D(X)有最小值,故4-4××t+t2-t+≥0,故t≤,即1-b≤,所以b≥,故選D.4.(2020安徽蚌埠三模,8)開(kāi)學(xué)后,某學(xué)校食堂為了減少師生就餐排隊(duì)時(shí)間,特推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N.已知小明同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種,米飯?zhí)撞偷膬r(jià)格是每份15元,面食套餐的價(jià)格是每份10元,如果小明當(dāng)天選擇了某種套餐,他第二天會(huì)有80%的可能性換另一種類(lèi)型的套餐,假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?/span>,第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/span>pn,給出以下論述:①小明同學(xué)第二天一定選擇面食套餐;②p3=0.68;③pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N);④前n天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為n+-.其中正確的是 (　　)A.②④　　B.①②③　　C.③④　　D.②③④答案　D　在①中,第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?/span>,則小明第二天有80%的可能選擇面食套餐,故①錯(cuò)誤;在②中,∵第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?/span>,∴p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正確;在③中,∵小明當(dāng)天選擇了某種套餐,他第二天會(huì)有80%的可能性換另一種類(lèi)型的套餐,假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?/span>,第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/span>pn,∴pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正確;在④中,當(dāng)n=1時(shí),前n天小明午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為15=×1+-×.當(dāng)n=2時(shí),前n天小明午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為15+15×0.2+10×0.8=×2+-×.當(dāng)n=3時(shí),前n天小明午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為15+15×0.2+10×0.8+15×0.68+10×0.32=×3+-×.由此猜想前n天小明午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為n+-,故④正確.故選D.思路分析　在①中,小明同學(xué)第二天有80%的可能性選擇面食套餐,故①錯(cuò)誤;在②中,p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正確;在③中,推導(dǎo)出pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正確;分別求出n=1,2,3時(shí),前n天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望,由此猜想前n天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為n+-,故④正確.5.(2018浙江寧波5月模擬,13)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:Xa234Pb若EX=2,則a=　　　　;DX=　　　　. 答案　0;解析　由題意得+b++=1,∴b=.所以EX=a×+2×+3×+4×=2,解得a=0.所以DX=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=.6.(2017安徽蚌埠二模,16)賭博有陷阱.某種賭博游戲每局的規(guī)則是:參與者從標(biāo)有5,6,7,8,9的小球中隨機(jī)摸取一個(gè)(除數(shù)字不同外,其余均相同),將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位:元),然后放回該小球,再隨機(jī)摸取兩個(gè)小球,將兩個(gè)小球上數(shù)字之差的絕對(duì)值的2倍作為其獎(jiǎng)金(單位:元).若隨機(jī)變量ξ和η分別表示參與者在每一局賭博游戲中的賭金與獎(jiǎng)金,則Eξ-Eη=　　　　元. 答案　3解析　ξ的分布列為ξ56789PEξ=×(5+6+7+8+9)=7(元).η的分布列為η2468PEη=2×+4×+6×+8×=4(元),∴Eξ-Eη=7-4=3(元).故答案為3.7.(20205·3原創(chuàng)題)已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:ξxyP則xy的最小值是　　　　　. 答案　9解析　由題意得x,y為正實(shí)數(shù),并且++=1,整理得xy=x+y+3①,又Eξ=x·+y·+·=3,Eξ2=x2·+y2·+·=x+y+,結(jié)合Dξ=Eξ2-(Eξ)2≥0得x+y+-9≥0②.由①②得xy+-3≥9,所以xy≥9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)等號(hào)成立,故xy的最小值是9.8.(2020吉林梅河口五中模擬,19)在慶祝澳門(mén)回歸祖國(guó)20周年之際,澳門(mén)特別行政區(qū)政府為了解人們對(duì)回歸20年的幸福指數(shù),隨機(jī)選擇了100位市民進(jìn)行了調(diào)查,將他們的年齡(單位:歲)分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在[20,30),[30,40),[40,50)范圍內(nèi)的人員中,按分層抽樣的方法抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談,用ξ表示年齡在[30,40)范圍內(nèi)的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若將樣本的頻率視作概率,記X表示用隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中年齡在[30,50)范圍內(nèi)的人數(shù).當(dāng)P(X=k)(k=0,1,2,…,20)最大時(shí),求k的值.解析　(1)按分層抽樣的方法抽取的8人中,年齡在[20,30)范圍內(nèi)的人數(shù)為×8=1,年齡在[30,40)范圍內(nèi)的人數(shù)為×8=2,年齡在[40,50)范圍內(nèi)的人數(shù)為×8=5,∴ξ的取值為0,1,2,且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.∴ξ的分布列為ξ012P則E(ξ)=0×+1×+2×=. (6分)(2)由題意知,X服從二項(xiàng)分布,由頻率分布直方圖可知,年齡在[30,50)范圍內(nèi)的頻率為(0.010+0.025)×10=0.35,則X~B(20,0.35),且P(X=k)=(0.35)k(1-0.35)20-k(k=0,1,2,3,…,20).設(shè)t===.若t>1,則k<7.35,P(X=k)>P(X=k-1);若t<1,則k>7.35,P(X=k)<P(X=k-1),∴k=7時(shí),P(X=k)最大. (12分)9.(2020云南昆明民族中學(xué)高三10月適應(yīng)性月考,18)昆明市某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300),該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.空氣質(zhì)量指數(shù)(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空氣質(zhì)量等級(jí)1級(jí)優(yōu)2級(jí)良3級(jí)輕度污染4級(jí)中度污染5級(jí)重度污染6級(jí)嚴(yán)重污染(1)請(qǐng)估算2019年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);(2)用分層抽樣的方法共抽取10天,則空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,50],(50,100],(100,150]的天數(shù)中各應(yīng)抽取幾天?(3)已知空氣質(zhì)量等級(jí)為1級(jí)時(shí)不需要凈化空氣,空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為2000元,空氣質(zhì)量等級(jí)為3級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為4000元.若在(2)的條件下,從空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,150]的天數(shù)中任意抽取兩天,求這兩天的凈化空氣總費(fèi)用X的分布列.解析　(1)由題意,根據(jù)直方圖可估算2019年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110(天).(2)由頻率分布直方圖,可得空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,50]的概率為50×0.002=0.1,所以10天中應(yīng)抽取的天數(shù)為10×0.1=1天,空氣質(zhì)量指數(shù)在(50,100]的概率為50×0.004=0.2,所以10天中應(yīng)抽取的天數(shù)為10×0.2=2天,空氣質(zhì)量指數(shù)在(100,150]的概率為50×0.006=0.3,所以10天中應(yīng)抽取的天數(shù)為10×0.3=3天,所以空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,50],(50,100],(100,150]的天數(shù)中各應(yīng)抽取1,2,3天.(3)由題意知X的取值為2000,4000,6000,8000.P(X=2000)==,P(X=4000)==,P(X=6000)==,P(X=8000)==,所以X的分布列為X2000400060008000P10.(2020河南百校聯(lián)盟9月聯(lián)合檢測(cè),22)隨著甜品的不斷創(chuàng)新,現(xiàn)在的甜品無(wú)論是造型還是口感都十分誘人,有顏值、有口味、有趣味的產(chǎn)品更容易得到甜品愛(ài)好者的喜歡,創(chuàng)新已經(jīng)成為烘焙作品的衡量標(biāo)準(zhǔn).某網(wǎng)紅甜品店生產(chǎn)幾種甜品,由于口味獨(dú)特,受到越來(lái)越多人的喜愛(ài),好多外地的游客專(zhuān)門(mén)到該甜品店來(lái)品嘗“打卡”,已知該甜品店同一種甜品售價(jià)相同,該店為了了解每個(gè)種類(lèi)的甜品銷(xiāo)售情況,專(zhuān)門(mén)收集了該店這個(gè)月里五種網(wǎng)紅甜品的銷(xiāo)售情況,統(tǒng)計(jì)后得如下表格:甜品種類(lèi)A甜品B甜品C甜品D甜品E甜品銷(xiāo)售總額(萬(wàn)元)105202012銷(xiāo)售量(千份)521058利潤(rùn)率0.40.20.150.250.2(利潤(rùn)率是指:一份甜品的銷(xiāo)售價(jià)格減去成本得到的利潤(rùn)與該甜品的銷(xiāo)售價(jià)格的比值.)(1)從該甜品店本月賣(mài)出的甜品中隨機(jī)選一份,求這份甜品的利潤(rùn)率高于0.2的概率;(2)從該甜品店的五種網(wǎng)紅甜品中隨機(jī)選取2種不同的甜品,求這兩種甜品的單價(jià)相同的概率;(3)假設(shè)每類(lèi)甜品利潤(rùn)率不變,銷(xiāo)售一份A甜品獲利x1元,銷(xiāo)售一份B甜品獲利x2元,……,銷(xiāo)售一份E甜品獲利x5元,依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),隨機(jī)銷(xiāo)售一份甜品獲利的期望為E(x),設(shè)

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