第20講多邊形與特殊四邊形-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(全國(guó)通用版)
第20講多邊形與特殊四邊形
題組特訓(xùn)詳解
選擇題
1．如圖，在四邊形紙片中，，將紙片折疊，使點(diǎn)、落在邊上的點(diǎn)、處，折痕為，則的結(jié)果為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可求得：，，利用四邊形的內(nèi)角和求出，由補(bǔ)角的定義可求解．
【詳解】解：由折疊可知：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的內(nèi)角和外角，折疊的性質(zhì)，補(bǔ)角．掌握四邊形的內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．
2．如圖1，作平分線的反向延長(zhǎng)線，現(xiàn)要分別以為內(nèi)角作正多邊形，且邊長(zhǎng)均為1，將作出的三個(gè)正多邊形填充不同花紋后成為一個(gè)圖案．例如，若以為內(nèi)角，可作出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，此時(shí)，而是 (多邊形外角和)的，這樣就恰好可作出兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個(gè)符合要求的圖案．如圖2所示，圖2中的圖案外輪廓周長(zhǎng)是14．在所有符合要求的圖案中選一個(gè)外輪廓周長(zhǎng)最大的定為會(huì)標(biāo)，則會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)是（）
A．14B．16C．19D．21
【答案】D
【分析】設(shè)，先表示中間正多邊形的邊數(shù)：外角為，根據(jù)外角和可得邊數(shù)為，同理可得兩邊正多邊形的外角為x，可得邊數(shù)為，計(jì)算其周長(zhǎng)可得結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)，
∴以為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)為：，
以為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)為：，
∴圖案外輪廓周長(zhǎng)是：
，
根據(jù)題意可知：的值只能為，，，，
當(dāng)x越小時(shí)，周長(zhǎng)越大，
∴當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最大，此時(shí)圖案定為會(huì)標(biāo)，
則則會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)是：，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了閱讀理解問(wèn)題和正多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角、外角的關(guān)系，明確正多邊形的各內(nèi)角相等，各外角相等，且外角和為是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．
3．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC、AE，AE交于點(diǎn)H，的平分線交于點(diǎn)．若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（）
A．9B．C．10D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得，推出，得出，由點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，則，由等腰三角形三角形合一的性質(zhì)可得出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，由勾股定理可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：，
，
，
，
；
四邊形是平行四邊形，
，，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，，
，
，，
，
，，
，
平分，
，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在中，，，，，分別是，邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)．連接，則的長(zhǎng)為（）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角得到，再由勾股定理得到，由線段中點(diǎn)的定義和三角形中位線定理得到，，，再由得到，，由此求出，即可利用勾股定理求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，分別是，邊的中點(diǎn)，
∴是的中位線，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，證明是的中位線是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．若點(diǎn)，在直線上，則的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸移動(dòng)，定有；只要求出的最小值，也就是最大值時(shí)，就能確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，而直線與y軸交于點(diǎn)，此時(shí)b的值最大，因此根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)未知數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)，通過(guò)求二次函數(shù)的最值得以解決．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵，，，
∴軸，軸，
∴，
∴四邊形是矩形，
，
又，
，
，
，
，
設(shè)．則，
，
即：，
當(dāng)時(shí)，，
直線與軸交于，且點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，
∴當(dāng)最大時(shí)，最小，點(diǎn)越往上，的值最大，，
此時(shí)，，
的最大值為，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及一次函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形、利用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，M，N分別是平行四邊形的對(duì)邊、的中點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)P，連接，交于點(diǎn)Q，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．四邊形是矩形D．是等邊三角形
【答案】D
【分析】連接．由平行四邊形的性質(zhì)推出平行且等于，再證出，得出，，證得四邊形為平行四邊形，得到；再根據(jù)矩形和菱形的判定定理證明推出四邊形是矩形．
【詳解】解：連接，
∵四邊形為平行四邊形，
∴平行且等于，
又∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，
∴,
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴；
同理
∴A、B正確；
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴
同理：
∴四邊形為平行四邊形，
∵
∴
∴四邊形為菱形，
∴，
∴
∴平行四邊形為矩形．
∴C正確，D不正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定進(jìn)行推理論證，正確掌握各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)E，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為（）
A．16B．18C．20D．25
【答案】A
【分析】利用基本作圖得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，則，所以，從而得到，于是可判斷四邊形為菱形，于是可得到四邊形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：由作法得，平分，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
而B(niǎo)E∥AF，
∴四邊形為菱形，
∴四邊形的周長(zhǎng)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．
8．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC，PFCD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AP，EF，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①AP＝EF；
②PFE＝BAP；
③PD＝EF；
④APD可能是等腰三角形．
其中正確的結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】由正方形的性質(zhì)證明，得出，由，證明四邊形PECF是矩形，得出，進(jìn)而得出，可知①符合題意；由矩形的性質(zhì)證明，得出，進(jìn)而得出，可知②符合題意；由正方形的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，由直角三角形的斜邊大于直角邊，可知，故，可知③不符合題意；只有或或時(shí)，才是等腰三角形，可知④符合題意；即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接PC，
四邊形ABCD是正方形，
，，
在和中，
（SAS）
，，
，，
，
四邊形PECF是矩形，
，
，
故①符合題意；
四邊形PECF是矩形，
，，
在和中，
（SAS）
，
，
，
故②符合題意；
四邊形PECF是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故③不符合題意；
點(diǎn)P在BD上，
只有或或時(shí)，才是等腰三角形，
故④符合題意；
綜上，①②④符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形的斜邊大于直角邊、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定．
9．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，BP＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED ④S△APD+S△APB＝；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出三角形△APD≌△AEB；過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，根據(jù)三角形三邊大小關(guān)系即可求出點(diǎn)B到直線AE的距離大于；根據(jù)兩角之和等于即可求出，從而求出EB⊥ED；根據(jù)圖示（見(jiàn)詳解）即可利用五邊形的面積減去正方形的面積得到的面積，也就是的面積，再利用四邊形的面積減去的面積即可求出的面積，即可求出S△APD+S△APB＝；如圖所示（見(jiàn)詳解），利用出正方形的邊長(zhǎng)即可求出正方形的面積．
【詳解】解：結(jié)論①：
根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，且，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，故①正確，符合題意；
結(jié)論③：
如圖所示，在中，
，，，
∴，即是直角三角形，
∴，故③正確，符合題意；
結(jié)論②：
如下圖所示，點(diǎn)到的垂線，
在中，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，即點(diǎn)到的距離，故②是錯(cuò)的，不符合題意；
結(jié)論⑤：
在中，，，
∴，，
∴，
，
∴，故⑤正確，符合題意；
結(jié)論④：
，，
∴，
∴，故④正確，符號(hào)題意．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，結(jié)合圖形，數(shù)據(jù)，解直角三角形的知識(shí)即可求出答案，理解和掌握正方形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，先證∠AOC＝∠ECO，再證明△OCE≌△AOD，得出對(duì)應(yīng)邊相等OE＝AD，CE＝OD＝2，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，則∠OEC＝∠ADO＝90°，
∴∠COE+∠ECO＝90°，
∵A的坐標(biāo)為（2，），
∴AD，OD＝2，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∴∠AOD＝∠ECO，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD，CE＝OD＝2，
∴C（，2）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明△OCE≌△AOD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．如圖所示的五邊形花環(huán)，是用五個(gè)全等的直角三角形拼成的，則圖等于___________度．
【答案】18
【分析】根據(jù)題意，這是一個(gè)正五邊形，由正五邊形外角得到每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，結(jié)合五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的直角三角形拼成的，由圖可知正五邊形一個(gè)內(nèi)角為一個(gè)直角與拼成，從而列等式求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，這個(gè)圖形是正五邊形，
正五邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，
五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的直角三角形拼成的，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正五邊形內(nèi)角與外角性質(zhì)，根據(jù)題意，得到正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)及構(gòu)成是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12．如圖，七邊形中，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，若，，，的和等于，則的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】##50度
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，根據(jù)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合計(jì)算即可．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在中，，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接、，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論有________．（填序號(hào)）
【答案】①②③④
【分析】如圖延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于G，取的中點(diǎn)H連接．證明得，，證明四邊形是菱形即可解決問(wèn)題.
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)H，連接．
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．故①正確，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正確，
∵，
∴，故③正確，
∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故④正確，
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
14．如圖，在中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（均不與端點(diǎn)重合），．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，拼成四邊形，則四邊形周長(zhǎng)的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】如圖：連接作于首先證明要求四邊形周長(zhǎng)的取值范圍，只要求的最大值和最小值即可．
【詳解】解：如圖：連接作于
在中，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是平行四邊形，
∴當(dāng)時(shí)，可得四邊形周長(zhǎng)的最小值
當(dāng)與重合時(shí)可得周長(zhǎng)的最大值為
不與重合，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)解決問(wèn)題．
15．如圖，矩形紙片中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．
（1）若點(diǎn)在矩形內(nèi)部，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)，已知，則______；
（2）若點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則折痕的長(zhǎng)是______．
【答案】
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可求解．
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明四邊形是菱形，根據(jù)勾股定理求得邊長(zhǎng)，進(jìn)而等面積法即可求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
由折疊，，
∴，
故答案為：．
（2）如圖所示，連接，
依題意，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則,，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵，，
∴，
設(shè)，則中，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
16．如圖，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作且，連接，，．
(1)求證：是菱形；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明平行四邊形是矩形，得到，根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明是等邊三角形，得到，，再由勾股定理求得，然后根據(jù)矩形性質(zhì)得到，，最后利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴平行四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四邊形是矩形，
∴，，
∴在中，，
即的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．將兩張完全相同的矩形紙片，矩形紙片按如圖方式放置，為重合的對(duì)角線，重疊部分為四邊形．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)若四邊形的面積為60，，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)三角形全等的判定可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得證；
（2）先根據(jù)菱形的面積公式可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)即可得．
【詳解】（1）證明：∵四邊形、是完全相同的矩形，
∴，，，
∴四邊形是平行四邊形，
在和中，，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
（2）解：菱形的面積為60，，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
18．在正方形中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．
(1)如圖，連接，相交于點(diǎn)．求證：①，②；
(2)如圖，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，連接．求證：；
(3)如圖，若正方形的邊長(zhǎng)為，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合已知條件根據(jù)證明，即可得證；
②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)，得出,即可得證；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，得出，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；
（3）連接，證明，設(shè)，得出，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：①∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，
∴，
∴，
②∵
∴，
∴，
∴,
即；
（2）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
又，是的中點(diǎn)，則，
∴，
∴，
又（1）②可得；
∴是直角三角形，
∴；
（3）解：如圖所示，連接，
依題意，，，
又，
∴，
∴，
設(shè)，
則，
在中，，
∴，
解得：，
∴,
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在正方形中，E、F是對(duì)角線上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)當(dāng)F是的中點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的特征可得，還有已知條件，于是可證明，即可利用證明；
（2）由旋轉(zhuǎn)的特征可得，可證明，由得，在中用勾股定理可證得結(jié)論；
（3）可由（1）和（2）的結(jié)論先證明四邊形有三個(gè)角是直角，則四邊形是矩形，再由得，四邊形是正方形．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)得，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）得，，
∴，
∴；
（3）解：四邊形是正方形，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)F是的中點(diǎn)時(shí)，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
由（2）得，
∴四邊形是矩形，，
∴四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的特征、全等三角形的判定以及勾股定理等知識(shí)與方法，此題難度不大，但綜合性較強(qiáng)，是很好的習(xí)題．
20．已知中，，，．點(diǎn)D由A出發(fā)沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由B出發(fā)沿向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度相同，點(diǎn)F在上，，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)．解答下列問(wèn)題：
(1)如圖1，當(dāng)x為何值時(shí)，為直角三角形；
(2)如圖2，把沿翻折，使點(diǎn)D落在點(diǎn)．
①當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形為菱形？并求出菱形的面積；
②如圖3，連接，設(shè)為y，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
③如圖4，分別取，的中點(diǎn)M，N，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試確定線段掃過(guò)的區(qū)域的形狀，并求其面積（直接寫(xiě)出答案）．
【分析】（1）解求出，，用含x的代數(shù)式表示出，分和兩種情況，解即可；
（2）①連接，交于G，結(jié)合折疊的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，由菱形的性質(zhì)可知，，由此解直角三角形即可；
②作于G，通過(guò)解直角三角形用含x的代數(shù)式表示出，，再利用勾股定理解即可；
③由三角形中位線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得掃過(guò)的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅?，求出點(diǎn)M到的距離，利用平行四邊形面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，，
當(dāng)，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴當(dāng)或，為直角三角形；
（2）解：①如圖，連接，交于G，
由折疊的性質(zhì)可知，，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面積；
②如圖，作于G，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
③∵M(jìn)、N分別為，的中點(diǎn)，
∴，，
∴線段掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形，
當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到C，則F正好運(yùn)動(dòng)到A，如圖所示，作于H，
此時(shí)，
∵，
∴，
設(shè)，則，
由勾股定理得，即，
解得，，
∴線段掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查解直角三角形，菱形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，綜合運(yùn)用上述知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
過(guò)關(guān)檢測(cè)詳細(xì)解析
一．選擇題
1．如圖，在四邊形中，，，將沿翻折，得到，若，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出、，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出和，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵沿MN翻折得，
∴，
在中，．
∵，且，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．
2．一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形按如圖所示方式擺放，它們都有一邊在直線上，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)，則的度數(shù)是（）
A．75°B．80°C．84°D．90°
【答案】C
【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解決問(wèn)題；
【詳解】由題意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°?72°?60°＝48°，
∴∠AOB＝360°?108°?48°?120°＝84°，
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查正多邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義．
3．如圖，在中，對(duì)角線，為的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于，交于，連接、，現(xiàn)在添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形是菱形，下列條件：①；②；③平分；④為中點(diǎn)．正確的有（）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由在中，O為的中點(diǎn)，易證得四邊形是平行四邊形；然后由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形與對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，求得答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵O為的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
①∵，
∴，
∴四邊形是矩形；故錯(cuò)誤；
②∵，
∴四邊形是菱形；故正確；
③∵平分，，
∴，
無(wú)法判定四邊形是菱形；故錯(cuò)誤；
④∵，，
∴，
∵E為中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是菱形；故正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意首先證得四邊形是平行四邊形是關(guān)鍵．
4．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③若，則；④；其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與可得四邊形是菱形，然后根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且平分每一組對(duì)角的性質(zhì)對(duì)各小題進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：、、、分別是、、、的中點(diǎn)，
，，，，，，
，
，
四邊形是菱形，
∴四邊形是菱形，故①正確；
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)，如圖所示：，分別為，中點(diǎn)，
連接，延長(zhǎng)到上一點(diǎn)，
，，
，只有時(shí)才可以成立，而本題與很顯然不平行，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，①②共2個(gè)正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理與判定四邊形是菱形是解答本題的關(guān)鍵．
5．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，則的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，可得四邊形是矩形，從而得到，再由△ABC為等邊三角形，可得，，從而得到，再證得，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，邊在y軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性，固定點(diǎn)O，A，沿箭頭方向推動(dòng)正方形得到四邊形，其中點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，若，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作軸于F，由題意得，四邊形是菱形，則，，再求出得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作軸于F，
由題意得，四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作邊的的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F是垂足，連接，，交于點(diǎn)O．則下列結(jié)論：①四邊形是正方形；②；③；④．正確的命題為（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】①先證明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四邊形ABEC為平行四邊形，進(jìn)而由∠BAC=90°，得四邊形ABCD是正方形，便可判斷正誤；②根據(jù)BC=AB，DE=2AB進(jìn)行推理說(shuō)明即可；③根據(jù)CD=CE，得出CF是△EFD的中線，然后利用等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題；④根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AE=BC即可．
【詳解】解：①∵∠BAC= 90°，AB = AC，AF⊥BC，
∴.BF= CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AB//DE，
∴∠BAF= ∠CEF，又∠AFB=∠CFE，BF= CF，
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AB= CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，又∠BAC=90°，AB=AC，
∴四邊形ABEC是正方形，故①正確；
②∵AB=CD=CE，
∴DE=2AB，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=AB，
∴DE=BC，故②錯(cuò)誤；
③∵CD=CE，
∴CF為△EFD的中線，
∴，故③正確；
④∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD= BC，又四邊形ABEC是正方形，
∴AE= BC，AE= 2EF，
∴.AD=2EF，故④正確；
綜上，正確的結(jié)論有①③④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG．延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)F，連接DE．下列結(jié)論：①AF⊥CG，②四邊形BEFG是正方形，③若DA＝DE，則CF＝FG；其中正確的結(jié)論是（）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【答案】A
【分析】設(shè)AF交BC于K，由∠ABK=90°及將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG．可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，從而判斷①正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可證四邊形BEFG是正方形，可判斷②正確；過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AE=2AH，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AE=2AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CG，從而可得CF=FG，判斷③正確．
【詳解】解：如圖，設(shè)AF交BC于點(diǎn)K，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABK=90°，
∴∠KAB+∠AKB=90°，
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG．
∴∠KAB=∠BCG，
∵∠AKB=∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF=90°，
∴∠KFC=90°，
∴AF⊥CG，故①正確；
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG．
∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，
又∠BEF=90°，
∴四邊形BEFG是矩形，
又∵BE=BG，
∴四邊形BEFG是正方形，故②正確；
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AE=2AH，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
又AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH=BE，
∴AE=2AH=2BE，
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG．
∴AE=CG，
∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE=GF，
∴AE=2FG，即CG=2FG，
∴CF=FG，故③正確；
∴正確的有：①②③，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
9．勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的∠BAC＝90°，正方形ABED的面積是9，正方形ACHI的面積是16，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）
A．121B．110C．100D．90
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長(zhǎng)，再求出矩形KLMJ的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P，則四邊形AOLP是矩形．
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＋∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理可得△ACB≌△PGC（AAS），
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，
∵正方形ABED的面積是9，正方形ACHI的面積是16，
∴，
∴AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，
∴KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，
∴矩形KLMJ的面積為10×11＝110．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵．
10．如圖1，矩形紙片中，，，要在矩形紙片內(nèi)折出一個(gè)菱形．現(xiàn)有兩種方案：
甲：如圖2，取兩組對(duì)邊中點(diǎn)的方法折出菱形．
乙：如圖3，沿矩形的對(duì)角線折出，的方法得到菱形．下列說(shuō)法正確的是（）
A．甲、乙折出的菱形面積一樣大B．乙折出的四邊形不是菱形
C．甲折出的菱形面積大D．乙折出的菱形面積大
【答案】D
【分析】ACD.根據(jù)折疊分別求出兩種方案中折出的菱形面積進(jìn)行比較即可；
B.先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后再證明AF=CF，從而判定四邊形EFGH是菱形即可．
【詳解】ACD.（方案甲）S菱形＝S矩形?4S△AEH＝12×5?4××6×＝30，
（方案乙）設(shè)BE＝x，則CE＝12?x，
∴，
∵四邊形AECF是菱形，則AE2＝CE2，
∴25＋x2＝（12?x）2，
∴x＝，
∴S菱形＝S矩形?2S△ABE＝12×5?2××5×≈35.21，
∵，
∴乙同學(xué)所折的菱形面積較大，故AC錯(cuò)誤，D正確；
B.∵四邊形ABCD為矩形，
∴，，，，，
∵，，
又∵，，
∴，
∴，
∴AE=CF，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形EFGH是菱形，故B錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．如圖，在正八邊形中，對(duì)角線的延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】首先根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵八邊形是正八邊形，
，平分，
，，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)，掌握正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為_(kāi)___米．
【答案】64
【分析】根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45=8次才會(huì)回到原點(diǎn)，所以一共走了8×8=64米．
【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n，
多邊形外角和為360°，所以n=360°÷45°=8，總邊長(zhǎng)為8×8=64米，
故答案為：64．
【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的外角和，正多邊形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，正方形，點(diǎn)、、、分別在邊、、、上，若與的夾角為，，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】##
【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，連接，證明，，得出，設(shè)，則，，在中，，然后在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
在中，,,
∴,
在與中，
∴
∴，
∵與的夾角為，
∴與的夾角為，即，
∴
∴，
即，
在與中，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
在中，
∴
解得：，
∴,
在中，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y(tǒng)，順次連接AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)得到四邊形EFGH，若四邊形EFGH的面積為7，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)____．
【答案】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)推出BE=AF，BE∥AF得到平行四邊形BHFA，推出AB∥HF，AB=HF，同理得到BC=EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根據(jù)菱形的面積公式求出答案即可．
【詳解】解：連接HF、EG，HF與EG交于點(diǎn)O，
∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵H、F分別為邊DA、BC的中點(diǎn)，
∴AH=BF，
∴四邊形BFHA是平行四邊形，
∴AB=HF，AB∥HF，
同理BC=EG，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四邊形EFGH的面積=EG×HF=y?x=7，
∴y=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出HF、EG的長(zhǎng)和HF⊥EG是解此題的關(guān)鍵．
15．如圖，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C、D，若四邊形ACBD的面積是8，則m、n之間的關(guān)系是________．
【答案】
【分析】連接，，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)在線段上，且，由點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，可得，由軸，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，從而可以判斷四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，整理得：．
【詳解】解：連接，，如圖，
、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，
點(diǎn)在線段上，且，
是反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，
，
∥y軸，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
同理可得，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
整理得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，屬于常考題型，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．在菱形中，，，為菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則的最大值為_(kāi)____．
【答案】
【分析】先根據(jù)題目條件中的中點(diǎn)可聯(lián)想中位線的性質(zhì)，構(gòu)造中位線將和的長(zhǎng)度先求出來(lái)，再利用三角形的三邊關(guān)系判斷，當(dāng)時(shí)最大．
【詳解】解∶如圖所示∶連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接和，
∵在菱形中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，
∴，
當(dāng)、、、共線時(shí)，也為，
∵為中點(diǎn)、為中點(diǎn)，
∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值為．
故答案為∶．
【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于輔助線的添加，要根據(jù)菱形的性質(zhì)和題目條件中的中點(diǎn)構(gòu)造中位線，然后借助三角形的三邊關(guān)系可判斷出當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最大．
17．如圖，在菱形中，，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線垂直平分，求出的長(zhǎng)，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，易得為直角三角形，求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵菱形中，，，
∴互相垂直平分，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
取的中點(diǎn)，連接，則：，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，含30度的直角三角形，勾股定理，三角形的中位線定理．熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，構(gòu)造三角形的中位線，是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若，則的最小值為_(kāi)______．
【答案】##
【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是矩形，求得，當(dāng)時(shí)，最小，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)論得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是菱形，
∴，，，
∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小，
∴當(dāng)時(shí)，最小，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，菱形的性質(zhì)，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在中，，且，點(diǎn)D是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，則線段的最小值為 ___________．
【答案】##
【分析】由勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：連接，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
此時(shí)，的面積=，
∴，
∴的最小值為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
20．如圖，為銳角三角形，是邊上的高，正方形的一邊在上，頂點(diǎn)，分別在，上，已知，，則這個(gè)正方形的面積是______．
【答案】
【分析】證明，利用高線比等于相似比，列式求出正方形的邊長(zhǎng)，即可得解．
【詳解】解：設(shè)交于點(diǎn)，
∵四邊形為正方形，是邊上的高，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上高線比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．如圖，中，，是的角平分線，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使．連接，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)當(dāng)時(shí)，猜想四邊形是什么圖形？說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)正方形，見(jiàn)解析
【分析】（1）首先利用平行四邊形的判定可證得四邊形是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證得結(jié)論；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可．
【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，，
∴四邊形是平行四邊形，
，是的角平分線，
，
，
∴平行四邊形是矩形；
（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，
理由如下：
，是的角平分線，
，
，
，
由（1）可知，四邊形是矩形，
∴矩形是正方形．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形以及矩形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關(guān)鍵．
22．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交的延長(zhǎng)線于以E．
(1)證明：．
(2)若，，求菱形的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再證明，然后證明四邊形是平行四邊形，即可證明；
（2）先根據(jù)（1）中四邊形是平行四邊形得到，，結(jié)合菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出值，即可求出菱形的面積．
【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形
∴，
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形
∴
（2）解：由（1）得四邊形是平行四邊形
∴，
∵四邊形是菱形
∴，，
那么在中，設(shè)，
∵
∴，則
∴
所以菱形的面積
【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．已知正方形，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)．
(1)如圖1，連接，．求證：；
(2)如圖2，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G．
①判斷的形狀并說(shuō)明理由；
②若G為的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①見(jiàn)解析；②
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）①先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；
②過(guò)點(diǎn)F作于H，先求出，，進(jìn)而求出，利用銳角三角函數(shù)可求，最后用勾股定理即可求出答案．
【詳解】（1）證明：∵是正方形的對(duì)角線，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①為等腰三角形，
理由：
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②如圖，過(guò)點(diǎn)F作于H，
∵四邊形為正方形，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，，
∴，，
由①知，，
∴，
∴，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解（2）的關(guān)鍵．
24．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊，上，且，點(diǎn)P在射線上（點(diǎn)P不與點(diǎn)F重合）．將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)E作的垂線，垂足為點(diǎn)H，交射線于點(diǎn)Q．
(1)如圖1，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系______．
(2)如圖2，若點(diǎn)E不是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)正方形的邊長(zhǎng)為9，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)______．
【答案】(1)
(2)成立，理由見(jiàn)解析
(3)4或8
【分析】（1）先證明可得，再根據(jù)、，即可得出結(jié)論；
（2）先證明可得，再根據(jù)，，且即可證明；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，點(diǎn)Q在線段上，由（2）可得，根據(jù)即可求出結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上，證明，可得，再根據(jù)，求出，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，證明如下：
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
，
，
∵四邊形是正方形，
，
，
，
．
（2）解：成立，證明過(guò)程如下：
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∵四邊形是正方形，
，
，
，
又，
．
（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，點(diǎn)Q在線段上，如圖所示；
由（2）可知：，
，，；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上，如圖：
，
，
又，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
綜上所述，線段的長(zhǎng)為4或8．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定及線段中點(diǎn)的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定證明是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在矩形中，過(guò)的中點(diǎn)作，分別與，交于點(diǎn)，．連接，．
(1)求證：四邊形是菱形．
(2)若是中點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是多少？
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可證明，可得進(jìn)而可知且與互相平分，即可證明四邊形是菱形．
（2）由題意可知是的中位線，可知，，則，利用其性質(zhì)列比例式可得，設(shè)為，則為，由矩形和菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求得，再根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】（1）是矩形，
，
，
是中點(diǎn)，
，
在與中，
，
，
且與互相平分，
四邊形是菱形．
（2）是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，
是的中位線，
，，則
，
，
，
設(shè)為，則為，
是菱形，
，
，
，
，，，
，
則
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵在于運(yùn)用勾股定理和三角形中位線求線段長(zhǎng)度．

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