1.常見的幾種函數(shù)模型
2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較
(1)“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.(2)易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.
1.(多選題)下列結(jié)論錯誤的是(
A.函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大B.“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù) y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻C.冪函數(shù)增長比直線增長更快
題組二 走進(jìn)教材2.(教材改編題)某家具的標(biāo)價為 132 元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠 10%)，仍可獲利 10%(相對進(jìn)貨價)，則該家具
B.105 元D.108 元
的進(jìn)貨價是(A.118 元C.106 元答案：D
3.(教材改編題)在某個物理實驗中，測得變量 x 和變量y 的幾組數(shù)據(jù)，如下表：
則對 x，y 最適合的擬合函數(shù)是(
B.y＝x2－1D.y＝lg2x
A.y＝2xC.y＝2x－2
題組三 真題展現(xiàn)4.(2020 年全國Ⅲ)Lgistic 模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù) I(t)(t 的單位：天)的 Lgistic
＝0.95K 時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則 t*約為(ln 19≈3)
5.(2021 年北京)對 24 小時內(nèi)降雨量在平地上的積水厚度(mm)進(jìn)行如下定義：如圖 2-9-1 所示，小明用一個底面直徑為 200 mm，高為 300 mm 的圓錐形容器接了 24 小時的雨水，積水深度為150 mm，那么這 24 小時降雨的等級是(平地降雨量等于圓
錐形容器內(nèi)積水的體積除以容器口面積)(
A.小雨C.大雨答案：B
考點一 用函數(shù)圖象刻畫變化過程1.(2020 年新高考Ⅱ改編)我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動復(fù)工復(fù)產(chǎn)，圖 2-9-2 是某地連續(xù) 11
天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是(圖 2-9-2
①這 11 天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；②這 11 天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；③第 3 天至第 11 天復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過 80%；④第 9 天至第 11 天復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量.
解析：由折線圖知這 11 天的復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)有增有減，①錯誤；由第 1 天和第 11 天復(fù)工和復(fù)產(chǎn)指數(shù)位置可知，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，②錯誤；由折線圖知，第 3 天至第 11 天復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過 80%，③正確；由折線圖知，第 9 天至第 11 天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，④正確.故選 C.
2.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程，圖 2-9-3 描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度
下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是(圖 2-9-3
A.消耗 1 升汽油，乙車最多可行駛 5 千米
B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽
C.甲車以 80 千米/時的速度行駛 1 小時，消耗 10 升
D.某城市機(jī)動車最高限速 80 千米/時，相同條件下，
在該市用丙車比用乙車更省油
解析：根據(jù)圖象知消耗 1 升汽油，乙車最多行駛里程大于 5 千米，A 錯誤；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，B 錯誤；甲車以 80 千米/時的速度行駛時燃油效率為10 千米/升，行駛 1 小時，里程為 80 千米，消耗 8 升汽油，C 錯誤；最高限速 80 千米/時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，D 正確.
3.如圖 2-9-4，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P 處有一棵樹與兩墻的距離分別是 4 m 和 a m(0＜a＜12).不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)用 16 m 長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃 ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為 u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，
則函數(shù) u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是(
解析：設(shè) AD 的長為 x m，則 CD 的長為(16－x) m，則矩形 ABCD 的面積為 x(16－x) m2.因為要將點 P 圍在矩形 ABCD 內(nèi)，所以 a≤x≤12.當(dāng) 0＜a≤8 時，當(dāng)且僅當(dāng) x＝8 時，u＝64；當(dāng) 8＜a＜12 時，u＝a(16－a).作出函數(shù)圖象可得其形狀與 B 選項接近.故選 B.
【題后反思】判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻
(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先
建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇圖象.
(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.
考點二 構(gòu)造函數(shù)模型求解實際問題考向 1 二次函數(shù)、分段函數(shù)模型[例 1]某企業(yè)生產(chǎn) A，B 兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A 產(chǎn)品的利潤 y 與投資 x 成正比，其關(guān)系如圖 2-9-5；B 產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2-9-6.(利潤和投資單位：萬元)
(1)分別將 A，B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)
(2)已知該企業(yè)已籌集到 18 萬元資金，并將全部投入
A，B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②如果你是廠長，怎樣分配這 18 萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？
此時 x＝16,18－x＝2.
∴當(dāng) A，B 兩種產(chǎn)品分別投入 2 萬元，16 萬元時，可
使該企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤為 8.5 萬元.
考向 2 構(gòu)建指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)模型[例 2]一片森林原來面積為 a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是 10 年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留
(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
解：(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為 x(00，[m]是不超過 m 的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話 6.5 分鐘的電話費為________元.
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，則 f(6.5)＝1.06×(0.5×
2.(一題兩空)某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本 Q(單位：元/100 kg)與上市時間 t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅
柿種植成本 Q 與上市時間 t 的變化關(guān)系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你選取的函數(shù)，求：
①西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是________；②最低種植成本是________元/100 kg.
解析：因為隨著時間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng) t＝60 和 t＝180 時種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得

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