專題05 解析幾何-沖刺高考數(shù)學(xué)大題突破+限時(shí)集訓(xùn)（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題05 解析幾何

解析幾何一般作為解答題21題或者是22題形式出現(xiàn)。一般作為壓軸題或者是次壓軸題出現(xiàn)，難度較大。
1 與原有關(guān)問題（蒙日圓，阿氏圓等）
2 面積問題
3 齊次化解決直線定點(diǎn)問題
4 一般的定值問題
5 非對稱問題
6 探究性問題
7 切線問題與阿基米德三角形問題
8 極點(diǎn)極限與調(diào)和點(diǎn)列，蝴蝶模型問題
9 不聯(lián)立問題
10 與其他知識點(diǎn)交叉問題

蒙日圓定理的內(nèi)容：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為蒙日圓，其半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根，具體結(jié)論及證明如下：
結(jié)論一：曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓：．
結(jié)論二：雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓．
結(jié)論三：拋物線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．

題型一：與原有關(guān)問題（蒙日圓，協(xié)同圓等）
例題1 已知橢圓0)．稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．
(1)求橢圓的方程及其“準(zhǔn)圓”方程．
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明．
②求證：線段的長為定值．
【解析】(1)依題意可得，∴，∴．．
(2)證明：①由(1)題可得，設(shè)切線方程為：．聯(lián)立，消去可得，整理可得．
∴，解得．
∴設(shè)直線PM：，直線．∴，即．
②設(shè)，直線．
則，消去可得．
即．
∴．整理得．
同理，設(shè)切線的斜率為，則有．∴．∴在“準(zhǔn)圓”上．∴，∴．∴為“準(zhǔn)圓”的直徑．∴為定值，．

1 ．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結(jié)果：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之比為且的點(diǎn)的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓．
(1)已知兩定點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知，是圓上任意一點(diǎn)，在平面上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
(3)已知是圓上任意一點(diǎn)，在平面內(nèi)求出兩個(gè)定點(diǎn)，，使得恒成立．只需寫出兩個(gè)定點(diǎn)，的坐標(biāo)，無需證明．

題型二：面積問題
1 ．已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程；
(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.
【答案】(1)（）(2)
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動(dòng).
，，
動(dòng)點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，
∵四邊形的面積為8，∴，即，
所以所求軌跡C方程為（）.
（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，

，，在曲線C上，過點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，
則或，同時(shí)或，解得或.??
，解得或（舍去）.
時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得.
直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得，
，
點(diǎn)Q到直線的距離??，
.
方法二：，
，
，則，
.

1 已知橢圓離心率為，經(jīng)過的左焦點(diǎn)斜率為1的直線與軸正半軸相交于點(diǎn)，且.
(1)求的方程；
(2)設(shè)M，N是上異于的兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.

題型三：齊次化解決定值定點(diǎn)問題
1 已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).
【答案】(1) .(2)證明見解析.
解題方法一：試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).
又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.
因此，解得.
故C的方程為.
（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.
則，得，不符合題設(shè).
從而可設(shè)l：（）.將代入得

由題設(shè)可知.
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.
而

.
由題設(shè)，故.
即.
解得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，
所以l過定點(diǎn)（2，）
解題方法二：齊次化處理：

1．已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．

題型四：一般的定值定點(diǎn)問題
1．已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為為上一點(diǎn)，且．
(1)求的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與交于異于的兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，過作，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及的長度；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)，為定值
【詳解】（1）由題意，
在雙曲線中，漸近線方程為，
由條件可知．根據(jù)雙曲線的定義可知，，
∴，則，∴．
（2）由題意及（1）得，
在中，，∴點(diǎn)在雙曲線的左支上，
當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，
聯(lián)立，整理得，
，則，
，∵為的中點(diǎn)，且，
∴，則，
∴，
整理得，解得或，驗(yàn)證均滿足．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過點(diǎn)，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過定點(diǎn)，符合題意．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，
可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，
所以直線的方程為：，
則直線過定點(diǎn)．∵，
∴是以為斜邊的直角三角形，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，則當(dāng)為該圓的圓心時(shí)，
為該圓的半徑，即，故存在點(diǎn)，使得為定值．

1 已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．

類型五非對稱問題
1 已知橢圓的長軸長為6，離心率為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.
（1）（2）
（1）由題意，可得，，，
聯(lián)立解得，，，.
（2）如圖，由（1）知，
方程為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，∵，根據(jù)對稱性可得，聯(lián)立，整理得，∴，∵，∴，
即，聯(lián)立解得，，
∵，，∴，
∴，∴，
∴直線的方程為，即.

1 已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．

類型六探究性問題
1 ．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上且不在軸上，直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為A，B，直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為C，D．
(1)設(shè)直線和的斜率分別為，，求的值；
(2)問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解析：(1)(2)存在，或
（1）設(shè)，，則，
所以；
（2）假設(shè)直線l上存在點(diǎn)，．
設(shè)設(shè)，，
∴，
同理，由，得
得或，當(dāng)時(shí)，由（1）得，，，，得，
當(dāng)時(shí)，由（1）得，或，，，，得．
所以或．

1 在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動(dòng)點(diǎn)滿足，向量與共線.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

類型七切線問題與阿基米德三角形問題
拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明如下結(jié)論：
拋物線與阿基米德三角形定理：
拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．
下面來逐一介紹阿基米德三角形的一些推論:
如圖，已知是拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過作拋物線的切線
、分別交拋物線于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則：
1.若過焦點(diǎn)，則的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．
2.阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標(biāo)軸，即．
3.過拋物線的焦點(diǎn)
4.
5.阿基米德三角形面積的最小值為
1 如下圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．
（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；
（?。┣笞C：平行于軸；
（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（Ⅰ）（?。┳C明見解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）僅存在一點(diǎn)適合題意.
【分析】
（Ⅰ）（ⅰ）設(shè)出的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，結(jié)合是線段的中點(diǎn)進(jìn)行化簡，得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，由此證得平行于軸.
（ⅱ）利用列方程，解方程求得，進(jìn)而求得拋物線方程.
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此進(jìn)行分類討論求得點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】
（Ⅰ）（?。┳C明：由題意設(shè)，，，，．
由得，則，所以，．
因此直線的方程為，
直線的方程為．
所以，①．②
由①、②得，因此，即，也即.所以平行于軸．
（ⅱ）解：由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：
，，所以，是方程的兩根，
因此，，又，
所以．
由弦長公式的．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．
（Ⅱ）解：設(shè)，由題意得，
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為，
由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，
代入得．
若在拋物線上，則，
因此或．
即或．
（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．
（2）當(dāng)，對于，此時(shí)，，
又，，所以，
即，矛盾．
對于，因?yàn)?，此時(shí)直線平行于軸，
又，
所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，
所以時(shí)，不存在符合題意得點(diǎn)．
綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題目

如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．（Ⅰ）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程；
y
x
B
A
O
M

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

類型八極點(diǎn)極限調(diào)和點(diǎn)列蝴蝶模型
1. 極點(diǎn)和極線的幾何定義
如圖,為不在圓錐曲線上的點(diǎn), 過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn), 連接交于, 連接交于, 我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn), 稱直線為點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線. 直線交圓錐曲線于兩點(diǎn), 則為圓錐曲線的兩條切線. 若在圓錐曲線上, 則過點(diǎn)的切線即為極線.

(1) 自極三角形：極點(diǎn) 一一極線；極點(diǎn) 一一極線極點(diǎn) 一一極線; 即中, 三個(gè)頂點(diǎn)和對邊分別為一對極點(diǎn)和極線, 稱為“自極三角形”.
(2) 極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況
(1)當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的極線, 就是切線;

(2)當(dāng)四邊有一組對邊平行時(shí), 如：當(dāng)時(shí), 和的交點(diǎn)落在無窮遠(yuǎn)處; 點(diǎn)的極線和點(diǎn)的極線滿足:
2. 極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義
對于定點(diǎn)與非退化二次曲線過點(diǎn)作動(dòng)直線與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn) , 那么點(diǎn)關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)的軌跡是什么?
可以證明: 點(diǎn)在一條定直線上，如下圖. 我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于曲線的極點(diǎn); 相應(yīng)地, 稱直線為點(diǎn)關(guān)于曲線的極線.

一般地, 對于圓錐曲線設(shè)極點(diǎn), 則對應(yīng)的極線為

【注】替換規(guī)則為:
(1) 橢圓的三類極點(diǎn)極線
(1)若極點(diǎn)在橢圓外, 過點(diǎn)作橢圓的兩條?線, 切點(diǎn)為, 則極線為切點(diǎn)弦所在直線

(2)若極點(diǎn)在橢圓上, 過點(diǎn)作橢圓的切線, 則極線為切線;
(3)若極點(diǎn)在橢圓內(nèi), 過點(diǎn)作橢圓的弦, 分別過作橢圓切線, 則切線交點(diǎn)軌跡為極
線
由此可得橢圓極線的幾何作法:

(2) 對于雙曲線, 極點(diǎn)對應(yīng)的極線為
(3) 對于拋物線, 極點(diǎn)對應(yīng)的極線為.
3. 極點(diǎn)和極線的性質(zhì)
(1) 引理: 已知橢圓方程為, 直線的方程為, 點(diǎn)不與原點(diǎn)重合. 過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上，則“點(diǎn)在直線上"的充要條件是調(diào)和分割 , 即.

1 設(shè)橢圓 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 過點(diǎn) M(2,1), 且左焦點(diǎn)為 F1(?2,1).
(1) 求敉圓 C 的方程; (2) 當(dāng)過點(diǎn) P(4,1) 的動(dòng)直線 l 于橢圓 C 相交于兩不同點(diǎn) A,B 時(shí), 在線段 AB 上取點(diǎn) Q, 滿足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|, 證明：點(diǎn) Q 總在某定直線上.
【答案】 (1) x24+y22=1; (2) 見解析.
【解析】（1）由題意得：，解得，所求橢圓方程為x24+y22=1.
(2) 解法 1: 定比點(diǎn)差法
設(shè)點(diǎn) Q、A、B 的坐標(biāo)分別為 (x,y),x1,y1,x2,y2
由題設(shè)知 |AP|,|PB|,|AQ|,|QB| 均不為零, 記 λ=|AP||PB|=|AQ||QB|, 則 λ>0 且 λ≠1
又 A,P,B,Q 四點(diǎn)共線, 從而 AP=?λPB,AQ=λQB
于是 4=x1?λx21?λ,1=y1?λy21?λ,x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ,
從而: 4x=x12?λ2x221?λ2???? (1) y=y12?λ2y221?λ2……….. (2)
又點(diǎn) A、B 在橢圓 C 上，即:
x12+2y12=4????? (3)
x22+2y22=4????? (4)
(1)+(2) ×2, 并結(jié)合(3)(4)得 4x+2y=4,
即點(diǎn) Q(x,y) 總在定直線 2x+y?2=0 上.
解法 2：構(gòu)造同構(gòu)式
設(shè)點(diǎn) Q(x,y),Ax1,y1,Bx2,y2,
由題設(shè)知 |AP|,|PB|,|AQ|,|QB| 均不為零, 記 λ=|AP||PB|=|AQ||QB|,
又 A,P,B,Q 四點(diǎn)共線, 可設(shè) PA=?λAQ,PB=λBQ(λ≠0,±1)
于是 x1=4?λx1?λy1=1?λy1?λ (1), x2=4+λx1+λy2=1+λy1+λ (2)
由于 Ax1,y1,Bx2,y2 在橢圓 C 上, 將(1)(2)分別代入 C 的方程 x2+2y2=4,
整理得: x2+2y2?4λ2?4(2x+y?2)λ+14=0 (3)
x2+2y2?4λ2+4(2x+y?2)λ+14=0 (4)
(4)-(3)得: 8(2x+y?2)λ=0,∵λ≠0,∴2x+y?2=0,
即點(diǎn) Q(x,y) 總在定直線 2x+y?2=0 上.
解法 3：極點(diǎn)極線
由 |AP|?|QB|=|AQ|?|PB| 可得 APPB=AQQB,
說明點(diǎn) P,Q 關(guān)于桞圓調(diào)和共軛, 點(diǎn) Q 在點(diǎn) P 對應(yīng)的極線上,
此極線方程為 4?x4+1?y2=1, 化簡得 2x+y?2=0.
故點(diǎn) Q 總在直線 2x+y?2=0 上.

如圖, 過直線 l:5x?7y?70=0 上的點(diǎn) P 作橢圓 x225+y29=1 的切線 PM 和 PN, 切點(diǎn)分別為 M,N, 連結(jié) MN.
(1) 當(dāng)點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)時(shí), 證明：直線 MN 恒過定點(diǎn) Q;
(2) 當(dāng) MN//l 時(shí), 定點(diǎn) Q 平分線段 MN.

蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年,由W.G.霍納提出證明.

【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中點(diǎn),過點(diǎn)M的兩條弦CD,EF,連接DE,CF交AB于P,Q兩點(diǎn),則 M是線段PQ的中點(diǎn).
問題中的圖形酷似圓中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".
蝴蝶定理還可以推廣到橢圓,甚至雙曲線與拋物線中.

例題 .如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距等于其長半軸長,M,N為橢圓C的上、下頂點(diǎn),且|MN|=23.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,1)作直線l交橢圓C于異于M,N的A,B兩點(diǎn),直線AM,BN交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定值3

類型九不聯(lián)立問題
1 已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
解析：（1）設(shè)，由點(diǎn)都在雙曲線上，得
，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，
由得. ②
由得. ③
由②-③，得，從而，即的斜率為.

1 已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．

類型十與其他知識點(diǎn)交叉問題
某電廠冷卻塔的外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.如圖所示，已知它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為，選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.

(1)求此雙曲線的方程；
(2)定義：以（1）中求出的雙曲線的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫做的共軛雙曲線，求雙曲線的方程；
(3)對于（2）中的雙曲線?的離心率分別為?，寫出與滿足的一個(gè)關(guān)系式，并證明.
【答案】(1)(2)(3)
（1）以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)雙曲線的方程為，由題意知，所以，
，，所以
，，所以，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）以（1）中求出的雙曲線的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線為
.
（3）與滿足的一個(gè)關(guān)系式為，證明如下，
雙曲線的半焦距，
所以雙曲線的離心率為，
雙曲線的半焦距，
所以雙曲線的離心率為，
所以，
所以與滿足的一個(gè)關(guān)系式為.

1 在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線和點(diǎn)、，記，若，則稱點(diǎn)、被直線分隔，若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，且曲線上存在點(diǎn)、被直線分隔，則稱直線為曲線的一條分隔線．
(1)判斷點(diǎn)是否被直線分隔并證明；
(2)若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是的分隔線．

1．（2022·北京海淀·?？寄M預(yù)測）橢圓C：的右頂點(diǎn)為，離心率為
(1)求橢圓C的方程及短軸長；
(2)已知：過定點(diǎn)作直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，過E作AB的平行線交直線DB于點(diǎn)F，設(shè)EF中點(diǎn)為G，直線BG與橢圓的另一點(diǎn)交點(diǎn)為M，若四邊形BEMF為平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．

2．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AB，交y軸于點(diǎn)P．

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)證明：存在相異于點(diǎn)P的定點(diǎn)T，使得恒成立，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，并求出面積的最小值．

3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物的準(zhǔn)線.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.
（i）求直線的斜率；
（ii）設(shè)面積為，求的最大值.

4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線．，為C上兩點(diǎn)，且，分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于，與y負(fù)半軸交于．
(1)若，求橫坐標(biāo)的取值范圍；
(2)記的重心為G，直線，的斜率分別為，，且．若，證明：λ為定值．

5．（2023河北·校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，斜率為的直線與相切于點(diǎn)，且與不垂直，為的中點(diǎn).
（1）若，求；
（2）若直線過，求.

6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，直線，交于點(diǎn).已知當(dāng)軸時(shí)，.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.
.

7．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．

8．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．
(1)若，求；
(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．

9．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．
(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；
(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．

一、解答題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．

2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．

3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．

4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．

6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．

7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.

8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．

9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

10．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．

11．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．

12．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
(2)求的最小值．

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