考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 定點
【例1】（2022·河南模擬）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，，上下頂點分別為，，四邊形的面積為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）不過點的直線l交橢圓于P，Q兩點，直線和直線的斜率之和為2，證明：直線l恒過定點．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由題意可得，，即，又
，解得，，，
則橢圓的方程為；
（2）證明：由（1）可得，
①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，，
由，所以，
又，代入整理得，
由消去整理得，
所以，，
所以，
整理得，
當(dāng)時，直線過，不符合題意，
所以，即，
故直線的方程為，符合題意，
故恒過點；
②當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，，由，解得，
即直線的方程為，必過定點，
綜上可得，直線恒過定點；
【一隅三反】
1．（2022·浙江模擬）如圖，已知點A是拋物線在第一象限上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且垂直于x軸．過A作圓的兩條切線，與拋物線在第四象限分別交于M，N兩點，且直線的斜率為4．
（1）求拋物線的方程及A點坐標(biāo)；
（2）問：直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．
【答案】見解析
【解析】（1）解：因為，由，所以拋物線方程為，且
（2）解：設(shè)的傾斜角依次為，由可知，
再設(shè)的斜率分別為，下證．
方法一：由可知且滿足，
再由．
方法二：直線的方程為，其中分別對應(yīng)，
于是，即，
，
即，
由可知．
因為直線的方程為，其中分別對應(yīng)，
再設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立求得其交點均滿足，
代入拋物線C的方程，于是有，
將，整理得，
進而得到，．
將代入前式，有，化簡得，
再代入的方程得，
所以恒過定點．
2．（2022·西安模擬）已知拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離為5．不過原點的動直線交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，點M在準(zhǔn)線l上的射影為N．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)時，求證：直線AB過定點．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由拋物線C的方程可得其準(zhǔn)線方程，
依拋物線的性質(zhì)得，解得．
∴拋物線C的方程為．
（2）證明：當(dāng)直線AB的斜率為0時，顯然不符合題意；
當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線，、、，由化簡得，，，，
，所以，所以，，
所以
若，即，解得或（舍去），所以直線AB過定點.
3．（2022·朝陽模擬）已知橢圓的一個頂點為，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作斜率為的直線交橢圓于另一點，過點作斜率為的直線交橢圓于另一點．若，求證：直線經(jīng)過定點．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
若直線過點，則、必有一點與點重合，不合乎題意，所以，，
設(shè)點、，
聯(lián)立可得，
，可得，
由韋達定理可得，，
，同理可得，
由可得，
即，
因為，整理可得，解得，
所以，直線的方程為，所以，直線過定點；
若直線的斜率不存在，則，，
則，不合乎題意.
綜上所述，直線過定點
考點二 定值
【例2】（2022高三上·大理月考）已知橢圓過點，離心率為，直線與橢圓E交于A，B兩點，過點B作，垂足為C點，直線AC與橢圓E的另一個交點為D.
（1）求橢圓E的方程；
（2）試問是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由已知得 ，解得 ，所以
（2）解：由已知，不妨設(shè) ，則 ， ，
所以 ， ，所以 ，
代入橢圓 的方程得： ，
設(shè) ，則 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 ，也即 為定值 .
【一隅三反】
1．（2022高三上·大同開學(xué)考）已知橢圓的右焦點為F，離心率，點F到左頂點的距離為3.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知四邊形為橢圓的內(nèi)接四邊形，若邊過坐標(biāo)原點，對角線交點為右焦點F，設(shè)的斜率分別為，試分析是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由題意知
，，
所以橢圓方程為.
（2）解：設(shè)，則
可得：代入橢圓方程
整理得
由代入上式得
，是方程的一個解
∴點C的橫坐標(biāo)，
又因為在直線上
∴，同理：∵，
∴，即
∴為定值，定值.
2．（2022·雅安模擬）已知橢圓的右焦點為F，長軸長為4，離心率為．過點的直線與橢圓C交于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值．
【答案】（1）（2）-1
【解析】（1）由已知有，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）解：由已知直線l斜率不為零，故設(shè)其方程為，
由消去x得：（，令得．
設(shè)，則有，易知，
∴
所以為定值-1．
3．（2022·河南模擬）已知橢圓的離心率為為橢圓上一點.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，記直線的斜率分別為，試問是否是定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）（2）-1
【解析】（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，
則，解得
故橢圓的方程為.
（2）解：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線.
聯(lián)立整理得，
則.
因為，所以，
則
故為定值-1.
考點三 最值
【例3】（2022·陜西模擬）已知拋物線上有一動點，過點作拋物線的切線交軸于點．
（1）判斷線段的中垂線是否過定點？若過，求出定點坐標(biāo)；若不過，請說明理由；
（2）過點作的垂線交拋物線于另一點，求的面積的最小值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：設(shè)直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：，
由，得，則的解為，
由得，，得，
在中，令得，所以，
中點為，所以線段的中垂線方程為，
所以線段的中垂線過定點.
（2）解：由（1）可知，直線的方程為
將其與拋物線方程聯(lián)立得：
，，
，
.
所以的面積為，所以，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以時，.
【一隅三反】
1．（2022·焦作模擬）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于點，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點作拋物線的兩條互相垂直的弦AB，，設(shè)弦AB，的中點分別為P，Q，求的最小值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：依題意，設(shè)．
由拋物線的定義得，解得：，
因為在拋物線上，
所以，所以，解得：．
故拋物線的方程為．
（2）解：由題意可知，直線AB的斜率存在，且不為0．
設(shè)直線AB的方程為，，．
聯(lián)立，整理得：，
則，從而．
因為P是弦AB的中點，所以，
同理可得．
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，
故的最小值為8．
2．（2022·嵊州模擬）已知直線和直線與拋物線分別相交于A，B兩點（異于坐標(biāo)原點O），與直線分別相交于P，Q兩點，且．
（1）求線段的中點M的軌跡方程；
（2）求面積的最小值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：設(shè)，則，
所以，解得，
設(shè)直線的方程為，由
得，則，
于是，解得，
設(shè)線段的中點，則，
所以，故線段的中點M的軌跡方程
（2）解：直線與直線的交點橫坐標(biāo)為，同理，
所以，
由（1）知，，
所以，所以.
又直線與x軸的交點坐標(biāo)為，
所以面積為，
設(shè)，則，
所以，
所以，即時，面積有最小值.

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