例題剖析
考點(diǎn)一 與數(shù)列綜合
【例1】 (2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）（多選）已知紅箱內(nèi)有6個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、6個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是紅球的概率為D．前3次取球恰有2次取到紅球的概率是
【一隅三反】
1． (2023·廣東·高三階段練習(xí)）足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.
(1)為了解喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?
(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；
（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．
2． (2023·四川綿陽·三模（文））隨著科技進(jìn)步，近來年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)2022年2月公布的近六年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）
(2)若用模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為，經(jīng)計(jì)算該模型和第（1）問中模型的（為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71，請(qǐng)分別用這兩個(gè)模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值；
(3)你認(rèn)為（2）中用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？請(qǐng)說明理由．
參考數(shù)據(jù)：設(shè)，其中．
參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
3． (2023·重慶·二模）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．
(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；
(3)證明：．
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，；
參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．
.
考點(diǎn)二 與函數(shù)結(jié)合
【例2】 (2023·西南名校模擬）某工廠為了提高某產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量引進(jìn)了一條年產(chǎn)量為100萬件的生產(chǎn)線.已知該產(chǎn)品的質(zhì)量以某項(xiàng)指標(biāo)值k為衡量標(biāo)準(zhǔn)，為估算其經(jīng)濟(jì)效益，該廠先進(jìn)行了試生產(chǎn)，并從中隨機(jī)抽取了100件該產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k，并分成以下5組，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：
試?yán)迷摌颖镜念l率分布估計(jì)總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）
（1）由頻率分布表可認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，記X表示某天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值k在區(qū)間之外的個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.001）；
（2）已知每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k與利潤y（單位：萬元）的關(guān)系如下表所示
假定該廠所生產(chǎn)的該產(chǎn)品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資？試說明理由.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，.
【一隅三反】
1．（2021高三上·威海期末）體檢時(shí)，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對(duì)其血液采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬?duì)于 份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式:一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn) 次.二是混合檢驗(yàn)，將 份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這 份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了﹔如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這 份血液究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則 份血液檢驗(yàn)的次數(shù)共為 次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為 ，而且各體檢人是否患該疾病相互獨(dú)立.
（1）若 ，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率;
（2）某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:
方案一:采用混合檢驗(yàn);
方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗(yàn).
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”?請(qǐng)說明理由.
2． (2023·臨沂模擬）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：
在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)集中在一條直線附近，其中
附：①可能用到的數(shù)據(jù)；．
②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為b=i=1nviωi?nvωi=1nvi2?nv2，a=ω?bv
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；
（2）按照文旅部門的指標(biāo)測定，當(dāng)購買數(shù)量y與套票價(jià)格x的比在區(qū)間上時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游套票中，購買不同的三款各自旅游．記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．
3． (2023·湖北模擬）象棋屬于二人對(duì)抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標(biāo)系 ，棋盤的左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，馬每一步從 移動(dòng)到 或 .
（1）若棋盤的右上角為 ，馬從 處出發(fā)，等概率地向各個(gè)能到達(dá)（不離開棋盤）的方向移動(dòng)，求其4步以內(nèi)到達(dá)右上角的概率.
（2）若棋盤的右上角為 ，馬從 處出發(fā)，每一步僅向 方向移動(dòng)，最終到達(dá)棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段 上次數(shù) 的數(shù)學(xué)期望.
考點(diǎn)三 與導(dǎo)數(shù)綜合
【例3】 (2023·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.
(1)若，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；
(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）
【一隅三反】
1． (2023·佛山模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．
（1）若，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望；
（2）若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場的概率為，求的最大值．
2． (2023·湖南模擬）中國國家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.
①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；
②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.
3． (2023·佛山模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．
（1）若，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望；
（2）若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場的概率為，求的最大值．
考點(diǎn)四 與其他知識(shí)綜合運(yùn)用
【例4】 (2023·重慶模擬）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國830個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅(jiān)史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅(jiān)的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對(duì)臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級(jí)，其中為一級(jí)果，為特級(jí)果，一級(jí)果與特級(jí)果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個(gè)測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
（1）由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個(gè)，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）
（2）這批采摘的臍橙按2個(gè)特級(jí)果和n（，且）個(gè)一級(jí)果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場．質(zhì)檢員質(zhì)檢時(shí)從每箱中隨機(jī)取出兩個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，若取到的兩個(gè)果實(shí)等級(jí)相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．
①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；
②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時(shí)n的值．
【一隅三反】
1． (2023·聯(lián)合模擬）在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“合1檢測法”，即將個(gè)人的樣本合并檢測，若為陰性，則該小組所有樣本均末感染病毒；若為陽性，則還需對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測.現(xiàn)有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1檢測法”，求共檢測25次的概率；
（2）設(shè)采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，采取“20合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當(dāng)為多少時(shí)，采取“20合1檢測法”更適宜？請(qǐng)說明理由.
2． (2023·邵陽模擬）某跳繩訓(xùn)練隊(duì)需對(duì)隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的跳繩達(dá)標(biāo)測試.已知隊(duì)員的測試分?jǐn)?shù)y與跳繩個(gè)數(shù)x滿足如下關(guān)系.測試規(guī)則：每位隊(duì)員最多進(jìn)行兩次測試，每次限時(shí)1分鐘，若第一次測完，測試成績達(dá)到60分及以上，則以此次測試成績作為該隊(duì)員的成績，無需再進(jìn)行后續(xù)的測試，最多進(jìn)行兩次，根據(jù)以往的訓(xùn)練效果，教練記錄了隊(duì)員甲在一分鐘內(nèi)時(shí)測試的成績，將數(shù)據(jù)按，，，分成4組，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）計(jì)算a值，并根據(jù)直方圖計(jì)算隊(duì)員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）
（2）將跳繩個(gè)數(shù)落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每次跳繩相互獨(dú)立，X表示隊(duì)員甲在達(dá)標(biāo)測試中的分?jǐn)?shù)，求X的分布列與期望.
3． (2023·洛陽模擬）一商場為了解某商品的銷售情況，對(duì)該商品30天的銷售量統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x（單位：件）分布在內(nèi)，其中（，且n為偶數(shù)）的銷售天數(shù)為；（，且n為奇數(shù)）的銷售天數(shù)為．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)一天銷售量不小于700時(shí)，則稱該日為銷售旺日，其余為銷售不景氣日．將銷售天數(shù)按照銷售量屬于，，分成3組，在銷售旺日的3組中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果這3天來自X個(gè)組，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．喜愛足球運(yùn)動(dòng)
不喜愛足球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計(jì)
80
120
200
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用車年銷售y（萬輛）
50
78
126
121
137
352
144
4.78
841
5.70
380
528
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
質(zhì)量指標(biāo)值
頻數(shù)
16
30
40
10
4
質(zhì)量指標(biāo)值k
利潤y
t
旅游類別
城市展館科技游
鄉(xiāng)村特色游
齊魯紅色游
登山套票
游園套票
觀海套票
套票價(jià)格x（元）
39
49
58
67
77
86
購買數(shù)量y（萬人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
8.6 分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精講）（提升版）
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 與數(shù)列綜合
【例1】 (2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）（多選）已知紅箱內(nèi)有6個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、6個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是紅球的概率為D．前3次取球恰有2次取到紅球的概率是
【答案】AC
【解析】依題意，
設(shè)第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，
對(duì)于第次，取出紅球有兩種情況．
①從紅箱取出的概率為，②從白箱取出的概率為，
對(duì)應(yīng)，即，故B錯(cuò)誤；
所以，
令，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，因?yàn)椋裕?br>故，所以，故選項(xiàng)A，C正確；
第1次取出球是紅球的概率為，第2次取出球是紅球的概率為，
第3次取出球是紅球的概率為，
前3次取球恰有2次取到紅球的概率是，
故D錯(cuò)誤；故選：AC．
【一隅三反】
1． (2023·廣東·高三階段練習(xí)）足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.
(1)為了解喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?
(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；
（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。?br>【答案】(1)喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)
(2)（i）；（ii）證明見解析，甲的概率大
【解析】（1）假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別獨(dú)立，即喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001．
（2）
（i）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個(gè)，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．
（ii）第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，
第次觸球者不是甲的概率為，
則，
從而，
又，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．
則，
∴，，
，故第19次觸球者是甲的概率大
2． (2023·四川綿陽·三模（文））隨著科技進(jìn)步，近來年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)2022年2月公布的近六年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）
(2)若用模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為，經(jīng)計(jì)算該模型和第（1）問中模型的（為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71，請(qǐng)分別用這兩個(gè)模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值；
(3)你認(rèn)為（2）中用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？請(qǐng)說明理由．
參考數(shù)據(jù)：設(shè)，其中．
參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)越大，模型的擬合效果越好，用模型得到的預(yù)測值更可靠
【解析】(1)

關(guān)于的線性回歸方程為 .
(2)若利用線性回歸模型,可得2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值為（萬輛）
若利用模型,可得2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值為 （萬輛）
(3)
,且越大,反映殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,
用模型得到的預(yù)測值更可靠.
3． (2023·重慶·二模）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．
(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；
(3)證明：．
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，；
參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(2)回歸方程為，預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為465
(3)證明見解析
【解析】(1)由題知，的取值可能為1，2，3所以；
；；
所以的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望為.
(2)令，則，由題知：，，
所以，
所以，，
故所求的回歸方程為：，
所以，估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；
預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為.
(3)
由題知，在前輪就成功的概率為
又因?yàn)樵谇拜啗]有成功的概率為
，
故.
考點(diǎn)二 與函數(shù)結(jié)合
【例2】 (2023·西南名校模擬）某工廠為了提高某產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量引進(jìn)了一條年產(chǎn)量為100萬件的生產(chǎn)線.已知該產(chǎn)品的質(zhì)量以某項(xiàng)指標(biāo)值k為衡量標(biāo)準(zhǔn)，為估算其經(jīng)濟(jì)效益，該廠先進(jìn)行了試生產(chǎn)，并從中隨機(jī)抽取了100件該產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k，并分成以下5組，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：
試?yán)迷摌颖镜念l率分布估計(jì)總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）
（1）由頻率分布表可認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，記X表示某天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值k在區(qū)間之外的個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.001）；
（2）已知每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k與利潤y（單位：萬元）的關(guān)系如下表所示
假定該廠所生產(chǎn)的該產(chǎn)品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資？試說明理由.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，.
【答案】見解析
【解析】（1）由題意知，樣本的平均數(shù)為，
所以，
.
所以質(zhì)量指標(biāo)k在區(qū)間之外的概率為.
因?yàn)椋?br>則，
所以.
（2）由題意知，每件產(chǎn)品的平均利潤為，，
易知函數(shù)的對(duì)稱軸為，且二次函數(shù)開口向下，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且
因?yàn)樵撋a(chǎn)線的年產(chǎn)量為100萬個(gè)，
所以該生產(chǎn)線的年盈利的最大值為萬元，因?yàn)?45500，
所以該廠能在一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資.
【一隅三反】
1．（2021高三上·威海期末）體檢時(shí)，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對(duì)其血液采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬?duì)于 份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式:一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn) 次.二是混合檢驗(yàn)，將 份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這 份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了﹔如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這 份血液究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則 份血液檢驗(yàn)的次數(shù)共為 次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為 ，而且各體檢人是否患該疾病相互獨(dú)立.
（1）若 ，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率;
（2）某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:
方案一:采用混合檢驗(yàn);
方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗(yàn).
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”?請(qǐng)說明理由.
【答案】見解析
【解析】（1）解：該混合樣本陰性的概率是 ，
根據(jù)對(duì)立事件可得，陽性的概率為
（2）解：方案一:混在一起檢驗(yàn)，方案一的檢驗(yàn)次數(shù)記為 ，則 的可能取值為
，其分布列為:
則 ，
方案二:由題意分析可知，每組3份樣本混合檢驗(yàn)時(shí)，若陰性則檢測次數(shù)為1，概率為 ，若陽性，則檢測次數(shù),4，概率為 ，
方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為 ，則 的可能取值為 ，
;
其分布列為:
則 ，
，
當(dāng) 或 時(shí)，可得 ，所以方案一更“優(yōu)”
當(dāng) 或 時(shí)，可得 ，所以方案一、二一樣“優(yōu)”
當(dāng) 時(shí)，可得 ，所以方案二更“優(yōu)”.
2． (2023·臨沂模擬）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：
在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)集中在一條直線附近，其中
附：①可能用到的數(shù)據(jù)；．
②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為b=i=1nviωi?nvωi=1nvi2?nv2，a=ω?bv
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；
（2）按照文旅部門的指標(biāo)測定，當(dāng)購買數(shù)量y與套票價(jià)格x的比在區(qū)間上時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游套票中，購買不同的三款各自旅游．記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．
【答案】見解析
【解析】（1）解：散點(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為ω=bv+a
由v=16i=16vi=4.1，ω=16i=16ωi=3.05，則b=i=1nviωi?nvωi=1nvi2?nv2=75.3?6×4.1×3.05101.4?6×4.12=12a=ω?bv=3.05?12×4.1=1
變量關(guān)于的回歸方程為
綜上，y關(guān)于x的回歸方程為
（2）解：由，解得，
鄉(xiāng)村特色游，齊魯紅色游，登山套票，游園套票為“熱門套票”
則三人中購買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，的可能取值為
的分布列為：
3． (2023·湖北模擬）象棋屬于二人對(duì)抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標(biāo)系 ，棋盤的左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，馬每一步從 移動(dòng)到 或 .
（1）若棋盤的右上角為 ，馬從 處出發(fā)，等概率地向各個(gè)能到達(dá)（不離開棋盤）的方向移動(dòng)，求其4步以內(nèi)到達(dá)右上角的概率.
（2）若棋盤的右上角為 ，馬從 處出發(fā)，每一步僅向 方向移動(dòng)，最終到達(dá)棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段 上次數(shù) 的數(shù)學(xué)期望.
【答案】見解析
【解析】（1）解：從 出發(fā)4步以內(nèi)到達(dá) 且不出棋盤的走法共有8種，其中 種為：
另外4種與以上4種關(guān)于直線 對(duì)稱.
對(duì)于以上4種，記第 種路線的概率為 ，則：
， ，
， .
因此總概率為 .
（2）解：設(shè)馬有 步從 走到 ， 步走到 .
則 ，解得 .
即馬共走了 步，總路徑數(shù)為
路徑上經(jīng)過的點(diǎn)可能在線段上的有 ，共5個(gè).
因此 .
因此 ， ，
， ，
.
所以馬停留在線段 上次數(shù) 的分布列為：
因此 的數(shù)學(xué)期望 .
考點(diǎn)三 與導(dǎo)數(shù)綜合
【例3】 (2023·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.
(1)若，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；
(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由見解析.
【解析】（1）設(shè)游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去X局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然乙贏.
由題知，當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，
當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，
當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，
當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，
所以乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率為，
所以乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金為（元）.
（2）設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然甲贏.
由題知，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，
當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，
甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，
所以，
所以，
，，
在上單調(diào)遞減，所以，
故事件A是小概率事件.
【一隅三反】
1． (2023·佛山模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．
（1）若，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望；
（2）若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場的概率為，求的最大值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3，
則，，，
隨機(jī)變量X的分布列如下：
則
（2）解：甲隊(duì)只勝一場的概率為，
則．
故當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞增；
則
2． (2023·湖南模擬）中國國家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.
①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；
②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.
【答案】見解析
【解析】（1）解：由題意，估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件的平均數(shù)為：
，即，
樣本方差，故，所以，
則優(yōu)等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，
一等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，
所以正品為質(zhì)量差在和內(nèi)，即，
所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：.
（2）解：①從件正品中任選兩個(gè)，有種選法，其中等級(jí)相同有種選法，
∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為：.
②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為
，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
此時(shí)，解得：，
∴時(shí)，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為.
3． (2023·佛山模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．
（1）若，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望；
（2）若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場的概率為，求的最大值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3，
則，，，
隨機(jī)變量X的分布列如下：
則
（2）解：甲隊(duì)只勝一場的概率為，
則．
故當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞增；
則
考點(diǎn)四 與其他知識(shí)綜合運(yùn)用
【例4】 (2023·重慶模擬）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國830個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅(jiān)史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅(jiān)的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對(duì)臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級(jí)，其中為一級(jí)果，為特級(jí)果，一級(jí)果與特級(jí)果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個(gè)測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
（1）由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個(gè)，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）
（2）這批采摘的臍橙按2個(gè)特級(jí)果和n（，且）個(gè)一級(jí)果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場．質(zhì)檢員質(zhì)檢時(shí)從每箱中隨機(jī)取出兩個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，若取到的兩個(gè)果實(shí)等級(jí)相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．
①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；
②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時(shí)n的值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：由分布圖：
則，在內(nèi)為優(yōu)品
則
（2）解：①
②，且，
因?yàn)椋?，由?duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴最大值在時(shí)取得，可求得或，因?yàn)椋裕?br>求得
【一隅三反】
1． (2023·聯(lián)合模擬）在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“合1檢測法”，即將個(gè)人的樣本合并檢測，若為陰性，則該小組所有樣本均末感染病毒；若為陽性，則還需對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測.現(xiàn)有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1檢測法”，求共檢測25次的概率；
（2）設(shè)采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，采取“20合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當(dāng)為多少時(shí)，采取“20合1檢測法”更適宜？請(qǐng)說明理由.
【答案】見解析
【解析】（1）解：對(duì)100個(gè)人采取“20合1檢測法”需平均分為5組，先檢測5次，
因?yàn)楣矙z測25次，即2個(gè)感染者分在同一組；
只需考慮其中某位感染者所在的小組，
原題等價(jià)于：從99人中任選19人與他組成一組，
求選到的19人中有另一位感染者的概率，此概率為；
（2）解：若2個(gè)感染者分在同一組，則
，，
，，
若2個(gè)感染者分在不同小組，則
，，
，，
，，
令，
則，
即，
拋物線的對(duì)稱軸為，
取得，取得，故，
綜上，當(dāng)時(shí)，采取“20合1檢測法”更適宜.
2． (2023·邵陽模擬）某跳繩訓(xùn)練隊(duì)需對(duì)隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的跳繩達(dá)標(biāo)測試.已知隊(duì)員的測試分?jǐn)?shù)y與跳繩個(gè)數(shù)x滿足如下關(guān)系.測試規(guī)則：每位隊(duì)員最多進(jìn)行兩次測試，每次限時(shí)1分鐘，若第一次測完，測試成績達(dá)到60分及以上，則以此次測試成績作為該隊(duì)員的成績，無需再進(jìn)行后續(xù)的測試，最多進(jìn)行兩次，根據(jù)以往的訓(xùn)練效果，教練記錄了隊(duì)員甲在一分鐘內(nèi)時(shí)測試的成績，將數(shù)據(jù)按，，，分成4組，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）計(jì)算a值，并根據(jù)直方圖計(jì)算隊(duì)員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）
（2）將跳繩個(gè)數(shù)落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每次跳繩相互獨(dú)立，X表示隊(duì)員甲在達(dá)標(biāo)測試中的分?jǐn)?shù)，求X的分布列與期望.
【答案】見解析
【解析】（1）解：由題可得，
所以.
隊(duì)員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的平均值為.
（2）解：X可能的取值為0，50，80，100.
，，
，
X的分布列為
3． (2023·洛陽模擬）一商場為了解某商品的銷售情況，對(duì)該商品30天的銷售量統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x（單位：件）分布在內(nèi)，其中（，且n為偶數(shù)）的銷售天數(shù)為；（，且n為奇數(shù)）的銷售天數(shù)為．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)一天銷售量不小于700時(shí)，則稱該日為銷售旺日，其余為銷售不景氣日．將銷售天數(shù)按照銷售量屬于，，分成3組，在銷售旺日的3組中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果這3天來自X個(gè)組，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】見解析
【解析】（1）解：因?yàn)槊刻斓匿N售量x（單位：件）分布在內(nèi)，
其中（，且n為偶數(shù)）的銷售天數(shù)為；
（，且n為奇數(shù)）的銷售天數(shù)為．
所以當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，
當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，
當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，
當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，
當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，
所以
解得
（2）解：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，當(dāng)時(shí)的銷售天數(shù)為，
若在銷售旺日的3組中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，
則這8天中有2天的銷售量屬于，有3天的銷售量屬于，有3天的銷售量屬于，
所以的取值為1，2，3，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
喜愛足球運(yùn)動(dòng)
不喜愛足球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計(jì)
80
120
200
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用車年銷售y（萬輛）
50
78
126
121
137
352
144
4.78
841
5.70
380
528
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
1
2
3
質(zhì)量指標(biāo)值
頻數(shù)
16
30
40
10
4
質(zhì)量指標(biāo)值k
利潤y
t
1
7
2
5
8
旅游類別
城市展館科技游
鄉(xiāng)村特色游
齊魯紅色游
登山套票
游園套票
觀海套票
套票價(jià)格x（元）
39
49
58
67
77
86
購買數(shù)量y（萬人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
1
2
3
P
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
60
80
100
P
0.01
0.22
0.44
0.33
1
2
3

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