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第二章代數(shù)式
第4講整式的有關(guān)概念
核心考點(diǎn)1：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式、整式
1．單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).
注：①單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成；②一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式。
2．多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).
3．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.
核心考點(diǎn)2：同類項(xiàng)
同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng).
中考對(duì)整式相關(guān)內(nèi)容的考查主要是以選擇、填空題的形式進(jìn)行，當(dāng)然解答題當(dāng)也間接地考查。
1．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①不是單項(xiàng)式②多項(xiàng)式是三次三項(xiàng)式③的系數(shù)是，次數(shù)是6④的次數(shù)為4
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】單項(xiàng)式：數(shù)字與字母的積，單個(gè)的數(shù)與單個(gè)的字母也是單項(xiàng)式，其中數(shù)字因數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式，其中的單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，最高次項(xiàng)的次數(shù)是多項(xiàng)式的次數(shù)
解：是單項(xiàng)式，故①錯(cuò)誤；
多項(xiàng)式是四次三項(xiàng)式，故②錯(cuò)誤；
的系數(shù)是，次數(shù)是6，故③錯(cuò)誤；
的次數(shù)為4，④正確；
故選：B．
【反思】本題考查的是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的概念及單項(xiàng)式的次數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)，多項(xiàng)式的次數(shù)．要牢記這些核心考點(diǎn)。
2．下列各組單項(xiàng)式中，是同類項(xiàng)的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
【分析】本題考查了同類項(xiàng)的概念，同類項(xiàng)要有三個(gè)相同。
【詳解】解：A、 與，所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，是同類項(xiàng)，故A符合題意；
B、與所含字母不同，不是同類項(xiàng)，故B不符合題意；
C、與相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故C不符合題意；
D、與所含字母不同，不是同類項(xiàng)，故D不符合題意．
故選：A．
【反思】本題考查同類項(xiàng)的概念，關(guān)鍵是掌握同類項(xiàng)的定義中兩個(gè)相同的含義．
3．單項(xiàng)式的系數(shù)是______，多項(xiàng)式的次數(shù)是______．
【分析】單項(xiàng)式的系數(shù)指的是單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，多項(xiàng)式的次數(shù)指的是次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)是，
多項(xiàng)式中，的次數(shù)是，的次數(shù)是，
∴多項(xiàng)式的次數(shù)是，
故答案為：，．
【反思】本題主要考查單項(xiàng)式，多項(xiàng)式的概念，理解并掌握單項(xiàng)式的系數(shù)，多項(xiàng)式的次數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵．
4．寫出一個(gè)滿足下列三個(gè)條件： ①只含有字母x、y、z；②系數(shù)為；③次數(shù)為5的單項(xiàng)式_________________．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，按要求寫出即可．
解：符合題意的單項(xiàng)式為（答案不唯一，只要符合要求即可），
故答案為：（答案不唯一）．
【反思】本題考查了單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式的相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
5．觀察下列單項(xiàng)式，探究其規(guī)律：，，，，，，…，按照上述規(guī)律，第2022個(gè)單項(xiàng)式是______．
【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的系數(shù)是從1開始的一些連續(xù)的奇數(shù)，字母的指數(shù)冪是從1開始的一些連續(xù)的整數(shù)，從而可以寫出第n個(gè)單項(xiàng)式，然后即可得到第2022個(gè)單項(xiàng)式．
解：觀察關(guān)于x的單項(xiàng)式可知：
；
；
；
……
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
第n個(gè)單項(xiàng)式為：，
所以第2022個(gè)單項(xiàng)式是：
．
故答案為：．
【反思】此題考查單項(xiàng)式的規(guī)律問題，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵．
6．多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則m的平方的值是 _____．
【分析】直接根據(jù)二次三項(xiàng)式列方程計(jì)算即可．
∵多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，
∴，，
解得，，
∴，
∴，
故答案為4．
【反思】本題考查了多項(xiàng)式的概念，多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，多項(xiàng)式的次數(shù)．
7．當(dāng)____________時(shí)，多項(xiàng)式中不含xy項(xiàng)．
【分析】先合并同類項(xiàng)，然后使xy的項(xiàng)的系數(shù)為0，即可得出答案．
解：=，
∵多項(xiàng)式不含項(xiàng)，
解得：
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)的相關(guān)概念．
8．把多項(xiàng)式按字母m的降冪排列為_____________；已知單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，則______________．
【分析】先分清多項(xiàng)式各項(xiàng)中m的指數(shù)，然后按m指數(shù)從高到低排列；根據(jù)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，可得m、n的值，代入運(yùn)算即可．
多項(xiàng)式按降冪排列為：；
單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，
，，
，，
．
故答案為：①；②．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式降冪排列，同類項(xiàng)，代數(shù)式求值，我們把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某個(gè)字母的指數(shù)從大到小或從小到大的順序排列，稱為按這個(gè)字母的降冪或升冪排列．解答本題的關(guān)鍵是掌握同類項(xiàng)中的兩個(gè)相同：所含字母相同，相同字母指數(shù)相同．
——借助實(shí)例理解概念
有不少同學(xué)感覺數(shù)學(xué)中很多概念不好理解，或者說能理解，但容易忘記，學(xué)了之后要不了幾天就忘記了，其實(shí)學(xué)習(xí)上掌握一定的學(xué)習(xí)方法和技巧還是很有必要的，能幫助我們提高學(xué)習(xí)效率，而且也不易忘記這些學(xué)過的一些概念，比如在我們理解單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的概念時(shí)，可以借助一些具體的實(shí)例幫助我們理解忘記，比單純地死背概念要好的多，比如理解單項(xiàng)式的次數(shù)這一概念，我們不用總是背單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和，而只要舉一個(gè)例子幫助理解即可，2x3yz2的次數(shù)為3+1+2=6。
秘籍四：借助實(shí)例理解概念，效率立即翻倍，并且不易忘記！
一、選擇題
1．下面的說法中，正確的是（ ）
A．是多項(xiàng)式B．中底數(shù)是2
C．的系數(shù)是3D．單項(xiàng)式的次數(shù)是2次
2．如果單項(xiàng)式是8次單項(xiàng)式，那么m的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．下列判斷正確的是（ ）
A．的次數(shù)是2B．的系數(shù)是2C．的常數(shù)項(xiàng)為3D．是多項(xiàng)式
4．下列敘述，錯(cuò)誤的是（ ）
A．單項(xiàng)式的次數(shù)是5B．是三次單項(xiàng)式，系數(shù)是
C．是四次三項(xiàng)式D．有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)
5．有一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：，，，，…，則第2023個(gè)多項(xiàng)式是（ ）
A．B．C．D．
6．如果多項(xiàng)式是關(guān)于y的三次多項(xiàng)式，則（ ）
A． B． C． D．
7．下列各項(xiàng)式子是同類項(xiàng)的為（ ）
A．與B．與C．與D．與
8．下列各組中，不是同類項(xiàng)的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
9．若單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和仍為單項(xiàng)式，則的值為（ ）
A．6B．1C．3D．
10．若 是關(guān)于 、 的三次二項(xiàng)式，則 、 的值是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．已知關(guān)于x的多項(xiàng)式不含三次項(xiàng)和二次項(xiàng)，則（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、填空題
12．請(qǐng)你寫出一個(gè)單項(xiàng)式，使它的系數(shù)為5，次數(shù)為3，這個(gè)單項(xiàng)式是___________．
13．請(qǐng)寫出一個(gè)系數(shù)為3，次數(shù)為4的單項(xiàng)式___，寫出它的一個(gè)同類項(xiàng)____．
14．有一組按規(guī)律排列的式子如下：，，，，……，則第20個(gè)式子是______．
15．一組按規(guī)律排列的式子：，，，，，第個(gè)式子是___________．
16．下面是按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，…則第18個(gè)代數(shù)式是______．
17．如果關(guān)于的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的次數(shù)相同，則的值為__________．
18．是關(guān)于x與y的五次三項(xiàng)式，則___________；
19．若關(guān)于x，y的多項(xiàng)式的值與字母x取值無關(guān)，則的值為_______．
20．在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡(jiǎn)便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號(hào)“”．如記：；；；若，則_____，_____．
一、選擇題
1．在式子，，，中，不是單項(xiàng)式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．是單項(xiàng)式B．的次數(shù)是6
C．的系數(shù)是D．的系數(shù)是
3．按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，……，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．B．C．D．
4．下列有關(guān)整式的說法中，正確的是（ ）
A．是單項(xiàng)式B．是三次四項(xiàng)式C．系數(shù)是D．沒有常數(shù)項(xiàng)
5．若是一個(gè)五次二項(xiàng)式，則（ ）
A．0B．5C．0或5D．4或5
6．如果多項(xiàng)式是關(guān)于y的三次多項(xiàng)式，則（ ）
A． B． C． D．
7．如果是四次三項(xiàng)式，那么的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．當(dāng)（ ）時(shí)，多項(xiàng)式中不含項(xiàng)．
A．1B．2C．3D．
9．若關(guān)于的多項(xiàng)式?jīng)]有一次項(xiàng)，則的值是（ ）
A．－2B．2C．－1D．0
10．多項(xiàng)式按字母的降冪排列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
11．單項(xiàng)式的次數(shù)是______．
12．請(qǐng)寫出一個(gè)系數(shù)為，且只含有字母，的四次單項(xiàng)式________．
13．若多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次二項(xiàng)式，則m＝______．
14．已知是關(guān)于x，y的七次三項(xiàng)式，則的值為________．
15．下列式子：，，，，，．其中整式有______個(gè)．
16．下列代數(shù)式：（1），（2），（3），（4），（5），（6）．整式有___________．（填序號(hào)）
17．若與是同類項(xiàng)，則的值為_______．
18．若單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，則的值是__________．
19．若與的和仍是單項(xiàng)式，則的值等于______．
20．如果單項(xiàng)式和是同類項(xiàng)，且定義運(yùn)算，則________．
第4講整式的有關(guān)概念
題組訓(xùn)練詳細(xì)解答
1．A．是多項(xiàng)式，故A正確；
B．中底數(shù)是，故B錯(cuò)誤；
C．的系數(shù)是，故C錯(cuò)誤；
D．單項(xiàng)式的次數(shù)是3次，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
2．單項(xiàng)式是8次單項(xiàng)式，則．
解得：，
故選：B．
3．A、的次數(shù)是3，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、的系數(shù)是，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、的常數(shù)項(xiàng)為，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、是多項(xiàng)式，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
4．A、單項(xiàng)式的次數(shù)是5，說法正確，不符合題意；
B、是三次單項(xiàng)式，系數(shù)是，說法正確，不符合題意；
C、是四次三項(xiàng)式，說法正確，不符合題意；
D、有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示，但是數(shù)軸上的點(diǎn)不一定都是有理數(shù)，說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選D．
5．多項(xiàng)式的第一項(xiàng)依次是，
第二項(xiàng)依次是，
得到第n個(gè)式子是：．
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式為
故選：D．
6．A、時(shí)，如果，那么無意義，故錯(cuò)誤；
B、時(shí)，是分式，此時(shí)不是多項(xiàng)式，故錯(cuò)誤；
C、正確；
D、時(shí)，多項(xiàng)式是關(guān)于y的一次多項(xiàng)式，故錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)多項(xiàng)式的有關(guān)概念的應(yīng)用，能理解多項(xiàng)式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)的意義是解此題的關(guān)鍵，
7．
A．與，相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故不符合題意；
B．與，所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，是同類項(xiàng)，故符合題意；
C．與，所含字母不同，不是同類項(xiàng)，故不符合題意；
D．與，所含字母不同，不是同類項(xiàng)，故不符合題意；
故選：B．
8．A、與是同類項(xiàng)，不符合題意；B、與是同類項(xiàng)，不符合題意；
C、與是同類項(xiàng)，不符合題意；D、與不是同類項(xiàng)，符合題意；
故選：D．
9．∵單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和仍為單項(xiàng)式，
∴與是同類項(xiàng)，
∴，，
解得：，，
∴，
故選：D．
10．是關(guān)于 、 的三次二項(xiàng)式
，

故選：．
11．∵關(guān)于x的多項(xiàng)式不含三次項(xiàng)和二次項(xiàng)，
∴，，
解得：，，故D正確．
故選：D．
二、填空題
12．系數(shù)為5，次數(shù)為3的單項(xiàng)式可以為，
故答案為：（答案不唯一）．
13．系數(shù)為3，次數(shù)為4的單項(xiàng)式可以是，它的同類項(xiàng)是，
故答案為：，（答案不唯一）
14．多項(xiàng)式的第一項(xiàng)依次是，，，，…，；
第二項(xiàng)依次是，，，，…，；
∴第個(gè)式子即當(dāng)時(shí)，
代入到得到；
故答案為：．
15．∵，，，，，
∴第個(gè)式子是．
故答案為：．
16．通過排列的單項(xiàng)式可以看出，其系數(shù)與它的序號(hào)之間的關(guān)系是；
而字母指數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系為，
所以第n個(gè)代數(shù)式可表示為，
所以第18個(gè)代數(shù)式是．
故答案為：．
17．∵關(guān)于的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的次數(shù)相同，
∴當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故，
綜上所述：的值為或．
故答案為：或．
18．原式中的次數(shù)為n，的次數(shù)為n-1，的次數(shù)為n-2，的次數(shù)為n-1，的次數(shù)為n-2，
由于原式是關(guān)于x與y的五次三項(xiàng)式，而最高次數(shù)為n，
∴，
代入原式得：
，
合并同類項(xiàng)得：，
∵原式是關(guān)于x與y的五次三項(xiàng)式，
∴的系數(shù)為0，即，
∴，
∴，
故答案為：1．
19．關(guān)于的多項(xiàng)式的值與字母取值無關(guān)，
，，
解得，，
則，
故答案為：．
20．在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡(jiǎn)便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號(hào)“”．如記：；；；若，則_____，_____．
∵二次項(xiàng)的系數(shù)為3，
∴可以判斷有三項(xiàng)，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：20，4．
過關(guān)檢測(cè)詳細(xì)解答
1．式子，，，中，不是單項(xiàng)式的是；故選A．
2．A. 是單項(xiàng)式,說法正確；B. 的次數(shù)是4，原說法錯(cuò)誤；C. 的系數(shù)是,說法正確；
D. 的系數(shù)是，說法正確；故選B.
3．第1個(gè)單項(xiàng)式是，
第2個(gè)單項(xiàng)式是，
第3個(gè)單項(xiàng)式是，
，
第個(gè)單項(xiàng)式是．
故選：D．
4．是多項(xiàng)式，是三次四項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)是，
∴A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B．
5．∵是一個(gè)五次二項(xiàng)式， ∴能與或合并，即或，故選：D．
6．A、時(shí)，如果，那么無意義，故錯(cuò)誤；
B、時(shí)，是分式，此時(shí)不是多項(xiàng)式，故錯(cuò)誤；
C、正確；
D、時(shí)，多項(xiàng)式是關(guān)于y的一次多項(xiàng)式，故錯(cuò)誤；
故選：C．
7．∵多項(xiàng)式是四次三項(xiàng)式，∴，∴，故選：D．
8．整理含xy的項(xiàng)得：（k-3）xy，∴k-3=0，k=3．故答案為C．
9．
，
令，此時(shí)不含x的一次項(xiàng)，
∴，
故選：B．
10．多項(xiàng)式按字母的降冪排列是：．故選C．
二、填空題
11．單項(xiàng)式的次數(shù)是，故答案為：5．
12．依題意，一個(gè)系數(shù)為，且只含有字母，的四次單項(xiàng)式為：，
故答案為：（答案不唯一）
13．多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次二項(xiàng)式，
∴，
∴．
故答案為：．
14．∵是關(guān)于x，y的七次三項(xiàng)式，
∴，∴，∴，故答案為：．
15．整式有：，，，，共4個(gè)，故答案為：4．
16．【整式有：（1），（3），（5），（6）．故答案為：（1），（3），（5），（6）．
17．∵與是同類項(xiàng)，∴，∴，故答案為：．
18．∵單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，
∴，解得：，∴，故答案為：．
19．∵與的和仍是單項(xiàng)式，
∴與是同類項(xiàng)，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1．
20．由題意得， ∴∵，∴．
故答案為：6．

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第06講 分式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)（全國(guó)通用）：

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第22講 圖形的相似-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)（全國(guó)通用）：

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第21講 圓-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)（全國(guó)通用）：

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第05講 整式的運(yùn)算與因式分解-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)（全國(guó)通用）

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