?2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．（3分）8的相反數(shù)是（　?。?br /> A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8
2．（3分）2021年2月25日，習(xí)近平總書記莊嚴(yán)宣告，我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利．現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)下，98990000農(nóng)村貧困人口全部脫貧．?dāng)?shù)98990000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．98.99×106 B．9.899×107
C．9899×104 D．0.09899×108
3．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．（3分）下列運(yùn)算結(jié)果為a6的是（　　）
A．a(chǎn)2?a3 B．a(chǎn)12÷a2 C．（a3）2 D．（a3）2
5．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3
6．（3分）為了向建黨一百周年獻(xiàn)禮，我市中小學(xué)生開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽．某參賽小組6名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：85，82，86，82，83，92．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（　?。?br /> A．眾數(shù)是82 B．中位數(shù)是84 C．方差是84 D．平均數(shù)是85
7．（3分）如圖是由6個相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
8．（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為37°，大廳兩層之間的距離BC為6米，則自動扶梯AB的長約為（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　?。?br />
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
9．（3分）下列命題是真命題的是（　?。?br /> A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和
B．正六邊形的每一個內(nèi)角為120°
C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形
D．對角線相等的四邊形是矩形
10．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
11．（3分）下列說法正確的是（　?。?br /> A．為了解我國中學(xué)生課外閱讀情況，應(yīng)采取全面調(diào)查方式
B．某彩票的中獎機(jī)會是1%，買100張一定會中獎
C．從裝有3個紅球和4個黑球的袋子里摸出1個球是紅球的概率是
D．某校有3200名學(xué)生，為了解學(xué)生最喜歡的課外體育運(yùn)動項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，其中有85名學(xué)生表示最喜歡的項(xiàng)目是跳繩，估計(jì)該校最喜歡的課外體育運(yùn)動項(xiàng)目為跳繩的有1360人
12．（3分）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)M、N分別在矩形的邊AD、BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM．下列結(jié)論：①四邊形CMPN是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，MN＝5；③△PQM的面積S的取值范圍是4≤S≤5．其中所有正確結(jié)論的序號是（　?。?br />
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
13．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是 　 ?。?br /> 14．（3分）計(jì)算：＝　 ?。?br /> 15．（3分）因式分解：3a2﹣9ab＝　 ?。?br /> 16．（3分）底面半徑為3，母線長為4的圓錐的側(cè)面積為 　 　．（結(jié)果保留π）
17．（3分）“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹木6000棵．由于志愿者的加入，實(shí)際每天植樹的棵樹比原計(jì)劃增加了25%，結(jié)果提前3天完成任務(wù)．則實(shí)際每天植樹 　 　棵．
18．（3分）如圖1，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P、Q兩點(diǎn)同時從O點(diǎn)出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運(yùn)動．點(diǎn)P的運(yùn)動路線為O﹣A﹣D﹣O，點(diǎn)Q的運(yùn)動路線為O﹣C﹣B﹣O．設(shè)運(yùn)動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在A﹣D段上運(yùn)動且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動路程之和為 　 　厘米．

三、解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或鹽酸步驟.）
19．（6分）計(jì)算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
20．（6分）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求證：△ABC≌△DEF．

21．（8分）“垃圾分類工作就是新時尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價(jià)值，2020年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某學(xué)習(xí)研究小組在對我市垃圾分類實(shí)施情況的調(diào)查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．
（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是 　 　度；
（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)總價(jià)值約為0.2萬元．若我市某天生活垃圾清運(yùn)總量為500噸，請估計(jì)該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是多少萬元？
（3）為了調(diào)查學(xué)生對垃圾分類知識的了解情況，某校開展了相關(guān)知識競賽，要求每班派2名學(xué)生參賽．甲班經(jīng)選拔后，決定從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加比賽，求所抽取的學(xué)生中恰好一男一女的概率．

22．（8分）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長線交BE于H點(diǎn)．
（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的長．

23．（8分）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計(jì)）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為xcm，單層部分的長度為ycm．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．
雙層部分長度x（cm）
2
8
14
20
單層部分長度y（cm）
148
136
124
112
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長度調(diào)為130cm時為最佳背帶長．請計(jì)算此時雙層部分的長度；
（3）設(shè)背帶長度為Lcm，求L的取值范圍．

24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長線上，且∠CDA＝∠B．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的長．

25．（10分）如圖，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），B（6，0），動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動，速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時點(diǎn)P、Q同時停止運(yùn)動．過點(diǎn)Q作MN∥OB分別交AO、AB于點(diǎn)M、N，連接PM、PN．設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；
（2）求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；
（3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線l的解析式；如果不存在，請說明理由；
（4）連接AP，當(dāng)∠OAP＝∠BPN時，求點(diǎn)N到OA的距離．

26．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點(diǎn)”．
（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；
（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時．
①求c的取值范圍；
②求∠EMN的度數(shù)；
（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點(diǎn)，連接BP，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰Rt△BPC，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．（3分）8的相反數(shù)是（　?。?br /> A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8
【解答】解：相反數(shù)指的是只有符號不同的兩個數(shù)，因此8的相反數(shù)是﹣8．
故選：A．
2．（3分）2021年2月25日，習(xí)近平總書記莊嚴(yán)宣告，我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利．現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)下，98990000農(nóng)村貧困人口全部脫貧．?dāng)?shù)98990000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．98.99×106 B．9.899×107
C．9899×104 D．0.09899×108
【解答】解：98990000＝9.899×107，
故選：B．
3．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
4．（3分）下列運(yùn)算結(jié)果為a6的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2?a3 B．a(chǎn)12÷a2 C．（a3）2 D．（a3）2
【解答】解：A．a(chǎn)2?a3＝a5,故此選項(xiàng)不合題意；
B．a(chǎn)12÷a2＝a10,故此選項(xiàng)不合題意；
C．（a3）2＝a6,故此選項(xiàng)符合題意；
D．（a3）2＝a6,故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
5．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3
【解答】解：16的算術(shù)平方根為4，即，故A不符合題意；
根據(jù)公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合題意；
、無法運(yùn)用加法運(yùn)算化簡，故，故C不符合題意；
，故D不符合題意；
故選：B．
6．（3分）為了向建黨一百周年獻(xiàn)禮，我市中小學(xué)生開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽．某參賽小組6名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：85，82，86，82，83，92．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（　　）
A．眾數(shù)是82 B．中位數(shù)是84 C．方差是84 D．平均數(shù)是85
【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為82，82，83，85，86，92，
A、數(shù)據(jù)的眾數(shù)為82，此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝84，此選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝85，
所以方差為×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此選項(xiàng)錯誤，符合題意；
D、由C選項(xiàng)知此選項(xiàng)正確；
故選：C．
7．（3分）如圖是由6個相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：這個組合體的三視圖如下：

故選：A．
8．（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為37°，大廳兩層之間的距離BC為6米，則自動扶梯AB的長約為（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　?。?br />
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10（米），
故選：D．
9．（3分）下列命題是真命題的是（　?。?br /> A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和
B．正六邊形的每一個內(nèi)角為120°
C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形
D．對角線相等的四邊形是矩形
【解答】解：A．每個多邊形的外角和都是360°，故錯誤，假命題；
B．正六邊形的內(nèi)角和是720°，每個內(nèi)角是120°，故正確，真命題；
C．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故錯誤，假命題；
D．對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤，假命題．
故選：B．
10．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,
解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，
∴不等式組的解集為：﹣3≤x＜﹣1,在數(shù)軸上表示為：

故選：A．
11．（3分）下列說法正確的是（　　）
A．為了解我國中學(xué)生課外閱讀情況，應(yīng)采取全面調(diào)查方式
B．某彩票的中獎機(jī)會是1%，買100張一定會中獎
C．從裝有3個紅球和4個黑球的袋子里摸出1個球是紅球的概率是
D．某校有3200名學(xué)生，為了解學(xué)生最喜歡的課外體育運(yùn)動項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，其中有85名學(xué)生表示最喜歡的項(xiàng)目是跳繩，估計(jì)該校最喜歡的課外體育運(yùn)動項(xiàng)目為跳繩的有1360人
【解答】解：全國中學(xué)生人數(shù)很大，應(yīng)采用抽樣調(diào)查方式，
∴A選項(xiàng)錯誤，
彩票的中獎機(jī)會是1%說的是可能性，和買的數(shù)量無關(guān)，
∴B選項(xiàng)錯誤，
根據(jù)概率的計(jì)算公式，C選項(xiàng)中摸出紅球的概率為，
∴C選項(xiàng)錯誤，
200名學(xué)生中有85名學(xué)生喜歡跳繩，
∴跳繩的占比為，
∴3200×42.5＝1360(人)，
∴D選項(xiàng)正確，
故選：D．
12．（3分）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)M、N分別在矩形的邊AD、BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM．下列結(jié)論：①四邊形CMPN是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，MN＝5；③△PQM的面積S的取值范圍是4≤S≤5．其中所有正確結(jié)論的序號是（　?。?br />
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵M(jìn)P∥CN，
∴四邊形CNPM是平行四邊形，
∵CN＝NP，
∴四邊形CNPM是菱形，
故①正確；
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時，設(shè)BN＝x，則AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝(8﹣x)2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正確；
由題知，當(dāng)MN過點(diǎn)D時，CN最短，如圖2，四邊形CMPN的面積最小，
此時S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時，CN最長，如圖1，四邊形CMPN的面積最大，
此時S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5正確，
故選：C．


二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
13．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是 　x≥3?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案為：x≥3．
14．（3分）計(jì)算：＝　1?。?br /> 【解答】解：原式＝＝1．
故答案為：1．
15．（3分）因式分解：3a2﹣9ab＝　3a（a﹣3b）?。?br /> 【解答】解：3a2﹣9ab
＝3a（a﹣3b），
故答案為：3a（a﹣3b）．
16．（3分）底面半徑為3，母線長為4的圓錐的側(cè)面積為 　12π?。ńY(jié)果保留π）
【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×3×4÷2＝12π．
故答案為：12π．
17．（3分）“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹木6000棵．由于志愿者的加入，實(shí)際每天植樹的棵樹比原計(jì)劃增加了25%，結(jié)果提前3天完成任務(wù)．則實(shí)際每天植樹 　500　棵．
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵，則實(shí)際每天植樹（1+25%）x棵，
依題意得：﹣＝3，
解得：x＝400，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝400是原方程的解，且符合題意，
∴（1+25%）x＝500．
故答案為：500．
18．（3分）如圖1，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P、Q兩點(diǎn)同時從O點(diǎn)出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運(yùn)動．點(diǎn)P的運(yùn)動路線為O﹣A﹣D﹣O，點(diǎn)Q的運(yùn)動路線為O﹣C﹣B﹣O．設(shè)運(yùn)動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在A﹣D段上運(yùn)動且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動路程之和為 　(2+3)　厘米．

【解答】解：由圖分析易知：當(dāng)點(diǎn)P從O→A運(yùn)動時，點(diǎn)Q從O→C運(yùn)動時，y不斷增大，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到A點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動到C點(diǎn)時，由圖象知此時y＝PQ＝2cm，
∴AC＝2cm，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到D點(diǎn)，Q運(yùn)動到B點(diǎn)，結(jié)合圖象，易知此時，y＝BD＝2cm，
∴OD＝OB＝BD＝1cm，
在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在A﹣D段上運(yùn)動，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E處，點(diǎn)Q在C﹣B段上運(yùn)動，點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)F處時，P、Q兩點(diǎn)的最短，

此時，OE＝OF＝＝，
AE＝AF＝＝＝,
∴當(dāng)點(diǎn)P在A﹣D段上運(yùn)動且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動路程之和為：
（cm）
故答案為：(2+3)．
三、解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或鹽酸步驟.）
19．（6分）計(jì)算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)
＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy
＝3x2．
20．（6分）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求證：△ABC≌△DEF．

【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠CAB＝∠FDE(兩直線平行，同位角相等),
又∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED(兩直線平行，同位角相等),
在△ABC和△DEF中，
,
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
21．（8分）“垃圾分類工作就是新時尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價(jià)值，2020年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某學(xué)習(xí)研究小組在對我市垃圾分類實(shí)施情況的調(diào)查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．
（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是 　64.8　度；
（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)總價(jià)值約為0.2萬元．若我市某天生活垃圾清運(yùn)總量為500噸，請估計(jì)該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是多少萬元？
（3）為了調(diào)查學(xué)生對垃圾分類知識的了解情況，某校開展了相關(guān)知識競賽，要求每班派2名學(xué)生參賽．甲班經(jīng)選拔后，決定從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加比賽，求所抽取的學(xué)生中恰好一男一女的概率．

【解答】解：（1）由題意可知，其他垃圾所占的百分比為：1﹣20%﹣7%﹣55%＝18%，
∴其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是：360°×18%＝64.8°，
故答案為：64.8；
（2）500×20%＝100（噸），
100×0.2＝20（萬元），
答：該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是20萬元；
（3）由題意可列樹狀圖：

∴P（一男一女）＝＝．
22．（8分）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長線交BE于H點(diǎn)．
（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的長．

【解答】解：（1）四邊形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四邊形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四邊形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）設(shè)AE＝x．則由（1）以及題意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
23．（8分）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計(jì)）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為xcm，單層部分的長度為ycm．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．
雙層部分長度x（cm）
2
8
14
20
單層部分長度y（cm）
148
136
124
112
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長度調(diào)為130cm時為最佳背帶長．請計(jì)算此時雙層部分的長度；
（3）設(shè)背帶長度為Lcm，求L的取值范圍．

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
由題知，
解得，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+152；
（2）根據(jù)題意知，
解得，
∴雙層部分的長度為22cm；
（3）由題知，當(dāng)x＝0時，y＝152，
當(dāng)y＝0時，x＝76，
∴76≤L≤152．
24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長線上，且∠CDA＝∠B．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的長．

【解答】解：（1）證明：連結(jié)OD，如圖所示：

∵AB是直徑，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD為⊙O半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OE，如圖所示：

∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E為的中點(diǎn)，
∴∠EOD＝60°,
∴△EOD為等邊三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2,
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2，
∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝,
∴CD＝2．
25．（10分）如圖，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），B（6，0），動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動，速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時點(diǎn)P、Q同時停止運(yùn)動．過點(diǎn)Q作MN∥OB分別交AO、AB于點(diǎn)M、N，連接PM、PN．設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；
（2）求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；
（3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線l的解析式；如果不存在，請說明理由；
（4）連接AP，當(dāng)∠OAP＝∠BPN時，求點(diǎn)N到OA的距離．

【解答】解：（1）過點(diǎn)A作x軸的垂線，交MN于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，
由題意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t，
∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），
∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，
∵M(jìn)N∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴，
∴，
∴QM＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）．
（2）∵M(jìn)N∥OB，
∴四邊形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣3t，
∴S四邊形MNBP＝S△MNP+S△BNP
＝MN?OQ+?BP?OQ
＝
＝﹣6t2+12t
＝﹣6(t﹣1)2+6，
∵點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q同時停止，
∴0≤t≤2，
∴t＝1時，四邊形MNBP的最大面積為6．
（3）∵M(jìn)N＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，
∴MN＝BP，
∵M(jìn)N∥BP，
∴四邊形MNBP是平行四邊形，
∴平分四邊形MNBP面積的直線經(jīng)過四邊形的中心，即MB的中點(diǎn)，
設(shè)中點(diǎn)為H（x，y），
∵M(jìn)()，B（6，0），
∴x＝＝，
y＝．
∴x＝，
化簡得：y＝，
∴直線l的解析式為：y＝．
（4）∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴，
∴，
解得：t＝．
∵M(jìn)N＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣，
∴MN＝6﹣3×，
AE＝，
ME＝，
∴AM＝．
設(shè)點(diǎn)N到OA得距離為h，
∵S△AMN＝?MN?AE＝?AM?h，
∴，
解得：h＝．
∴點(diǎn)N到OA得距離為．

26．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點(diǎn)”．
（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；
（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時．
①求c的取值范圍；
②求∠EMN的度數(shù)；
（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點(diǎn)，連接BP，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰Rt△BPC，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，
當(dāng)x＝±2時，y＝＝±2，
故“雁點(diǎn)”坐標(biāo)為（2,2）或（﹣2，﹣2）；

（2）①∵“雁點(diǎn)”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，
故“雁點(diǎn)”的函數(shù)表達(dá)式為y＝x，
∵物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點(diǎn)”E，
則ax2+5x+c＝x，
則△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，
∵a＞1，
故c＜4；
②∵ac＝4，則ax2+5x+c＝0為ax2+5x+＝0，
解得x＝﹣或﹣，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0），

由ax2+5x+c＝x，ac＝4，
解得x＝﹣，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，﹣），
故點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，
則HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，
故∠EMN的度數(shù)為45°；

（3）存在，理由：
由題意知，點(diǎn)C在直線y＝x上，故設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，t），
過點(diǎn)P作x軸的平行線交過點(diǎn)C與y軸的平行線于點(diǎn)M，交過點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），
則BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,
∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,
∴∠NPB＝∠CPM,
∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,
∴△CMP≌△PNB（AAS），
∴PM＝BN，CM＝PN，
即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，
解得m＝1+（舍去）或1﹣或，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/6/23 8:57:13；用戶：柯瑞；郵箱：ainixiaoke00@163.com；學(xué)號：500557

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