新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固10.6 三定問題及最值（精練）（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

10.6 三定問題及最值（精練）（基礎(chǔ)版）1．（2022·煙臺模擬）已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因為橢圓的離心率為，所以.又當(dāng)位于上頂點或者下頂點時，面積最大，即.又，所以，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：由題知，直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，設(shè)，，將直線代入橢圓的方程得：，由韋達(dá)定理得：，，直線的方程為，直線的方程為，所以，，所以以為直徑的圓為，整理得：.①因為，令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點.2．（2022·莆田三模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線l與橢圓C相切于點D，且與直線交于點E．試問在x軸上是否存在定點P，使得點P在以線段為直徑的圓上？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由題意得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設(shè)切線方程的切點為，切線方程為，下面證明：聯(lián)立，消得，又，則，所以，所以，及直線與橢圓只有一個公共點，直線與橢圓相切，所以橢圓上切點為的切線方程為.切線方程與聯(lián)立得，則線段為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，化簡整理得，由題意可知，此式恒成立，故當(dāng)滿足題意.此時.故存在定點P，使得點P在以線段為直徑的圓上.3（2022·河南模擬）已知橢圓的離心率為，C的四個頂點圍成的四邊形面積為．（1）求C的方程；（2）已知點，若不過點Q的動直線l與C交于A，B兩點，且，證明：l過定點．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由離心率為，得，①C的四個頂點圍成的四邊形面積為．②由①②可得，，C的方程為．（2）解：由，得．因為Q不在l上，所以，都不是零向量，故，由題意可知l的斜率一定存在．設(shè)l的方程為，，．聯(lián)立方程組得，消去y并整理得，由，得．所以，．因為，即，整理得，因為，所以．當(dāng)時，滿足，此時直線l的方程為，所以直線l過定點．1．（2022·安徽模擬）點為坐標(biāo)原點，過點的直線與拋物線交于，兩點，且.（1）求拋物線的方程；（2）動點，為拋物線在第一象限內(nèi)兩點，且直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，求證：是定值.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）解：設(shè)，，直線；由得：，所以；由得：，即.解得，所以拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則；因為直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，，三點共線，由題設(shè)得；不妨設(shè)即為點，即為點；即，，則，則是定值.2．（2022·安徽三模）已知橢圓C：的離心率為，其右焦點為F，左頂點為A，點P是橢圓C上異于點A的一個動點，且當(dāng)軸時，△APF的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線AP交直線l：于點Q，直線l與x軸交于點T，證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）解：設(shè)，由題意知，所以，．將代入橢圓方程，得，當(dāng)軸時，，解得，所以，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：易得，．設(shè)點，則，所以直線AP的方程是，當(dāng)時，所以點Q的坐標(biāo)為．當(dāng)軸時，可得，，，故．當(dāng)PF與x軸不垂直時，，，所以．因為，所以，所以，又因為，，所以，即．3．（2022·延慶模擬）已知橢圓的長軸長為，離心率為，其中左頂點為，右頂點為，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與直線交于點，. 求證：為定值.【答案】見解析【解析】（1）解：由已知得．所以．又因為橢圓的離心率為，所以．所以．所以，所以橢圓的方程為（2）證明：由得，設(shè)，．因為直線與橢圓交于不同的兩點，，所以．解得，所以，，直線的方程為.令得．直線的方程為.令得.又因為，所以4．（2022·臨沂模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，為的左頂點，且．（1）求的方程；（2）若動直線與恰有1個公共點，且與的兩條漸近線分別交于點、．求證：點與點的橫坐標(biāo)之積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：易知點、、，，，所以，，解得，，則，所以，雙曲線的方程為.（2）證明：分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線軸時，直線的方程為，此時點、的橫坐標(biāo)之積為；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由題意可知直線不與雙曲線的漸近線平行或重合，即，設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，可得，則，不妨點、分別為直線與直線、的交點，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，此時，.綜上所述，點與點的橫坐標(biāo)之積為定值.5．（2022·青州模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線的右頂點在圓上，且．（1）求雙曲線的方程；（2）動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，設(shè)為坐標(biāo)原點．求證：的面積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：不妨設(shè) ，因為，從而故由，又因為，所以，又因為在圓上，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）解：設(shè)直線與軸交于點，雙曲線的漸近線方程為由于動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，當(dāng)動直線的斜率不存在時，，，，當(dāng)動直線的斜率存在時，且斜率，不妨設(shè)直線，故由依題意，且，化簡得，故由，同理可求，，所以又因為原點到直線的距離，所以，又由所以，故的面積是為定值，定值為6．（2022·平江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，直線與軸相交于點，與橢圓相交于點；（1）求橢圓的方程，（2）在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意得：，，所以橢圓的方程為（2）解：設(shè) （ⅰ）當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè) 的方程為代入得：，則，當(dāng) ，即時，無論取何值，的值恒為2，得點，（ⅱ）當(dāng)直線與軸重合時，有或，均有 =2由i和ii得，在軸上是存在兩點，使得 1．（2022·唐山二模）已知橢圓的右焦點為F，橢圓．（1）求的離心率；（2）如圖：直線交橢圓于A，D兩點，交橢圓E于B，C兩點．①求證：；②若，求面積的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則橢圓的離心率為（2）證明：對于①，設(shè)，，，，直線與聯(lián)立整理得則則的中點坐標(biāo)同理可知的中點坐標(biāo).所以與中點重合，故.對于②，由①知，直線被橢圓截得弦長為把代入得，把代入得，到的距離為，則面積為：當(dāng)時，的面積最大值是.2．（2022·棗莊模擬）已知雙曲線的實軸長為2．點是拋物線的準(zhǔn)線與C的一個交點．（1）求雙曲線C和拋物線E的方程；（2）過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A，B．求面積的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）解：由題，，又點在雙曲線上，故，解得，故雙曲線方程為；又點過拋物線的準(zhǔn)線，故，即，故（2）解：顯然直線斜率存在，故設(shè)直線方程為，，聯(lián)立有，故，又，，故切線，結(jié)合整理得，同理切線，聯(lián)立解得，即，故.又，且，即，故，又在雙曲線上故，故，故面積的取值范圍為3．（2022·濟(jì)南模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程；（2）A、B為橢圓C上兩點，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，求△PAB面積的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意得：，解得：，，∴．（2）解：由題意可知直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB的方程為，，，將代入得：，∴，，則===，===，∵直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，∴，化簡可得：，即，即，∵直線AB不過點P，∴，∴，，則，又點P到直線AB的距離為，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴△PAB面積最大值為．

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