專題7.1   數(shù)列的概念與簡單表示1．（2021·全國高二課時練習）已知數(shù)列{an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an=an-1+an-2(n>2)給出，則該數(shù)列的第5項等于（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】利用an=an-1+an-2(n>2)逐項求解即可求得答案.【詳解】解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.答案：C.2．（2021·全國高二課時練習）下列說法錯誤的是（    ）A．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B．an=an-1，a1=1(n≥2)是遞推公式C．給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項公式法D．an=2an-1，a1=2(n≥2)是遞推公式【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)列的概念及遞推公式的概念逐項排除答案，得出結論.【詳解】根據(jù)遞推公式和數(shù)列的第一項，我們也可以確定數(shù)列，故A正確；an=an-1(n≥2)與an=2an-1(n≥2)，這兩個關系式雖然比較特殊，但都表示的是數(shù)列中的任意項與它的前后項間的關系，且都已知a1，所以都是遞推公式.故B,D正確；通過圖象、列表、通項公式我們可以確定一個數(shù)列，但是還可以有其他形式，比如列舉法，故C錯誤；故選：C.3．（2019·綏德中學高二月考）數(shù)列的通項公式，其前項和為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性可，同理得，可知周期為4，．4．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學高三其他模擬）在數(shù)列中，，，設其前n項和為，則下列命題正確的是（    ）A． B．C． D．若，則【答案】D【解析】依題意可得，設，即可判斷A，利用特殊值法判斷B、C，由，可得遞增，根據(jù)即可證明D；【詳解】解：由得，設，則，故A錯．取，知B錯，時，數(shù)列不滿足，知C錯．對于D，由，知遞增，所以，知D正確；故選：D5．（2021·四川省綿陽南山中學高一期中）數(shù)列的首項，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項，再找出數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因為，且，所以，，，，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以故選：A6．（2021·河南高二三模（理））分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學領域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（    ）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，由題意可得，根據(jù)初始值，由此遞推，不難得出所求.【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈2個黑圈，∴，又∵;;;;;,故選：A.7．（2021·河南高三其他模擬（文））數(shù)列滿足遞推公式，且，，則（    ）A．1010 B．2020 C．3030 D．4040【答案】B【解析】已知條件可化為左右兩端同乘以有，即，，…，，通過累加求和，計算即可求得結果.【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，…，，將以上式子累加得．由得．令，有．故選：B.8.（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，，，若存在正整數(shù)，使得，則（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，則有，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，得，同理有，又因為，故，所以.故選D.9.（2021·云南曲靖一中高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，，，，則______．【答案】4【解析】歸納出數(shù)列的周期，求出一個周期的和，即得解.【詳解】由題得，，，,,,所以數(shù)列的周期為6，，，所以.故答案為：410.（山東省單縣第五中學月考）數(shù)列的通項，試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由.【答案】最大項為【解析】設是該數(shù)列的最大項，則∴解得∵，∴，∴最大項為1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））數(shù)列滿足，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知條件計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項求和法求出結果，注意的情況進行分類討論.【詳解】，取，相減，，則推出當時，原式 故選：A2．（2020·四川涼山·期末（文））德國數(shù)學家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當時，，則數(shù)列中必存在值為1的項．若，則的值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為，，所以，，，，，故選：B3.（2021·遼寧高二月考）設函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過計算即可得出結果.【詳解】因為，，所以，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.4．（2021·全國高三其他模擬（理））大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其部分項如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此規(guī)律得到以下結論正確的是（    ）A． B．C．當為偶數(shù)時， D．當為奇數(shù)時，【答案】B【解析】直接利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式，代入數(shù)列的具體值即可判斷出各個選項．【詳解】解：其部分項如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則數(shù)列的通項公式為：，所以，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，．故選：B．5．（2020·四川高一期末（理））已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和.若對任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由和與通項的關系先求出，進而求出，，再用裂項相消求出即可獲解.【詳解】設數(shù)列的前項和為，由題意得， 當時，，即當時，所以，當時，，也滿足，所以故故，所以實數(shù)的取值范圍為
故選：A. 6．（2021·四川成都市·樹德中學高三其他模擬（理））已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿足，前項和為滿足；數(shù)列滿足：，且對任意的?都有：，則數(shù)列的第47項的值為（    ）A．384 B．47 C．49 D．376【答案】A【解析】根據(jù)，分別取不同的n值，求得，并根據(jù)，求得；取得，，從而利用累加法求得，從而求得結果.【詳解】時，，解得，時，，得，時，，得，從而有，，時，，得，時，，得，則，，又，故，取得，，則故，則，故數(shù)列的第47項為故選：A7．【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項和，，下列命題正確的是（    ）A． B．數(shù)列是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】選項A. 設,求出其導函數(shù)得出其單調(diào)性，可得，，設，求出其導函數(shù)，得出其單調(diào)性，可得，從而可判斷A；選項B. 設,求出其導數(shù)，借助于選項A中構造的函數(shù)結論，可得其單調(diào)性，從而可判斷; 選項C. 由可判斷；選項：由選項B數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，由選項A中得到的結論可得，從而可判斷.【詳解】由題意，則設，則所以在上的單調(diào)遞減，所以，即當時，可得，即設，所以在上的單調(diào)遞增，所以 取，可得，即所以，所以選項A正確.設，則由上在上恒成立，則 所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項B正確.由，所以，所以選項C不正確.由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以 由上，則，所以所以，故選項D正確.故選： ABD8．【多選題】（2021·福建省福州第一中學高三其他模擬）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.它來源于斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長為斐波那契數(shù)的正方形所對應扇形面積記為，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可判斷選項A，再根據(jù)累加法計算判斷選項B，根據(jù)扇形的面積公式判斷選項C，再次應用累加法及遞推公式判斷選項D.【詳解】由遞推公式，可得，，所以，A選項正確；又由遞推公式可得，，，類似的有，累加得，故錯誤，B選項錯誤；由題可知扇形面積，故，故錯誤，C選項錯誤；由，，，，類似的有，累加得，又，所以，所以正確，D選項正確；故選：AD.9．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得當時與已知條件兩式相減，即可得，再檢驗是否滿足即可.（2）由等差數(shù)列前項和公式求出，由不等式分離出，轉(zhuǎn)化為最值問題，再利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】（1）因為，所以兩式相減可得：所以，當時，滿足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，當且僅當即時等號成立，此時，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項公式是，，中的一個，設數(shù)列的前項和為，的前項和為，若，求的取值范圍．【答案】（1），（2），且是正整數(shù)【解析】（1）∵，∴∴（2）由數(shù)列的通項公式是，，中的一個，和得數(shù)列的通項公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整數(shù)，∴所求的取值范圍為，且是正整數(shù)1．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．2.（2019·浙江高考真題）設，數(shù)列中，， ,則（  ）A．當 B．當C．當 D．當【答案】A【解析】對于B，令0，得λ，取，∴，∴當b時，a10＜10，故B錯誤；對于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴當b＝﹣2時，a10＜10，故C錯誤；對于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，10，∴當b＝﹣4時，a10＜10，故D錯誤；對于A，，，，an+1﹣an＞0，{an}遞增，當n≥4時，an1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正確．故選：A．3．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標全國I理科）幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（     ）A．440    B．330C．220    D．110【答案】A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設，所以，則，此時，所以對應滿足條件的最小整數(shù)，故選A.4．（2020·全國高考真題（理））0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C5．（2020·全國高考真題（文））數(shù)列滿足，前16項和為540，則 ______________.【答案】【解析】分析：對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結論.詳解：，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.設數(shù)列的前項和為，，.故答案為：.6.（2021·全國高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設中的遞推關系可得，從而可求的通項.（2）根據(jù)題設中的遞推關系可得的前項和為可化為，利用（1）的結果可求.【詳解】（1）由題設可得又，， 故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）設的前項和為，則，因為，所以. 

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