(全國通用版)
第19講直角三角形
題組特訓(xùn)詳解
選擇題
1．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（ ）
A．2B．4C．2D．2
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)已知條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得是等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)角為60°，即可得是等邊三角形，即可求解．
【詳解】如圖，連接
將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，
，，
又，
是等邊三角形，
旋轉(zhuǎn)角，
，
是等邊三角形，
，
在中，，，，
，
，
，
點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，找到旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，正方形和正方形中，點(diǎn)D在上，，H是的中點(diǎn)，那么的長是（ ）
A．2.5B．C．D．2
【答案】B
【分析】連接，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，則，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求的長．
【詳解】解：如圖，連接，
∵正方形和正方形中，
∴，，
，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中點(diǎn)，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及勾股定理,掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，兩點(diǎn)，分別在矩形的和邊上，，，，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】證明，得出，勾股定理得出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
又，
∴,
又，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，一架3m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，M為中點(diǎn)，當(dāng)梯子的上端沿墻壁下滑時(shí)，的長度將（ ）
A．變大B．變小C．不變D．先變大后變小
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：，M為的中點(diǎn)，，
∴是的中線，
，
∵梯子的上端沿墻壁下滑時(shí)，梯子的長度不變，
∴的長度也不變，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
5．下面命題不正確的是（ ）
A．有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形．
B．如果三角形的較短兩邊的平方和等于最長邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
C．如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
D．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角之比是3:4:5，那么這個(gè)三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法，逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】解：A．有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，此命題正確，故A不符合題意；
B．如果三角形的較短兩邊的平方和等于最長邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，此命題正確，故B不符合題意；
C．如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，此命題正確，故C不符合題意；
D．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角之比是，則該三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：，，，三個(gè)角都是銳角，因此這個(gè)三角形是銳角三角形，不是直角三角形，此命題錯(cuò)誤，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定，直角三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的判定．
6．如圖，兩條公路，恰好互相垂直，公路的中點(diǎn)與點(diǎn)被湖隔開．若測得的長為，則，兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】解：∵公路，互相垂直，
∴，
∴是直角三角形，
∵公路的中點(diǎn)與點(diǎn)被湖隔開，若測得的長為，
∴，即M、C兩點(diǎn)間的距離為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在中，，D，E分別是邊，的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，從而得到，
再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得到，再根據(jù)等邊對等角得到，最后求出即可．
【詳解】解：∵D，E分別是邊，的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用和角有關(guān)的性質(zhì)定理．
8．如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意，四邊形為矩形，，所以當(dāng)最小時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得解．
【詳解】解：連接
∵四邊形為正方形，，為圓O直徑，
∴，
∵，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，
則：，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓上的動(dòng)點(diǎn)問題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．熟練掌握圓外一點(diǎn)與圓心和圓上一點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為．若，則線段的長為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理求出，證明求出，則．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，的直徑，是的弦，，垂足為M，，則的長為（ ）
A．8B．12C．16D．
【答案】C
【分析】連接，的直徑，則的半徑為10，又已知，則可求出，再根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可求解．
【詳解】如圖：連接
的直徑
的半徑為10
又
在中
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．
11．如圖，中，，，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最小值為（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理得出，當(dāng)時(shí)，的值最小，利用面積法求解即可．
【詳解】解：在中，，，，
∴，
∵當(dāng)時(shí)，的值最小，
此時(shí)：的面積為：，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高．
12．如圖，已知長方形沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E，，則的長為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由四邊形為長方形可知，，從而得出，結(jié)合折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【詳解】∵四邊形為長方形，
∴，
∴．
由折疊的性質(zhì)可知，，
∴，
∴．
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
13．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在的平分線上時(shí)， 的長為（ ）
A．或B．4或C．或D．或
【答案】D
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)M．由題意易證為等腰直角三角形，即得出，．設(shè)，則．在中，由勾股定理可得出關(guān)于x的等式，解出x的值，即為的長，進(jìn)而即得出的長．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)M．
∵點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰落在的平分線上，且，
∴為等腰直角三角形，
∴可設(shè)，則．
又由折疊的性質(zhì)知．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴或．
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴或．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
二、填空題
14．如圖，每個(gè)小正方形的邊長都為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則______°．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理得到，，的長度，再判斷是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接，
由題意， ，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．
15．如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為__________．
【答案】
【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再根據(jù)正切的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中的度數(shù)為___________．
【答案】90°##90度
【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，即可解答．
【詳解】解：由題意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案為：90°．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，M，N是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則與周長和的最小值是______．
【答案】
【分析】將點(diǎn)C項(xiàng)左平移2個(gè)單位得到，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于一點(diǎn)即為最短距離點(diǎn)，根據(jù)勾股定理即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
∵，，，
∴當(dāng)最小即可得到答案，
點(diǎn)C項(xiàng)左平移2個(gè)單位得到，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于一點(diǎn)即為最短距離點(diǎn)，如圖所示，
根據(jù)勾股定理可得，
，
∴與周長和的最小值是：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問題及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)間線段距離最短得到最小距離位置．
18．《九章算術(shù)》中有“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何?”題意：有一根竹子原來高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高?如圖，設(shè)折斷處距離地面尺，根據(jù)題意，則可列方程：__________．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理，建列方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)折斷處離地面尺，
根據(jù)題意可列方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
三、解答題
19．下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材頁的部分內(nèi)容．
(1)請結(jié)合圖1將證明過程補(bǔ)充完整．
(2)如圖2，在中，AD是高，CE是中線，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，，點(diǎn)F為垂足，，則為_______度
【答案】(1)見解析
(2)26
【分析】（1）延長至點(diǎn)，使，連接，，先證四邊形是平行四邊形，再由，得平行四邊形為矩形，然后由矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接，先證，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，則，再由三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：證明：延長至點(diǎn)，使，連接，．
為斜邊上的中線，
，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形為矩形，
，
；
（2）如圖，連接，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
，
是的高，
，
是中線，
，
，
，
，
，
故答案為：26．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
20．如圖，在中，分別是邊上的高線，M是的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角內(nèi)角和定理可得，根據(jù)，可得，進(jìn)一步可得，求出的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：∵分別是邊上的高線，
∴，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．如圖1，和都是等腰直角三角形，，，，的頂點(diǎn)A在的斜邊上．
(1)求證：；
(2)如圖2，若，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由“”可證，可得，，由勾股定理可求解；
（2）過點(diǎn)C作于H，根據(jù)（1）中的結(jié)論可求，從而求出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求的長，由勾股定理可求的長．
【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，
，，，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：過點(diǎn)C作于H，如圖2所示：
∵，，，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明，是解答本題的關(guān)鍵．
22．在長方形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，射線與線段交于點(diǎn)．
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求證：；
(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)正好落在矩形的對角線上時(shí)，求的長度；
(3)如圖，連接，，若，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，從而得到，即可得證；
（2）利用矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，易證，是直角三角形，在中利用勾股定理進(jìn)行求解即可；
（3）作于，交于，易得四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，再利用面積公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
由折疊得：，
，
；
（2）解：四邊形是矩形，
，，
，
由折疊知：，，，
，，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
（3）如圖，作于，交于，

，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊問題，同時(shí)考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在正方形中，，M是對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，過點(diǎn)N作于H，，求．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)M作于F，作于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，即可證明；
（2）過點(diǎn)A作于F，可得，證明，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即可得解．
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)M作于F，作于G，如圖1所示：
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：過點(diǎn)A作于F，如圖2所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，在等腰直角中
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．
(1)在圖①中作，使．
(2)在圖②中作，使．
(3)在圖③中作，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）由于，因此作一個(gè)以B為直角頂點(diǎn)或以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形即可；
（2）由于，因此作一個(gè)以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，其中，；
（3）由于，因此作一個(gè)以E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，其中，．
【詳解】（1）解：如圖，為所求作的三角形．
或
（2）解：如圖，為所求作的三角形．
（3）解：如圖，為所求作的三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切函數(shù)的定義，在網(wǎng)格中作直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正切函數(shù)的定義，網(wǎng)格中作垂線的方法．
25．已知和都是等腰直角三角形，，，．
(1)如圖1，連接，，請直接寫出線段與的數(shù)最關(guān)系和位置關(guān)系；
(2)若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：
②當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，若，，請直接寫出線段的長．
【答案】(1)；；
(2)①見解析；②或
【分析】（1）通過證明，得出，，在根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證；
（2）①連接，由可證，再兩次運(yùn)用勾股定理可得出結(jié)論；
②根據(jù)點(diǎn)、、的位置關(guān)系，分兩種情況考慮，將轉(zhuǎn)化為求的長即可．
【詳解】（1）解： ，；
，
，
在和中，
，
，
，，
如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，
，
；
（2）①證明：如圖，連接，
，
，
，
在與中，
，
，
，，
在中，
，，
，
在中，
，
，
又，，
；
②如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，
，
，，
，
，
，，，
，，
，
如圖，
同理可得：，則，
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
過關(guān)檢測詳細(xì)解析
一．選擇題
1．如圖，在中，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等可得，再利用直角三角形兩銳角互余即可得解．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余．掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在中，，，則當(dāng)時(shí)，的長為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：在中，，
，
∵，
∴，
解得：或（舍去），故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，是解題關(guān)鍵．
3．如圖，菱形中，對角線、交于點(diǎn)O，E為邊中點(diǎn)，，，則的長等于（ ）
A．5B．C．6D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，再利用勾股定理求出，根據(jù)斜邊的性中線等于斜邊的一半即可求解．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵E為邊中點(diǎn)，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及斜邊的中線等于斜邊的一邊等知識(shí)，掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，在中，，AD是角平分線，且，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，則的值為（ ）
A．5B．C．6D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，，根據(jù)勾股定理求出的長度，最后根據(jù)直角三角形斜邊上是中線等于斜邊的一半，即可求解．
【詳解】解：∵，AD是角平分線，
∴，，
根據(jù)勾股定理可得：，
∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)．
5．如圖，，在直角三角形中，，頂點(diǎn)A，B分別在邊上，當(dāng)B在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊上運(yùn)動(dòng)，直角三角形的形狀保持不變，其中．運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長，兩者相加即可得解．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、、，
，，
，
又∵在直角三角形中，，，
∴，
，
∴，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，的最大值為：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在中，，，，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】連接，取的中點(diǎn)O，連接，可得，從而得，，再求出的最小值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)O，連接，
∵中，，，
∴，
∵，
∴分別是斜邊上的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即當(dāng)最小時(shí)，的值最小，
∵當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，是等腰直角三角形，，
∴最小值，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，添加合適的輔助線，構(gòu)造頂角為的等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．
7．如圖1，在中，，，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿線段向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作，交的直角邊于點(diǎn)E，的面積y與線段的長x之間的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，線段的長為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】當(dāng)E在上時(shí)，由，，，可得是等腰直角三角形，而的面積為1，即可得，當(dāng)E在上時(shí)，由圖2知最大面積為2，可得，設(shè)的面積為1時(shí)，有，即可解得．
【詳解】解：當(dāng)E在上時(shí)，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的面積為1，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)E在上時(shí)，
由圖2知最大面積為2，此時(shí)E與C重合，
∴面積為4，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的面積為1時(shí)，，則，
∴，
解得或，
∵當(dāng)E在上，，即，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，分類討論．
8．如圖，四邊形是菱形，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則的長度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用勾股定理求得邊長，等面積法求得，在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴,，
在中，,
∵，
∴
在中，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在矩形中，將沿折疊得到，延長交邊于點(diǎn)M，若，，則的長為（ ）
A．B．8C．6D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，由折疊得，，，再由可證得，可得，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，
由折疊可得：，，，
∵四邊形為矩形，
，
，
又，
，，
在和中，
，
．
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理有：，
即，
解得：．
故．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)并在中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是解答此題的關(guān)鍵．
10．如圖1， 中，∠，，，將放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸正半軸上．將按如圖方式順時(shí)針滾動(dòng)無滑動(dòng)，則滾動(dòng)次后，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形滾動(dòng)規(guī)律得出每次一循環(huán)，由已知可得三角形周長為，進(jìn)而可得滾動(dòng)次后，點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴
的周長為，
根據(jù)題意可得，每滾動(dòng)次，點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，
，
滾動(dòng)次后，點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加了)，
滾動(dòng)次后，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，坐標(biāo)規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，中，，，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為E，連接交于點(diǎn)F，則以下結(jié)論，其中正確結(jié)論是（ ）
①；②；③；④與的面積比是：
A．①②③B．②③C．③④D．②③④
【答案】B
【分析】由角所對的直角邊等于斜邊的一半可判斷①錯(cuò)誤；運(yùn)用勾股定理求出即可判斷②；證明證明垂直平分線段即可判斷③；分別計(jì)算出兩個(gè)三角形的面積即可判斷④
【詳解】解：如圖，設(shè)．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
中，，，
∴，
∵是鈍角，
∴，
∴，故①錯(cuò)誤，
中，，，
∴，故②正確，
∵平分，
∴，
又
∴
∴，
∵
∴垂直平分線段，故③正確，
∴，故④錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形30度角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．
二、填空題
12．如圖，在中，于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)若，，則的長為_______________
【答案】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵是邊的中點(diǎn)，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊和上的點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)D恰好落在邊上，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長是 _____．
【答案】3
【分析】由點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)D恰好落在邊上和可得，設(shè)，根據(jù)，可得，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)D恰好落在邊上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴＝，即，
解得，
∴，
∴，
在中，
，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形中的翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，將按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中，，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【分析】過作軸于C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，得到，求得的長度即可．
【詳解】解：過作軸于C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∵，，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，， ，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，先將矩形紙片沿其對角線折疊，再沿著的垂直平分線繼續(xù)折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．若，則折痕的長為__________．
【答案】
【分析】設(shè)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，由折疊的性質(zhì)可得，，，再由矩形的性質(zhì)可得，從而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，再證明，可得，再證明，可得，再根據(jù)，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，
由折疊的性質(zhì)得：，，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，解得：，
即，
由折疊的性質(zhì)得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形和折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形和折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)： ；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如： …，若此類勾股數(shù)的勾為 ，則其弦是_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．
【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)， （m為偶數(shù)且 ），則另一條直角邊 ，弦 ．
則弦為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．
三、解答題
17．如圖，O是直線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，可得，可得，結(jié)合，，即可得到，即可得到證明；
（2）根據(jù)勾股定理求出，由可得， 即可得到答案.
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的關(guān)系得到相似的條件．
18．如圖，在中，于點(diǎn)D，，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)且，求證：．
【答案】見解析
【分析】利用證明，即可解決問題．
【詳解】證明： ，
．
∵點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在四邊形中，，，，．
(1)求的長．
(2)判斷的形狀，并說明理由．
(3)求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)是等腰直角三角形，理由見解析
(3)
【詳解】（1）解：∵，
∴在中，由勾股定理，得
；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵是等腰直角三角形；
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
20．【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，點(diǎn)E在線段上，，．求證：．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，，若E是的中點(diǎn)，，，求的長．
【拓展提高】
（3）如圖3，，，E是的中點(diǎn)，，，求的長．
【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）
【分析】（1）先求出，再根據(jù)證明；
（2）延長線段，交的延長線于點(diǎn)F，先證，得，得，再，即可得答案；
（3）過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)D作，交交的延長線于點(diǎn)M，先證，得，由，得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得，再根據(jù)勾股定理得，最后證，即可得答案．
【詳解】解：（1），
，
，
在和中，
；
（2）如下圖，延長線段，交的延長線于點(diǎn)F，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)M，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線．
21．如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點(diǎn)與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D在ABC內(nèi)部，與交于點(diǎn)M，連接，．
(1)求證：；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長；
(3)當(dāng)點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，直接寫出的長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形兩條對角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)，可證明；
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算，證明，可得答案；
（3）A、D、E三點(diǎn)在同一直線上又分兩種情況，即點(diǎn)D在A、E兩點(diǎn)之間或在射線上，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程即可求出的長．
【詳解】（1）證明：在等腰直角與正方形中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，
∴，
∵
∴，
∴，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)Q，
則，
∵
∴，
∴，
綜上，的長為．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)與方法，解第（3）題時(shí)要分類討論，以免丟解．
22．如圖，在甲村至乙村的公路旁有一塊山地需要開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點(diǎn)C與公路上的?？奎c(diǎn)A的距離為300米，與公路上另一?？奎c(diǎn)B的距離為400米，且，為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑250米范圍內(nèi)受會(huì)有危險(xiǎn)．請通過計(jì)算判斷在公路上行駛時(shí)是否會(huì)遇到危險(xiǎn)？若無，請說明理由，若有危險(xiǎn)請求出危險(xiǎn)路段的長度．
【答案】在公路上行駛時(shí)會(huì)遇到危險(xiǎn)，需要封鎖的公路長為140米
【分析】過C作于D．根據(jù)米，米，，利用根據(jù)勾股定理有米．利用得到米．再根據(jù)240米＜250米可以判斷有危險(xiǎn)，最后根據(jù)勾股定理求出封鎖路段的長度即可．
【詳解】解：在公路上行駛時(shí)會(huì)遇到危險(xiǎn)．
理由如下：如圖，過C作于D．
∵米，米，，
根據(jù)勾股定理得（米）．
∴，
∴（米）．
由于240米米，故有危險(xiǎn)，
故在公路上行駛時(shí)會(huì)遇到危險(xiǎn)；
如圖，設(shè)為需要封鎖的公路，
∵爆破點(diǎn)C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，
∴米，
∵米，
∴（米），
∴米，
故需要封鎖的公路長為140米．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理．
23．如圖，在中，平分交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心、的長為半徑的與相切于點(diǎn)A，與相交于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求和的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)，．
【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，即可證明結(jié)論；
（2）由勾股定理得，利用“”證明，得到，進(jìn)而得到，設(shè)，則，，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
是的切線，
，
平分，，，
，
，
是的切線；
（2）解：，，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
在中，，
，
解得：，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)與全等的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
24．如圖，中，，，，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以C，D，P，Q四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為S
(1)填空：____________；
(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解；
（2）由題意易得，，然后根據(jù)題意可分①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C、D分別作，，垂足分別為H、F；進(jìn)而根據(jù)面積法可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴；
故答案為10；
（2）解：∵，，，
∴，
∵點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，
∴，，
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖所示：
由題意得：，，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C、D分別作，，垂足分別為H、F，如圖所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
綜上所述：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
25．問題背景：在中，三邊的長分別為，，，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這個(gè)問題時(shí)，先建立一個(gè)正方形的網(wǎng)格（每個(gè)網(wǎng)格的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示，這樣不需求的高，而借助網(wǎng)格就能直接計(jì)算出它的面積．
(1)請你將的面積直接填寫在橫線上： ．
(2)我們將上速求三角形的面積的方法叫構(gòu)圖法，若三邊長分別為，，．在圖2中畫出，并求出它的面積．
(3)如圖3，已知有一，分別以為邊向外作正方形、正方形，連接．若PQ=，PR=，，求六邊形的面積．
【答案】(1)3
(2)圖見解析，9.5
(3)圖見解析，19
【分析】（1）利用所在矩形面積減去周圍三角形面積，即可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形，利用所在矩形面積減去周圍三角形面積，即可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理畫出圖形，利用六邊形所在矩形面積減去周圍三角形面積，即可得答案．
【詳解】（1）解：，
的面積是3，
故答案為：3；
（2）如下圖，
，
的面積是9.5；
（3）如下圖，
，
六邊形的面積是19．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，矩形，三角形面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形．
性質(zhì)：直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半
給出上述性質(zhì)證明中的部分演繹推理的過程如下：
已知：如圖①，在中，，CD為斜邊AB上的中線．
求證：
證明：如圖②，延長CD至點(diǎn)E，使，連接AE，BE．

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