?專題11 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（ω的取值范圍）
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一直是高考的必考內(nèi)容，也是高考熱點(diǎn)內(nèi)容，在三角函數(shù)圖象中，對(duì)整個(gè)圖象的性質(zhì)影響巨大。因此近年高考中對(duì)ω的取值范圍的考察就是高考的熱門考點(diǎn)之一，這部分考題呈現(xiàn)出綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理，直觀想象素養(yǎng)要求較高，所以對(duì)的取值范圍的系統(tǒng)研究，找到解題的通性通法對(duì)提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)有巨大的幫助。
一、熱點(diǎn)題型歸納
題型1、與函數(shù)平移相關(guān)的ω取值范圍問題
題型2、與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的ω取值范圍問題
題型3、與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的ω取值范圍問題
題型4、與函數(shù)最值相關(guān)的ω取值范圍問題
題型5、與函數(shù)極值相關(guān)的ω取值范圍問題
題型6、與函數(shù)對(duì)稱性相關(guān)的ω取值范圍問題
題型7、與零點(diǎn)、單調(diào)性、對(duì)稱性等相關(guān)的綜合性問題
二、最新?？碱}組練
三、十年高考真題練

【題型1】與函數(shù)平移相關(guān)的ω取值范圍問題
【解題技巧】
1、平移后與原圖象重合：1）平移長(zhǎng)度即為原函數(shù)周期的整倍數(shù)；2）平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù).
2、平移后與新圖象重合：平移后的函數(shù)=新的函數(shù).
3、平移后的函數(shù)與原圖象關(guān)于軸對(duì)稱：平移后的函數(shù)為偶函數(shù)；
4、平移后的函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱：平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù)-；
5、平移后過定點(diǎn)：將定點(diǎn)坐標(biāo)代入平移后的函數(shù)中。
【典例分析】
1.（2022.遼寧高三模擬）已知函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,的周期為,
將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像與原圖像重合，
是周期的整數(shù)倍，，，，的最小值等于.故選：B
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題（甲））將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，
又關(guān)于軸對(duì)稱，則，
解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.
3．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，若，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到奇函數(shù)的圖象，則（????）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平移得的表達(dá)式，由為奇函數(shù)以及可得，進(jìn)而由可得，由代入即可求值.
【詳解】∴，
∵為奇函數(shù)，∴，即，∴．
又，∴，∵，∴，∴，
∴，∴．故選:A．
【變式演練】
1.（2022.綿陽市高三校考期中）將函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】將向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，
因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，又，所以的最小值是2.故選：B

2.（2022.江西高三期末）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ?）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
可得與函數(shù)的圖象重合，
，其中，即，
當(dāng)時(shí)，可得，即的最小值為.故選：B.
3．（2022·北京·人大附中?？寄M預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則______；若為偶函數(shù)，則的最小值是______.
【答案】???? ????
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出的解析式，從而可得的值；再利用函數(shù)是偶函數(shù)建立方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，
即，所以；
若函數(shù)為偶函數(shù)，則，，得，
，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故答案為：；．

【題型2】與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的ω取值范圍問題
【解題技巧】
已知函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，求ω的取值范圍
已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增（或遞減），求的取值范圍
1）根據(jù)區(qū)間的長(zhǎng)度不大于該函數(shù)最小正周期的一半，即，求得.
2）以單調(diào)遞增為例，利用，解得的范圍；
3）結(jié)合第一步求出的的范圍對(duì)進(jìn)行賦值，從而求出（不含參數(shù)）的取值范圍.
【典例分析】
1．（2022·湖南·長(zhǎng)沙模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
由，，得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
依題意得，，所以，，所以，，
由得，由得，所以且，所以或，
當(dāng)時(shí)，，又，所以， 當(dāng)時(shí)，.
綜上所述：.故選：C.
2．（2022·河南·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】由題意可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，
由，得，，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，，
只能取；當(dāng)時(shí)，，即，所以的取值范圍是．故答案為:.
3．（2022·河北張家口·高三期末）已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為___________.
【答案】
【分析】由結(jié)合的取值范圍可求得的值，由可求得的取值范圍，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的范圍即可得解.
【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，?br /> 當(dāng)且時(shí)，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則，
即，即，
因?yàn)?，則，則且，故，從而，
因此，的最大值為.故答案為：.
【變式演練】
1.（2022·河南·汝州市模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】由題意得，函數(shù)，令，
即.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則且，且，
解得，且，又，所以.故選：C.
2.（2022·廣西·高三專題練習(xí)）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，得到，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，
即，若在上單調(diào)遞減，
則的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
若在上單調(diào)遞減，則，，
即，，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍是.故選：D．
3．（2022秋·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小正周期為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出平移后的解析式，根據(jù)對(duì)稱性得到，，再結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到，求出，列出不等式，求出，得到最小正周期.
【詳解】的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，
則關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，解得：，，
因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：，
故，解得：，因?yàn)椋?，故?br /> 則函數(shù)的最小正周期為.故選：B

【題型3】與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的ω取值范圍問題
【解題技巧】
已知三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求ω的取值范圍
對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有k個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定包含k+1個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值．
【典例分析】
1．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且在上恰有50個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得出，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，進(jìn)而得出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，，.
所以，所以的取值范圍是.故選：C.
2．（2022·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的范圍，求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，
若，即，必有，令，則，
設(shè)，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，
又由于，必有，即的取值范圍是，故選：B.
3．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，方程在區(qū)間有且僅有四個(gè)根，則正數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】由方程得到，，然后得到的范圍，根據(jù)原方程在區(qū)間有且僅有四個(gè)根，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.
【詳解】由，可得，所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以的可能取值為
因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間有且僅有四個(gè)根，所以，解得
即的取值范圍是 故答案為：
【變式演練】
1．（2022·河南南陽·高一期末）設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（????）
A．的取值范圍是 B．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有個(gè)
C．的圖象與直線在上的交點(diǎn)可能有個(gè) D．在上單調(diào)遞減
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，
所以，，解得，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且，
由可得或，
故的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有個(gè)，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，即當(dāng)時(shí)，
由，可得或，
所以，的圖象與直線在上的交點(diǎn)可能有個(gè)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，則，，
所以，函數(shù)在不一定單調(diào)遞減，D錯(cuò).故選：D.
2．（2022·安徽·銅陵高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程在上有且只有五個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（?????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】輔助角公式化簡(jiǎn)后解方程，由第五個(gè)正根小于，第六個(gè)正根大于等于可得.
【詳解】由，得：或，即，或，易知由小到大第5、6個(gè)正根分別為，.
因?yàn)榉匠淘谏嫌星抑挥形鍌€(gè)實(shí)數(shù)根，所以有且，解得.故選：C.
3．（2022·重慶江北·?？家荒＃┖瘮?shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函數(shù)得或，解方程即可求函數(shù)在上的從小到大的七個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)在上有個(gè)零點(diǎn)，列不等式，即可求得的取值范圍.
【詳解】解：得或
解得或或
即或或
因?yàn)椋瘮?shù)在上的七個(gè)零點(diǎn)依次為：
由于在上有個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，
則的取值范圍是.故選：B.

【題型4】與函數(shù)最值相關(guān)的ω取值范圍問題
【典例分析】
1．（2022·安徽馬鞍山·三模）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】令，因?yàn)?，所以?br /> 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在時(shí)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，
所以有，因?yàn)?，所以，故選：A
2．（2022·河南·寶豐縣模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以，解?故選：.
3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
【答案】17
【分析】利用三角函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性可知，，再結(jié)合函數(shù)的周期列式，即可求解.
【詳解】由，且在上有最大值，沒有最小值，
可得， 所以.
由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，
又，當(dāng)時(shí)，，則的最大值為17，,故答案為：17
【變式演練】
1.（2022·河南·高三期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在最小值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，由，有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，最小值為，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，最小值為，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，此時(shí)最小值不存在，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
有最小值為，不合題意；
綜上可知，時(shí)，在區(qū)間內(nèi)不存在最小值.故選：D
2.（2022·廣東·廣州市高三階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)（）的最大值為，則正實(shí)數(shù)的取值個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】換元，令，討論與的大小關(guān)系，由單調(diào)性即可求出函數(shù)的最大值，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，即可判斷出正實(shí)數(shù)的取值個(gè)數(shù)．
【詳解】令，
①當(dāng)時(shí)，即，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，解得；
②當(dāng)時(shí)，即，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，
所以．設(shè)，，
，因?yàn)?，在上遞減，
所以在上遞減，存在，使得，因此在上遞增，在上遞減，而，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的，使得，即說明只有一個(gè)實(shí)根，綜上可知，正實(shí)數(shù)的取值個(gè)數(shù)最多為2.故選：C．
3．（2022春?瑤海區(qū)月考）將函數(shù)，，圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，函數(shù)的部分圖象如圖所示，且在，上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值（其中最大值為1，最小值為，則的取值范圍是　　

A． B． C． D．
【解析】解：將函數(shù)，，圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，
得函數(shù)，由圖象過點(diǎn)以及點(diǎn)在圖象上的位置，
知，，，，
由在，上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，，，故選：．
【題型5】與函數(shù)極值相關(guān)的ω取值范圍問題
【典例分析】
1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)（，）在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的取值范圍，求解的值，最后化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)函數(shù)在上恰有2個(gè)極大值，代入，即可求解的取值范圍.
【詳解】解：，
因?yàn)?，則，故，
又函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，故，
因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有2個(gè)極大值，故當(dāng)時(shí)，，即.故選：D.
2．（2022·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象與原函數(shù)圖象重合，的極大值與極小值的差大于15，則a的最小值為（????）
A．6 B．7.5 C．12 D．18
【答案】C
【分析】寫出平移后解析式，由它與原函數(shù)相同，結(jié)合周期性得的表達(dá)式，再由極大值與極小值的差大于15得的范圍，從而可得結(jié)論．
【詳解】平移后函數(shù)式為，它與原函數(shù)一樣，則，，
是正弦型函數(shù)，極大值與極小值的差是，由題意，，
所以的最小值是12．故選：C．
3．（2022·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，分別是函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，且在區(qū)間上，函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，使得，則下列數(shù)值中，的可能取值是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)的概念結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,由題意得則其中在區(qū)間上，函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，使得，
所以解得即解得
對(duì)于D.若，則由
且可知可使成立，
當(dāng)時(shí)當(dāng)或時(shí)，都成立，故不符合；
對(duì)于C. 若，則，且可知
可使成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在唯一的極大值點(diǎn)，使得，故符合條件；
對(duì)于B. 若，則由且可知
可使成立，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，都成立，故不符合；
對(duì)于A. 若，則由 且可知
可使成立，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，都成立，故不符合；故選：C
【變式演練】
1．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）關(guān)于函數(shù)，有下述四個(gè)結(jié)論：
①若在內(nèi)單調(diào)遞增，則.②若在內(nèi)單調(diào)遞減，則.
③若在內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，則.
④若在內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（????）
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性判斷①②的正確性；根據(jù)三角函數(shù)的極值點(diǎn)判斷③④的正確性.
【詳解】依題意函數(shù)，
由，解得（），
若在內(nèi)單調(diào)遞增，則.所以①正確.
由，解得（），
若在內(nèi)單調(diào)遞減，則，此不等式組無解.所以②錯(cuò)誤.
對(duì)于③，由，解得（），依題意在內(nèi)有且僅有一個(gè)解，即且，即且，即且，
所以的取值范圍是，所以③正確.
對(duì)于④，由，解得（），
依題意在內(nèi)有且僅有一個(gè)解，即且，
即且，即且，所以的取值范圍是，所以④錯(cuò)誤.
故正確的為①③.故選：A
【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，屬于中檔題.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（）在上單調(diào)，且在上存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可知，計(jì)算出函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點(diǎn)可知，最后計(jì)算可知結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，則，由此可得.
因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得極值，
欲滿足在上存在極值點(diǎn)，因?yàn)橹芷冢试谏嫌星抑挥幸粋€(gè)極值，
故第一個(gè)極值點(diǎn)，得，又第二個(gè)極值點(diǎn)，
要使在上單調(diào)，必須，得.綜上可得，的取值范圍是.故選：C
【點(diǎn)睛】第一步：先根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間單調(diào)判斷；第二步：計(jì)算對(duì)稱軸；第三步：依據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點(diǎn)可得，即可.
3．（2022·安徽·安慶高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間不存在極值點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意區(qū)間夾在相鄰的兩條對(duì)稱軸之間，列式即可求解
【詳解】，函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點(diǎn)，
，且對(duì)任意的都成立，
，且，，且，或．故選：D．

【題型6】與函數(shù)對(duì)稱性相關(guān)的ω取值范圍問題
【解題技巧】
已知一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，由于對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的水平距離為，
則．
【典例分析】
1．（2022·四川綿陽·校考模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)， 使得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得，則，再根據(jù)，，即可得出答案.
【詳解】解：由題意知，存在在使得的一個(gè)對(duì)稱中心為，
即存在使得時(shí)，，代入， 則，即，即，
因?yàn)?，，所以，則，
由不等式性質(zhì)知時(shí)，取到最小值，
又由于無法取到，故，所以的取值范圍為.故選：C.
2．（2022·重慶·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱軸，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②的最小正周期可能是；
③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（???????）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【分析】令，則，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱軸，即有4個(gè)整數(shù)符合，可求出判斷③，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可依次判斷①②④.
【詳解】由函數(shù)， 令，則
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱軸，即有4個(gè)整數(shù)符合，
由，得，則，
即，，故③正確；
對(duì)于①，，，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)；故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，周期，由，則，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正確；
對(duì)于④，，，又，
又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故④錯(cuò)誤．故正確結(jié)論的序號(hào)是：②③故選：B
【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)：(1) .(2)周期
(3)由 求對(duì)稱軸，由求對(duì)稱中心.
(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
【變式演練】
1．（2022·四川遂寧·校考模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象恰有個(gè)對(duì)稱中心在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為______.
【答案】
【分析】先利用平移變換得到，再根據(jù)所得圖象恰有個(gè)對(duì)稱中心在區(qū)間內(nèi)，由求解.
【詳解】解：函數(shù)的周期為，則，
則將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后得到，
因?yàn)?，所以，因?yàn)樗脠D象恰有個(gè)對(duì)稱中心在區(qū)間內(nèi)，
所以，解得，所以的取值范圍為.故答案為：
2.（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，得，，，
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，故選：C．
3.（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，在上恰有3條對(duì)稱軸，3個(gè)對(duì)稱中心，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)應(yīng)3條對(duì)稱軸，3個(gè)對(duì)稱中心，
畫出函數(shù)圖象，如圖：

故必滿足，解得.故選：A

【題型7】與零點(diǎn)、單調(diào)性、對(duì)稱性等相關(guān)的綜合性問題
【典例分析】
1．（2022·新疆·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且在上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，，，可得，在，上僅有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，故有，求解即可．
【詳解】由，，，所以，解得，
由在，上僅有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，
則有，所以，又，所以的取值范圍為，．故選：．
2．（2022?成都高三期末）已知，，在函數(shù)，的圖象的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解析】解：由，得，即，即，
則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，
，即，則，
當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸的上方，即此時(shí)，恒成立，
由，得，，
得，
則，得，得，
當(dāng)時(shí)，得，得，則的取值范圍是，，故選：．
3．（2022·陜西西安·二模（理））已知函數(shù)，若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為．其圖像的一條對(duì)稱軸為直線，且在上單調(diào)，則的最大值為（???????）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由表示T，再由 是的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，確定T的范圍，從而得到范圍，再逐一驗(yàn)證.
【詳解】解：由題意得：，所以，，
又，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，則，
所以，即，解得，所以，
當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，
則，即，因?yàn)?，則，所以，
若，則，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，
則，即，因?yàn)椋瑹o解；
當(dāng)時(shí)， ，
因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，則，即，
因?yàn)?，則，所以，若，則，
因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，
則，即，
因?yàn)?，則，所以，
若，則，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，
所以，則，即，
因?yàn)?，則，所以，若，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，符合題意；所以的最大值為6，故選：B
【變式演練】
1．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn)，則的取值范圍為______．
【答案】
【分析】找到臨界位置，再根據(jù)條件建立不等式求解即可.
【詳解】如下圖，作出簡(jiǎn)圖，由題意知，，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，

因?yàn)?，則，，
結(jié)合有且，解得．故答案為：
2．（2022秋?溫州期末）若函數(shù)能夠在某個(gè)長(zhǎng)度為3的閉區(qū)間上至少三次出現(xiàn)最大值3，且在上是單調(diào)函數(shù)，則整數(shù)的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】解：函數(shù)能夠在某個(gè)長(zhǎng)度為3的區(qū)間上至少三次出現(xiàn)最大值3，
如果起點(diǎn)為最高點(diǎn)，到下一個(gè)最高點(diǎn)，剛好一個(gè)周期，可兩次獲得最大值3，
由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：即：；解得：；
又，上為單調(diào)函數(shù)，，且，解得；
綜上可得，正整數(shù)．故選：．
3．（2022?浙江模擬）已知函數(shù)，在，上單調(diào)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且有一條對(duì)稱軸為直線，則的最大值是 　?。?br /> 【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，，①
因?yàn)橹本€為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，，②
①②可得，即，由，，可得，3，5，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以，即，解得，
所以的最大值是5．故答案為：5．

【方法總結(jié)】
求ω取值范圍的基本解題思路
1、依托于三角函數(shù)的周期性：
因?yàn)榈淖钚≌芷谑?，所以，只要確定周期T，就可以確定的取值.
2、利用三角函數(shù)的對(duì)稱性
（1）三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，也就是說，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性，進(jìn)而可以研究的取值。
（2）三角函數(shù)的對(duì)稱軸比經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱中心就是其圖象與軸的交點(diǎn)（零點(diǎn)），也就是說我們可以利用函數(shù)的最值、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定的取值.
3、結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)的每一“完整”單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度（即兩相鄰對(duì)稱軸的間距）恰好等于，據(jù)此可用來求的值或范圍。反之，從函數(shù)變換的角度來看ω的大小變化決定了函數(shù)圖象的橫向伸縮，要使函數(shù)在指定區(qū)間上具有單調(diào)性，我們忘完可以通過調(diào)整周期長(zhǎng)度來實(shí)現(xiàn)，猶如通過彈簧的伸縮來抬舉三角函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和最值等。


1．（2022·四川成都·雙流中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后函數(shù)的解析，再根據(jù)兩個(gè)圖象重合可求的解析式，從而可求其最值.
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的解析式為：
，
但該函數(shù)圖象與的圖象重合，故，
故，但，故，故選：B.
2．（2022·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則ω的最小值為（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)伸縮及平移變換得到函數(shù)，結(jié)合奇偶性得到，從而得到結(jié)果.
【詳解】由題意，，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得，
又，所以當(dāng)k＝0時(shí)，ω取得最小值2．故選：C
3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，的零點(diǎn)到軸的最近距離小于，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意為的一個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，
所以，所以，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)到軸的最近距離小于，
所以，化簡(jiǎn)得，即的取值范圍是. 故選：D
4．（2022·陜西榆林·三模（理））已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對(duì)任意，都有，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】由，得，
則，解得．又，
∴，故，即． 由，得，
則，解得，
因?yàn)?，故，即，綜上所述，的取值范圍為．故選：A.
5．（2022·廣東·三模）已知函數(shù)，且f（x）在[0，]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）
【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，
由余弦函數(shù)性質(zhì)可知，解得.故選：D．
6．（2022·山東省濰坊高三開學(xué)考試）函數(shù)在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則下列說法正確的是（???????）
A．在不存在，使得 B．函數(shù)在僅有1個(gè)最大值點(diǎn)
C．函數(shù)在上單調(diào)進(jìn)增 D．實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】D
【分析】可根據(jù)題意作出函數(shù)的大致圖像，可判斷B錯(cuò)；根據(jù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可判斷函數(shù)一定能取到最大和最小值，由此可判斷A的正誤；判斷D時(shí)，可求出y軸右側(cè)的四個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式組，求得的范圍，進(jìn)而判斷出D的正誤，由此求出的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可知C的正誤.
【詳解】對(duì)于A,在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A錯(cuò)誤；
由圖象可知，函數(shù)在可能有兩個(gè)最大值，故B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,令 ，則函數(shù)的零點(diǎn)為 ,
所以函數(shù)在y軸右側(cè)的四個(gè)零點(diǎn)分別是： ，
函數(shù)在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
所以 ，解得 ，故D正確；
由對(duì)選項(xiàng)D的分析可知，的最小值為 ，當(dāng) 時(shí)， ，
但不是的子集，所以函數(shù)在上不是單調(diào)進(jìn)增的，故C錯(cuò)，故選：D.
7．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)P，Q，的圖象在P，Q之間有一個(gè)極大值點(diǎn)A，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，由的圖象在P，Q之間有一個(gè)極大值點(diǎn)A，即的圖象在P，Q之間有一個(gè)最大值，從而可得時(shí)，的值，從而可求得，即可得解.
【詳解】因?yàn)榈膱D象在P，Q之間有一個(gè)極大值點(diǎn)A，所以的圖象在P，Q之間有一個(gè)最大值，
令，則或，
所以或，所以，
因?yàn)椋烧液瘮?shù)圖象的對(duì)稱性可知，故為等腰直角三角形，

如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，故，所以，解得.選：C.
8．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】，，則，
要使f(x)在上的值域是，則.故選：C.
9．（2022·陜西·武功縣高三階段練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則的范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，
令時(shí)，有，，，，
因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，，
所以有：，故選：B
10.（2022?儋州高三期中）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，如果對(duì)于區(qū)間上任意的實(shí)數(shù)，都有，則正數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意

向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
故，如果對(duì)于區(qū)間上任意的實(shí)數(shù)，
都有，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，
∴，，∴，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，無解，∴.故選：B.
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上無極值，則的取值范圍是（???????）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0，） D．（0，]
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解，將問題轉(zhuǎn)化為
或在區(qū)間上恒成立，然后利用正弦函數(shù)的圖象求解即可.
【詳解】由已知條件得，
∵函數(shù)在區(qū)間上無極值，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
∴或在區(qū)間上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
∵，∴，在此范圍內(nèi)不成立；
當(dāng)時(shí)，，
∵，∴，即，解得，則的取值范圍是，故選：.
12．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)（，）在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的取值范圍，求解的值，最后化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)函數(shù)在上恰有2個(gè)極大值，代入，即可求解的取值范圍.
【詳解】解：，
因?yàn)?，則，故，
又函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，故，
因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有2個(gè)極大值，故當(dāng)時(shí)，，即.故選：D.
13.若存在實(shí)數(shù)， 使得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，存在在使得的一個(gè)對(duì)稱中心為，
即存在使得時(shí)，，
代入， 則，即，即，
因?yàn)?，，所以，則，
由不等式性質(zhì)知時(shí)，取到最小值，
又由于無法取到，故，所以的取值范圍為.故選：C.
14．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（???????）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【解析】，令，，則，，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對(duì)稱軸，即有3個(gè)整數(shù)k符合，
，得，則，
即，∴.故選：C.
15．（2022·遼寧·大連高三期中）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．1
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，又，得，令，得，
所以在上的圖像與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，解得，綜上所述，，故的最小值為 故選：D
16．（2022春?湖北期中）已知．給出下列判斷：
①若，，且，則；
②若在，上恰有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；
③存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為．
其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：．
①由題可知，最小正周期，，即①錯(cuò)誤；
②設(shè)函數(shù)在軸右側(cè)與軸的第9個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第10個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則，，解得，，
若在，上恰有9個(gè)零點(diǎn)，則，解得，即②正確；
③的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，
函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，，，
若存在，則，解得，與相矛盾，即③錯(cuò)誤；
④令，得，，
在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，解得，
，，故的取值范圍為，即④錯(cuò)誤．正確的只有②，故選：．
17.（2022?福建高三模擬）已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為______．
【答案】
【分析】先根據(jù)是的零點(diǎn)，是圖像的對(duì)稱軸可轉(zhuǎn)化為周期的關(guān)系，從而求得的取值范圍，又根據(jù)所求值為最大值，所以從大到小對(duì)賦值驗(yàn)證找到適合的最大值即可．
【詳解】由題意可得，即，解得，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，
因?yàn)橐蟮淖畲笾?，令，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，
又，解得，所以此時(shí)，
在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在不單調(diào)，同理，令，，在 上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br /> 所以在單調(diào)遞減，滿足題意，所以的最大值為5.
18．（2022·重慶·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，則的最大值是______ .
【答案】9
【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)以及它的圖象的對(duì)稱性，判斷為奇數(shù)，由在單調(diào)，分在單調(diào)遞增、單調(diào)遞減兩種情況，分別求得的最大值，綜合可得它的最大值．
【詳解】函數(shù)，，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，
，，且，，
相減可得，，即，即為奇數(shù)．
在單調(diào)，
（1）若在單調(diào)遞增，則，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇數(shù)的最大值為9．
當(dāng)時(shí)，，，，．
此時(shí)在單調(diào)遞減，不滿足題意．
當(dāng)時(shí)，，，，，
此時(shí)在不單調(diào)，不滿足題意；故此時(shí)無解．
（2）若在單調(diào)遞減，則，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇數(shù)的最大值為9．
當(dāng)時(shí)，，，，．
此時(shí)在單調(diào)遞減，滿足題意．故的最大值為9．故答案為：9．



1．（2019全國(guó)3卷）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) ②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)
③在（）單調(diào)遞增 ④的取值范圍是[)
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
∵f（x）在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，
由，知時(shí)，令時(shí)取得極大值，①正確；
極小值點(diǎn)不確定，可能是2個(gè)也可能是3個(gè)，②不正確；
因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，
當(dāng)時(shí)，，若f（x）在單調(diào)遞增，
則 ，即 ，∵，故③正確．故選D
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題（乙））記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（????）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.故選：A
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以?br /> 要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．
4．（2016·天津·高考真題）已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，，
所以，
因此，選D.
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)來說，常常是先化為y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式．
5．（全國(guó)·高考真題）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可得,，，
，．故A正確．
6．（福建·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則ωx的取值范圍是
， ∴或，∴的最小值等于，選B.
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．
【答案】
【分析】先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因?yàn)?，（，?br /> 所以最小正周期，因?yàn)椋?br /> 又，所以，即，
又為的零點(diǎn)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故答案為：




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