專題01   三角函數(shù)與解三角形 三角函數(shù)與解三角形一般作為全國(guó)卷第17題或第18題，主要考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函數(shù)與解三角形的綜合問題等，主要題型：1 三角函數(shù)圖像及性質(zhì)問題 ，2 結(jié)構(gòu)不良試題 3 三角形面積周長(zhǎng)問題4三角形三線問題5 三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題在新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)情景復(fù)雜化，更容易將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的結(jié)合. 題型一：三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)1．，已知點(diǎn)A，B是函數(shù)的圖像與直線的兩個(gè)交點(diǎn).且的最小值為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)于都有，求m的取值范圍.【答案】(1)(2) ， ，當(dāng) 時(shí)單調(diào)遞增，即 時(shí)單調(diào)遞增；（2）當(dāng) 時(shí)， ， ， ，原不等式等價(jià)于： ，即 ，解得 ；m的取值范圍是 .  此類問題通常先通過三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)研究其相關(guān)性質(zhì)．（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如或（其中ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．（2）函數(shù)圖象的平移變換解題策略：①對(duì)函數(shù)，或的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個(gè)單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)?/span>x±|φ|，而不是ωx變?yōu)?/span>.②注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.1 已知函數(shù)，．(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)若，，求的值．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為－.(3)【詳解】（1）　    ，                            　.　                    ，  的最小正周期為.（2）因?yàn)?/span>，所以令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.    且，，，所以，的最大值為，最小值為－.（3）因?yàn)椋?/span>，所以，，又因?yàn)?/span>　所以，，故，，　　            所以，. 題型二：結(jié)構(gòu)不良試題設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，在以下①、②、③中選擇一個(gè)作為條件，并加以解答，如果①、②、③都做，則按①給分．①向量與向量平行．②③(1)確定角A和角B之間的關(guān)系；(2)若D為線段BC上一點(diǎn)，且滿足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．【答案】(1)2B＝A(2)（1）若選①：因?yàn)橄蛄?/span>與向量平行，所以，由正弦定理，可得∵，，，∴或∴（舍）或2B＝A，即2B＝A若選②：，所以，由正弦定理，可得∵，，，∴或∴（舍）或2B＝A，即2B＝A若選③：，∵，∴所以上式化為∵，，∴，即．（2）如圖，作出△ABC示意圖如下：∵2a＝3b，由正弦定理，可得，過D向AB作垂線，垂足為H，∴．因?yàn)?/span>BD＝AD，所以H是AB中點(diǎn)，AB＝c＝6．因?yàn)?/span>BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，因?yàn)?/span>∠BAC＝2∠B＝∠BAD＋∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD，AD是∠BAC的角平分線，即有，解得．1．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對(duì)邊，，若為上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積.請(qǐng)從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)，(2)答案見解析【詳解】（1），由，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）由，得，又中，，可知；若選①：由，可知，可化為，又，則，又中，故，所以，則，故；若選②：為的中線，且在中，，，則有，在中，，在中，，又，則則，又知，故；故；若選③：為的角平分線，且.由題意知，，即，整理得又在中，，，則有，故解之得，，故. 題型三：三角形面積，周長(zhǎng)問題1  中，.(1)若，求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，得.∴，∴.（2）法一：∵，∴，∴，又，又，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由正弦定理得，，又，，∴，又，，∴，∴.法二：在上取點(diǎn)，使得，∴，∴，∴，又，∴.∴，∴，∴.又，∴，∴，，∴.1．在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，為在方向上的投影向量，且滿足.(1)求的值；(2)若，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)（1）由為在方向上的投影向量，則，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得.（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，，，由（1）可知，，則，由，則，解得，，根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長(zhǎng). 題型四：三角形三線問題1．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若O是的內(nèi)心，，且，求面積的最大值.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以， 由正弦定理得， 所以，因?yàn)?/span>，所以， 因?yàn)?/span>，所以或（2）因?yàn)?/span>，且，所以由余弦定理得，所以A為銳角，由（1）知. 因?yàn)?/span>是的內(nèi)心，所以，在中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以面積的最大值為.1 已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)已知的面積為，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且，的平分線交BC于N，求線段AN的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)（1）由題意知中，，由正弦定理邊角關(guān)系得：則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，，所以，即．（2）如下圖所示，在中，為中線，∴，∴，∴．∵，∴，，∴，∵，∴，∴． 題型五  三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題1  如圖，在中，， ，為外一點(diǎn)，．(1)求角的大小，并判斷的形狀；(2)求四邊形的面積的最大值．【答案】(1)，等邊三角形(2)【詳解】（1）由題知,即解得或(舍),所以因?yàn)?/span>,所以所以的形狀為等邊三角形（2）設(shè),在中由余弦定理得的面積的面積四邊形ABCD的面積當(dāng),等號(hào)成立所以四邊形ABCD的面積的最大值為1 ．如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長(zhǎng)度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最?。?/span>【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得的大小，再根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而求得扇形的半徑，從而得到種植花卉區(qū)域的面積（2）設(shè)，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得關(guān)于的表達(dá)式，從而得到平行四邊形的面積表達(dá)式，從而根據(jù)三角函數(shù)的最值求解即可【詳解】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積（2）設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因?yàn)?/span>，故要面積最小，則當(dāng)，即，時(shí)面積取得最小值，即多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最小     1．如圖,在平面四邊形中,,.(1)試用表示的長(zhǎng);(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）（）,,,，則在中,,,則.（2）在中,,則當(dāng)時(shí),取到最大值.故的最大值是2．已知平面四邊形中，，若，的面積為．(1)求的長(zhǎng)；(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)周長(zhǎng)的最大值為 【詳解】（1）在中，由題意有，解得，又由余弦定理得， 所以 ．（2），，設(shè)，四邊形周長(zhǎng)設(shè)為，則，由題可知，，在中，由余弦定理得( ，則 所以，即 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以 ，即四邊形周長(zhǎng)的最大值為3．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知是與的等比中項(xiàng)．(1)求A﹔(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?/span>是與的等比中項(xiàng)，所以，由正弦定理及兩角和的正弦公式，得．因?yàn)?/span>，所以，即．因?yàn)?/span>，所以，所以，即．又，所以，所以，即．（2）由正弦定理，得，所以．因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以所以，所以，所以的取值范圍是． 4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)依次是a，b，c，，．(1)求角B的大小；(2)當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得，∴由余弦定理得，又∵，∴．（2）在△ABC中，由余弦定理得，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，，又∵△ABC面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．當(dāng)a＝c＝2時(shí)，．又∵為的角平分線，∴∴在△ABD中，，∴在△ABD中，由正弦定理得．5．某地區(qū)組織的貿(mào)易會(huì)現(xiàn)場(chǎng)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形展廳，分別在和邊上，圖中區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，，及區(qū)域?yàn)檎褂[區(qū)．(1)若的周長(zhǎng)為，求的大?。?/span>(2)若，請(qǐng)給出具體的修建方案，使得展覽區(qū)的面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，展覽區(qū)的面積最大，最大值為【詳解】（1）設(shè)，，則，，又的周長(zhǎng)為，，則，整理可得：，，因?yàn)?/span>，．（2）設(shè)，則，，，在中，邊上的高為，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值，則當(dāng)時(shí)，展覽區(qū)的面積最大，最大值為.    一、解答題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)14 【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以；（2）解：因?yàn)?/span>，由（1）得，由余弦定理可得， 則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為. 2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為． 3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，. 4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為. 5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?/span>，所以，即．又因?yàn)?/span>，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?/span>，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?/span>，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?/span>，所以，整理得．又因?yàn)?/span>，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?/span>，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?/span>，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故. 
 

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