3.三角形的面積公式設△ABC的三邊為a,b,c,所對的三個內角分別為A,B,C,其面積為S,△ABC 的外接圓半徑為R,內切圓半徑為r.1)S=?ah(h為BC邊上的高);2)S=?absin C=?acsin B=?bcsin A;3)S=2R2sin Asin Bsin C;
考法一　利用正弦、余弦定理解三角形1.已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=π及?=?=?,求出角C、b、c.2.已知兩邊b、c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bc·cs A,先求出a,再由正弦定理 求出角B、C.3.已知三邊a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知兩邊a、b及其中一邊a的對角A,由?=?可求出另一邊b的對角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由?=?可求出c,而通過?=?求B時,可能有一解、兩解或無解.
例1 (2021浙江,14,6分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點,AM=2?,則AC=　　　????,cs∠MAC=　　　????.
考法二　三角形形狀的判斷要判斷三角形的形狀,應圍繞三角形的邊角關系進行思考.依據(jù)已知條件 中的邊角關系判斷時,主要有以下兩種途徑:1)化角為邊:利用正、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系,通過因 式分解、配方等得出邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀.2)化邊為角:利用正、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數(shù) 間的關系,通過三角恒等變換得出內角的關系,從而判斷出三角形的形狀, 此時要注意應用“△ABC中,A+B+C=π”.
【提醒】 在兩種途徑的等式變形中,一般兩邊的公因式不要約掉,要移項 提取公因式,以免漏解.
例2 在△ABC中,a,b,c分別表示三個內角A,B,C的對邊,如果(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B),則△ABC的形狀為?(　????)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
解析 解法一:已知等式可化為a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A -B)],∴2a2cs Asin B=2b2cs Bsin A.由正弦定理得sin2Acs Asin B=sin2Bcs Bsin A,∴sin Asin B(sin Acs A-sin Bcs B)=0.∵A,B均為△ABC的內角,∴sin A≠0,sin B≠0,∴sin 2A-sin 2B=0,即sin 2A =sin 2B.由A,B∈(0,π)得0

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