在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)算是難度天梯里排N.1的存在，在高考出題人的心中，導(dǎo)數(shù)算是一個(gè)超贊的存在，天生的守門員。但其實(shí)，現(xiàn)在同學(xué)們接觸的只是導(dǎo)數(shù)世界的“皮毛”，真正的精髓還是要到大學(xué)中才會(huì)學(xué)習(xí)。導(dǎo)數(shù)大題是近年來高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，也是高考必考的板塊之一，不管是簡(jiǎn)答題還是選擇、填空都有涉及，也是拉分項(xiàng)。
我們不可否認(rèn)導(dǎo)數(shù)解答題的難度，但也不能過分地夸大。像導(dǎo)數(shù)、函數(shù)這樣的大板塊，同學(xué)們必須會(huì)解題。遇到一個(gè)問題應(yīng)該認(rèn)真分析題型與問題條件，反復(fù)思考結(jié)論，每步做到“言必有據(jù)，步步合理”不用題海戰(zhàn)術(shù)，每個(gè)板塊都能攻克了！今天給大家整理總結(jié)了高考導(dǎo)數(shù)大題的常見類型及求解策略方法，大家通做一遍，復(fù)習(xí)提分效果更佳！
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)1 構(gòu)造偏導(dǎo)數(shù)
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)2 整體規(guī)劃統(tǒng)一變量
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)3 比（差）值換元
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)4 同構(gòu)性雙變量
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)5 切線估計(jì)與剪刀差模型
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)6 不等式放縮
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)7 主元法
EQ \\ac(○,熱) EQ \\ac(○,點(diǎn)) EQ \\ac(○,題) EQ \\ac(○,型)8 多項(xiàng)式擬合
經(jīng)典例題
1.構(gòu)造偏函數(shù)
注：1.構(gòu)造偏差函數(shù)的基本應(yīng)用
①.函數(shù)的極值點(diǎn)為；
②.函數(shù)，然后證明：或.
2.構(gòu)造偏差證明極值點(diǎn)偏移的基本方法：
①.構(gòu)造一元差函數(shù)或是；
②.對(duì)差函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性；
③.結(jié)合或，判斷的符號(hào)，從而確定與的大小關(guān)系；
④.由的大小關(guān)系，得到，（橫線上為不等號(hào)）；
⑤.結(jié)合單調(diào)性得到，進(jìn)而得到.
例1．（23屆福建七市聯(lián)考）已知函數(shù)．
（1）討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，證明：．
解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（2）由（1）中知，則是方程的兩根，不妨令，則，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，大致圖像如圖所示，由圖像可知當(dāng)時(shí)，，，下先證（*）
由，兩邊取對(duì)數(shù)得，作差得，
（*）等價(jià)于證明，
令，，
故在上單調(diào)遞增，從而，即證得，所以，
再證明，令，
故在上單調(diào)遞減，則，
所以，再令，
，則在上單調(diào)遞增，
故，即證得．
2.整體劃歸，統(tǒng)一變量法
例2（23屆泉州一診）．已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．
解析：（1）綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
（2）在上由兩個(gè)極值點(diǎn)，或，且為方程的兩個(gè)根，即，，，，即，
將，代入上式，可得：
，
由題意，需證，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，即，故.
注2背景分析：
若，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，下面我們來計(jì)算的表達(dá)式.
，則是方程的兩個(gè)根（不妨設(shè)）.由，得，同理，由求根公式得：，，則，.于是
本題中，，最后考慮兩個(gè)極值點(diǎn)的范圍，即，可得證.
例3．（23屆溫州二模）已知函數(shù)．
（1）若，求方程的解；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)且有兩個(gè)極值點(diǎn)，記兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的取值范圍并證明．
解析：（1）方程的解為.
（2）令，得，設(shè)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，，令，得，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，綜上，.
不妨令，因?yàn)榍?，由與圖象得，
由為的兩根得，兩式分別乘并整理得，所以，
要證，即證，
即證：，由于，所以 ，只需證，即證
，（），令，（），當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，得證.
3.比（差）值代換消元
例4．（23屆武漢二月調(diào)考）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)為常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，若有最小值，求常數(shù)的值.
解析：（2）因?yàn)?，由?）得，則，設(shè)，則，即，由有最小值，即有最小值. 設(shè)，
那么.
記，由于，若，則，可得單調(diào)遞增，此時(shí)，即單調(diào)遞增，
此時(shí)在沒有最小值，不符合題意.若，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，時(shí)，，則在單調(diào)遞增.
又，，且趨向于時(shí)趨向，故且唯一，使得. 此時(shí)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，即， 在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，有最小值，而，即，
整理得，故.
由題意知.設(shè)
設(shè).設(shè)，故遞增，.此時(shí)遞增，有，令且，則，即在上遞增，故，此時(shí)，故在遞增，而知，的唯一解是. 故的唯一解是，即.
綜上所述，.
例5．（23屆南通二模）已知函數(shù)．
（1）若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
解析：（1）實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn). 由（1）知，，，則. 綜上，要證，只需證，因?yàn)?br>，
設(shè)，.
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.
4.同構(gòu)型雙變量
例6．已知函數(shù)和有相同的最大值.
（1）求a；
（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
解析：（1）；
（2）由（1）知，由于時(shí)，，時(shí)，，因此只有才可能滿足題意，記，且，由（1）得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以，是增函數(shù)，時(shí)，，，又，所以存在，使得，即此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在內(nèi)，同理與也有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在內(nèi)，若與和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則其中一個(gè)交點(diǎn)為兩條曲線和的公共點(diǎn)，記其橫坐標(biāo)為，令，則，記與的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為，且滿足，且，即，又，且，且在和上分別單調(diào)，所以，即，所以為的等比中項(xiàng)，所以從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
注3.多變量同構(gòu)型零點(diǎn)的基本規(guī)律
1.，圖象如下，左端為，右端為.
性質(zhì)：
（1）；
（2）同構(gòu)特性：
（3）若方程存在三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別記為，則有
（4）若方程存在四個(gè)實(shí)根，記為，且有，則有：
2.，圖象如下：，左端為，右端為.
性質(zhì)：
（1）；
（2）同構(gòu)特性：
（3）若方程存在三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別記為，則有
（4）若方程存在四個(gè)實(shí)根，記為，且有，則有：
5.切線估計(jì)與“剪刀差模型”
注4.“剪刀模型”基本原理
函數(shù)凸凹性：
若函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù). 反之，稱為區(qū)間上的凹函數(shù).
切線不等式： 在上為凸函數(shù)，，有. 反之，若為區(qū)間上的凹函數(shù)，則，有.
注：切線不等式是剪刀模型的理論依據(jù).
3.剪刀模型
已知函數(shù)為定義域上的凸函數(shù)，且圖象與交于兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，這樣如下圖所示，我們可以利用凸函數(shù)的切線與的交點(diǎn)將的范圍予以估計(jì)，這便是切線放縮的基本原理.

如圖，在函數(shù)圖象先減后增的情形下，兩條切線和兩條割線即可估計(jì)出零點(diǎn)的一個(gè)上下界，而切割線的方程均為一次函數(shù)，這樣我們就可以得到一個(gè)顯式解（精確解）的估計(jì).
例7.（2023屆皖南八校聯(lián)考）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）設(shè)曲線與軸正半軸相交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；
（2）若關(guān)于的方程（為正實(shí)數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根，求證：.
解析：（1）證明：由題意可得：，，可得曲線在點(diǎn)處的切線為.令，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方.
（2）證明：由（1）可得，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，，曲線在點(diǎn)處的切線為，由（1）得，令，
，，∴由零點(diǎn)的存在性定理知，
同理可得曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，
. 下面證明：.
，
，且，
.
6.不等式放縮
例8（2023屆湖北七市州聯(lián)考T22）．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有3個(gè)零點(diǎn)，，，其中．
（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，， 則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）（?。?，，，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，
所以在單調(diào)遞減，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得， 當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，，所以．當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；
又，所以，，而，且，
，且，所以存在，，
使得，即有3個(gè)零點(diǎn) ，，．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
證明：因?yàn)椋匀?，則，所以．
欲證，代入可得只需證明：
時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)證明.（區(qū)別于標(biāo)準(zhǔn)答案的直接構(gòu)造，那誰想得到，消掉參數(shù)是解題方向）
當(dāng)時(shí)，先證明不等式恒成立，設(shè)，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．由，可得，因?yàn)?，所以，即，兩邊同除以，得，即?br>所以．
注5. 一些重要的不等式放縮
7.主元法
例9.（2022北京卷）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；
（3）證明：對(duì)任意的，，有．
解析：（1）
（2）由（1）有：，，
令，令，
設(shè)，恒成立，故在，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故在，恒成立，故，故在，單調(diào)遞增；
（3）設(shè),其中，，
由（2）有在,單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以在，
即，所以在，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則,而，故，得證.
8.多項(xiàng)式擬合
例10（2021新高考1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
解析：如圖，考慮用二次函數(shù)擬合上述曲線，只需保證二次函數(shù)在頂點(diǎn)處的鄰域內(nèi)擬合即可.可將在處二階泰勒展開，故只需滿足方程組，求得：.即.這樣的話，的根為，且，由，得證.
針對(duì)性訓(xùn)練
1．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)函數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用函數(shù)圖像，從而得出的最小值小于零，進(jìn)而求出結(jié)果.
(2)通過函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，將問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，進(jìn)而再利用零點(diǎn)存在性原求出的零點(diǎn)，從而得到證明.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)最多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，由，得到，
當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的最小值為
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，得到，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，
令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，，則，
當(dāng)時(shí)，，，則，
所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即存在唯一零點(diǎn)，
且時(shí)，，時(shí)，，所以是函數(shù)唯一的極小值點(diǎn)，
故函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn).
2．已知.
(1)若在x=0處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（），求證：（為的二階導(dǎo)數(shù)）.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論，，和四種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)情況討論函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）根據(jù)題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.
【詳解】（1）由題意得，，，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時(shí)，，在單調(diào)遞減；
所以在x＝0處取得極小值，符合題意．
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
所以在x＝0處取得極小值，符合題意．
③當(dāng)a＝1時(shí)，知在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，即，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以在x＝0處無極值，不符合題意．
④當(dāng)a＞1時(shí)，，由①知的減區(qū)間為，
所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
所以在x＝0處取得極大值，不符合題意，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（2）為的零點(diǎn)，則，，，
，
令，構(gòu)造函數(shù)，
由②知，當(dāng)時(shí)，，即.
則，
所以在單調(diào)遞減，故．
故，故原不等式得證．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)極值點(diǎn)的辨析，解題的關(guān)鍵是求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)形式正確分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義得出參數(shù)情況.
3．已知函數(shù)，.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析.
(2)
【分析】（1）分類討論，兩種情況，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性 ；
（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性得出，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)得出的最大值，從而得出求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，且，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，由，得，且，由，得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）易知，.
由，可得，
所以恒成立，即恒成立.
設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，所以恒成立等價(jià)于恒成立，
即對(duì)恒成立.
設(shè)，，.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二時(shí)，關(guān)鍵在于將整理成的形式，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性以及得出，最后求出的最大值，得出a的取值范圍.
4．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求曲線與的公切線方程.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增.
(2)
【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，由此判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)曲線在點(diǎn)與曲線在的切線相同，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得
，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解可求，由此求公切線方程.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
令，有，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，即，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)曲線在點(diǎn)與曲線在的切線相同，
則切線方程為，即，
整理得.
又切線方程也可表示為，
即，
整理得，
所以，
消整理得.
令，
令，
因?yàn)?，所以函?shù)在在單調(diào)遞增，
又函數(shù)在在單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，又，
當(dāng)，
，
又得，
所以，
，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
因此函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，
即只有一個(gè)解，
此時(shí)切線方程為，
所以曲線與的公切線方程為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問解決的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，再通過利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解，確定切點(diǎn)坐標(biāo)，由此求出切線方程.
5．已知.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)確定方程的實(shí)根個(gè)數(shù).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，討論，，和時(shí)，的正負(fù)，即可得出的單調(diào)性；
（2）將方程的實(shí)根個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合的單調(diào)性和值域即可求出答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，是增函數(shù)，
時(shí)，，是減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，是增函數(shù)，
時(shí)，，是減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，是增函數(shù)，
時(shí)，，是減函數(shù).
綜上可得:當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
時(shí)，在，上是增函數(shù).在上是減函數(shù)；
時(shí)，在上是增函數(shù)；
時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
（2）方程的實(shí)根個(gè)數(shù)即的實(shí)根個(gè)數(shù).
即直線與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).
因?yàn)?，所以時(shí)，，是增函數(shù)，
時(shí)，，是減函數(shù).
因?yàn)椋瑒t的圖象如圖所示：
時(shí)，取值范圍是，
時(shí)，取值范圍是，
所以當(dāng)，即時(shí)，方程沒有實(shí)根，
當(dāng)或，即或時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根；
當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．
6．已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，試討論的單調(diào)性；
(2)求使得在上恒成立的整數(shù)的最小值；
(3)若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】（1）求得并化簡(jiǎn)，分、和，三種情況討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，求得，進(jìn)而求得答案；
（3）由（1）得到，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)，求得，即可求解.
【詳解】（1）由，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
③若，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞增，
又因?yàn)闀r(shí)，，所以不符合題意，所以，
由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
可得，
所以使得在上恒成立的整數(shù)的最小值為1.
（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>所以，
又因?yàn)?，所以?br>又由，所以，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
7．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，求解單調(diào)性；
（2）參變分離，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，求出最大值，得到.
【詳解】（1）.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）的定義域?yàn)椋?br>若恒成立，則恒成立，即恒成立，
令，只需，又，
令得，
時(shí)，，則單調(diào)遞增；
時(shí)，，則單調(diào)遞減；
故在時(shí)取得極大值，也時(shí)最大值.
所以，解得：，
故a的取值范圍是.
8．已知，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，，都有？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)極大值為；的極小值為
(2)存在，
【分析】（1）將代入可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性即可得出其極大值為，的極小值為；
（2）易知其定義域?yàn)?，結(jié)合將化簡(jiǎn)變形可得，構(gòu)造函數(shù)易得其為單調(diào)遞增函數(shù)，即，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值即可得.
【詳解】（1）由，可得，
易知的定義域?yàn)椋?br>則．
∴的極大值為；的極小值為．
（2）因?yàn)?，由得?br>即的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，由可得，
，不等式兩邊同時(shí)除以可得，
，即
可得
所以．
設(shè)，則
即．
易得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)．
由，可得，所以
設(shè)，則．
∴當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增．
即時(shí)，；
由題意可得，即．
∴存在實(shí)數(shù)m，且m的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立求解參數(shù)取值范圍時(shí)，常用的方法是通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)最大值或最小值問題，即可求得參數(shù)取值范圍.
9．已知函數(shù).
(1)若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間最值，根據(jù)能成立有，即可求范圍；
（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)所在區(qū)間為并證明唯一性，再由可得，構(gòu)造研究單調(diào)性即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由得：0，則在上單調(diào)遞減，
在上最大值為，
若成立，則必有，
由，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）由在上單調(diào)遞減，且恒成立，
最小正周期，在最大值為1，
由此在恒為負(fù)值，沒有零點(diǎn).
下面看在上的零點(diǎn)情況.
，則，故，
即在上單調(diào)遞減，
，
故在上有唯一零點(diǎn).
綜上，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
令且，則，
所以，
令，則，即在上單調(diào)遞減，
所以，
即.
10．已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)定義域可得定義域，求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，可知恒成立，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理可說明，由此可得的范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，通過分析法可知只需證明即可，結(jié)合可證得結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增.
（2）①當(dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)無零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知：在上單調(diào)遞增，
，，
存在唯一，使得；
，，，
又在上單調(diào)遞增，
要證，即證，只需證，
又，則只需證；
，，
，
得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的問題，本題證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式的關(guān)鍵是能夠利用零點(diǎn)存在定理說明零點(diǎn)所在的范圍，從而通過分析法將問題轉(zhuǎn)化為證明的問題.
11．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】(1)分類討論，答案見解析；
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）轉(zhuǎn)化不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.
【詳解】（1）由題可得，．
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得；由，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)，即時(shí)，
由，得或；由，得，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，
由，得或；由，得，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）當(dāng)時(shí)，由，得，
即．
設(shè)，，
則．
設(shè)，，則．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即．
令，得，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以．
又因?yàn)椋裕?br>因此，當(dāng)時(shí)，恒成立．
故當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)或證明不等式，當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可考慮進(jìn)行二次求導(dǎo)來對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，研究過程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能弄混.
12．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)若為整數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值為2
【分析】（1）討論m的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，即可求得答案；
（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，分類討論，即可求得答案.
【詳解】（1）若時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以.
若，則二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸，
當(dāng)，即時(shí)，1離對(duì)稱軸近，2離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，
所以.
當(dāng)，即時(shí)，1離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，2離對(duì)稱軸近，
.
若，對(duì)稱軸在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上，.
（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>即恒成立，
令,
所以,
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).
又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.
當(dāng)時(shí)，,
令得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
故函數(shù)的最大值為.
令，因?yàn)?
又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,
即關(guān)于的不等式恒成立，
所以整數(shù)的最小值為2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答關(guān)于的不等式恒成立問題，需將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值，因此利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論，求解函數(shù)最值即可解決.
13．已知函，.
(1)討論在的單調(diào)性；
(2)是否存在，且，使得曲線在和處有相同的切線？證明你的結(jié)論.
【答案】(1)答案見解析
(2)不存在，證明見解析
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，討論和時(shí)，的正負(fù)即可得出答案；
（2）假設(shè)存在，求出在和處的切線方程，建立等式，將等式化簡(jiǎn)，減少變量，從而構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1），
故時(shí)，；時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.
（2）解法一：不存在a，，，且，使得曲線在和處有相同的切線.
證明如下：假設(shè)存在滿足條件的a，，，
因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，
即，
同理在處的切線方程為，
且它們重合，所以，
整理得，
即，，
所以，
由兩邊同乘以，
得，
令，，則，且，
由得，代入得，兩邊取對(duì)數(shù)得，
令，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以，從而，與矛盾；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以，從而，與矛盾；
綜上，不存在，，使得，且.
故不存在a，，且，使得曲線在和處有相同的切線.
解法二：不存在a，，且，使得曲線在和處有相同的切線.
證明如下：假設(shè)存在滿足條件的a，，，
因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，即
，
同理在處的切線方程為，
且它們重合，所以，
整理得，
令，，可得，
由兩邊同乘以，
得，則，且，
令，則，且.
由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以若，存在，不妨設(shè)，
設(shè)，，又，所以，則，
由，得即，
則，所以，
所以，即，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
即，取，即，
所以在時(shí)無解，
綜上，不存在，，使得，且.
故不存在a，，且，使得曲線在和處有相同的切線.
解法三：不存在a，，且，使得曲線在和處有相同的切線.
證明如下：假設(shè)存在滿足條件的a，，，
因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，
即，
同理在處的切線方程為，
且它們重合，所以，
整理得，
即，，
所以，
由兩邊同乘以，
得，
令，，則，且，
令，則，且.
由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以若，存在，不妨設(shè)，
則，，
所以，
以下證明.
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，?br>整理得.
因?yàn)椋?，與矛盾；
所以不存在，，使得，且.
故不存在a，，且，使得曲線在和處有相同的切線.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力、直觀想象能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性.
14．已知函數(shù)．
(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解切線方程；
（2）根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可得方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)，將問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
所以在處的切線方程為,即；
（2）證明：由，可知，
因?yàn)椋ǎ┦堑臉O值點(diǎn),所以方程的兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，
所以，，
則
．
要證成立，只需證，即證，
即證，即證，即證，
設(shè)，則，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，則，
所以，故．
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.
15．已知函數(shù).
(1)證明：；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而證得.
（2）由分離，利用（1）的結(jié)論求得的取值范圍.
（3）結(jié)合（1），列不等式，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證得不等式成立.
【詳解】（1）令，，由，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在遞減，遞增，
即，即；
（2）由可得：
由（1）知（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），
，所以，即；
（3）由（1）知，令，可得，
所以
因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以.
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本過程是：轉(zhuǎn)化要證明的不等式（一邊為或常數(shù)），然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等，由此證得不等式成立.
16．設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論m的取值范圍．
【詳解】（1）依題意得．
①當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒成立．
（i）當(dāng)時(shí)，不等式即，滿足條件．
（ii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，該式對(duì)任意恒成立．
設(shè)，則．
設(shè)，則．
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，所以是在上的唯一零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以．
（iii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，
此時(shí)對(duì)于（ii）中的函數(shù)，可知當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，所以．
綜上所述，m的取值范圍是．
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，在時(shí)，利用（1）中的結(jié)論驗(yàn)證即可；在或時(shí)，由可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性可驗(yàn)證在上不恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則．
令，其中，
則，則在上單調(diào)遞減．
故當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減．
（2）解：由（1）可知當(dāng)且當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，
此時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
由，化簡(jiǎn)可得，
令，其中，則．
當(dāng)時(shí)，若，則，在上是減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，此時(shí)，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
18．對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意都有成立，那么稱函數(shù)在區(qū)間上可被替代.
(1)若，試判斷在區(qū)間上，能否可被替代？
(2)若，且函數(shù)在上可被函數(shù)替代，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)能被替代；證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)定義，列式求出的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的取值范圍，得出最大值與最小值，最后作出判斷即可；
（2）根據(jù)定義列式，利用還原法將，再通過對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)式子，分離參數(shù)，根據(jù)分離后的函數(shù)單調(diào)性找出參數(shù)取值區(qū)間.
【詳解】（1），，
設(shè)，，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，，，
所以，在區(qū)間上，能被替代.
（2），且函數(shù)在上可被函數(shù)替代，則對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
令，則，既有對(duì)任意恒成立。
也就是對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
所以，即對(duì)任意恒成立，
變形可得，即對(duì)任意恒成立，
對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)有最大值為，所以；
對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)有最小值，所以，
綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
常規(guī)函數(shù)求導(dǎo)問題中，涉及到三角函數(shù)的思路一般為兩種：一、正常利用求導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算；二、利用換元法將三角函數(shù)換元進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)函數(shù)式子的復(fù)雜程度判斷使用哪個(gè)思路，式子越復(fù)雜，復(fù)合函數(shù)形式越多，越優(yōu)先考慮換元法思路.
19．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）根據(jù)題意分析可得對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，構(gòu)建，根據(jù)恒成立問題結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析運(yùn)算.
【詳解】（1）∵，則，
若時(shí)，則，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
∴切線方程為，即.
（2）∵，即，
整理得，
故原題意等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，
構(gòu)建，則，
注意到，則，
構(gòu)建，則在上單調(diào)遞增，且，
故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
可得當(dāng)，則；當(dāng)，則；
即當(dāng)，則；當(dāng)，則；
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則，
又∵為的零點(diǎn)，則，可得且，
∴，
即在上的最小值為0，
故實(shí)數(shù)的取值范圍.
【點(diǎn)睛】方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問題
(1)分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
(2)函數(shù)思想法
第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
20．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)k，存在，當(dāng)時(shí)，恒有.
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以得到，進(jìn)而得到不等式，
的等價(jià)條件，最后得以證明.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br>，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，
而，所以函數(shù)的零點(diǎn)是；
（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，
即，
因此有，
進(jìn)而有，
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
等價(jià)于，
設(shè)三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為，
所以當(dāng)時(shí)，有.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)（1）的結(jié)論，得到不等式，再根據(jù)存在性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2
3
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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