?第6節(jié)　雙曲線
考試要求　1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.


1.雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)若ac，則集合P為空集.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖　形


性　質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2

1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.
2.離心率e＝＝＝.
3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.
4.若漸近線方程為y＝±x，則雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0).
5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.
6.若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為.

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(　　)
(2)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(　　)
(4)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是±＝0.(　　)
(5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)因為||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的軌跡為兩條射線.
(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.
(3)當(dāng)m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m＜0，n＜0時則表示焦點在y軸上的雙曲線.
2.(易錯題)若方程＋＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中錯誤的是(　　)
A.若C為橢圓，則1＜t＜3
B.若C為雙曲線，則t＞3或t＜1
C.曲線C可能是圓
D.若C為橢圓，且長軸在y軸上，則1＜t＜2
答案　AD
解析　若t＞3，則方程可變形為－＝1，它表示焦點在y軸上的雙曲線；
若t＜1，則方程可變形為－＝1，它表示焦點在x軸上的雙曲線；
若2＜t＜3，則0＜3－t＜t－1，故方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓；
若1＜t＜2，則0＜t－1＜3－t，故方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓；
若t＝2，則方程＋＝1，即為x2＋y2＝1，它表示圓，綜上，選AD.
3.(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　設(shè)|PF2|＝m，|PF1|＝3m，則|F1F2|＝＝m，所以C的離心率e＝＝
＝＝＝.
4.(2021·全國乙卷)已知雙曲線C：－y2＝1(m>0)的一條漸近線為x＋my＝0，則C的焦距為________.
答案　4
解析　雙曲線－y2＝1(m>0)的漸近線為y＝±x，即x±y＝0，
又雙曲線的一條漸近線為x＋my＝0，即x＋y＝0，對比兩式可得，m＝3.
設(shè)雙曲線的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，
所以雙曲線的焦距2c＝2＝4.
5.(易錯題)雙曲線－＝1上一點P到焦點F1(－5，0)的距離為7，則點P到焦點F2(5，0)的距離為________.
答案　13
解析　在雙曲線－＝1中，a＝3，由題意得|PF1|＝7，
由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|7－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，
又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
6.(2020·北京卷)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點的坐標(biāo)為__________；C的焦點到其漸近線的距離是__________.
答案　(3，0)　
解析　由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦點在x軸上，所以雙曲線C的右焦點坐標(biāo)為(3，0).
雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
即x－y＝0，
所以焦點(3，0)到漸近線的距離為
d＝＝.

　考點一　雙曲線的定義及應(yīng)用
例1 (1)(2022·濱州質(zhì)檢)－＝4表示的曲線方程為(　　)
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
答案　C
解析　的幾何意義為點M(x，y)到點F1(0，3)的距離，的幾何意義為點M(x，y)到點F2(0，－3)的距離，則－＝4表示點M(x，y)到點F1(0，3)的距離與到點F2(0，－3)的距離的差為4，且4＜|F1F2|，所以點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的下支，且該雙曲線的實半軸長a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，則－＝4表示的曲線方程為－＝1(y≤－2).
(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________.
答案　2
解析　不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
感悟提升　在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
訓(xùn)練1 (1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________________.
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.
根據(jù)兩圓外切的條件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因為|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.
又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，
其中a＝1，c＝3，則b2＝8.
故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1).
(2)(2022·廣州模擬)過雙曲線x2－＝1的左焦點F1作一條直線l交雙曲線左支于P，Q兩點，若|PQ|＝10，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則△PF2Q的周長是________.
答案　24
解析　由題意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，
∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.
∴△PF2Q的周長是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
　考點二　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.與橢圓＋y2＝1共焦點且過點P(2，1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是________.
答案?。瓂2＝1
解析　法一　橢圓＋y2＝1的焦點坐標(biāo)是(±，0).
設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
－＝1(a>0，b>0)，
因為雙曲線過點P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－y2＝1.
法二　設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(10)的漸近線方程為y＝±x，且其右焦點為(5，0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
答案　－＝1
解析　由題意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
3.經(jīng)過點P(3，2)，Q(－6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
答案?。?
解析　設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn0)，即－＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
感悟提升　1.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解.
2.與雙曲線－＝1有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0).
　考點三　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
角度1　求雙曲線的漸近線
例2 (1)(2022·杭州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　)
A.x±y＝0 B.2x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案　C
解析　∵F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，
點P在雙曲線右支上，
∴由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＋|PF2|＝4a，
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理的推論可得
cos 60°＝，
即＝，∴3a2＝10a2－4c2，
即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，
∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，
即x±2y＝0.
(2)設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　)
A.± B.± C.±1 D.±
答案　C
解析　不妨令B在x軸上方，因為BC過右焦點F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點的坐標(biāo)分別為，，又A1，A2的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)，所以＝，＝，因為A1B⊥A2C，所以·＝0，
即(c＋a) (c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，
故＝1，即＝1，又雙曲線的漸近線的斜率為±，故該雙曲線的漸近線的斜率為±1.
角度2　求雙曲線的離心率
例3 (1)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點.若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A. B. C.2 D.
答案　A
解析　設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標(biāo)為(c，0).則c＝，如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.
(2)(2019·全國Ⅰ卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若＝，·＝0，則C的離心率為________.
答案　2
解析　因為·＝0，所以F1B⊥F2B，如圖.
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為＝，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.
因為tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2.
(3)(2022·石家莊模擬)已知點F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋) D.(2，1＋)
答案　B
解析　由題意易知點F的坐標(biāo)為(－c，0)，A，B，E(a，0)，因為△ABE是銳角三角形，所以·＞0，即·＝·＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).
感悟提升　1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
2.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由－＝0即得兩漸近線方程±＝0.
訓(xùn)練2 (1)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C.2 D.
答案　D
解析　由題意，可得F(1，0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
將x＝－1代入y＝±x，得y＝±，
所以點A，B的縱坐標(biāo)的絕對值均為.
由|AB|＝4|OF|可得＝4，
即b＝2a，b2＝4a2，
故雙曲線的離心率e＝＝＝.
(2)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線為l，過點F2且與l平行的直線交雙曲線C于點M，若|MF1|＝2|MF2|，則雙曲線C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　不妨設(shè)漸近線l的方程為y＝x，則點M在第四象限，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.設(shè)過點F2且與l平行的直線的傾斜角為α，則tan α＝，所以cos α＝＝，所以cos∠F1F2M＝.在△F1F2M中，由余弦定理cos∠F1F2M＝，得＝，整理得c2＝5a2，即c＝a，所以e＝＝.
　考點四　雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例4 (1)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若·0，b>0)過點(，)，離心率為2，則雙曲線的方程為(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　雙曲線離心率e＝＝2，故c＝2a，b＝a，將點(，)代入雙曲線方程，得－＝1，故a＝1，b＝，故雙曲線方程為x2－＝1.
3.(2021·全國甲卷)點(3，0)到雙曲線－＝1的一條漸近線的距離為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由雙曲線的方程知，a＝4，b＝3，焦點在x軸上，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即3x－4y＝0，由點到直線的距離公式得點(3，0)到雙曲線的一條漸近線的距離為＝.
4.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos ∠F1PF2＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由雙曲線定義知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.
5.(多選)(2021·重慶診斷)在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個圓C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常數(shù)r1，r2為正數(shù)且滿足r1＋r2＜4，一個動圓P與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡可以是(　　)
A.兩個橢圓
B.兩個雙曲線
C.一個雙曲線和一條直線
D.一個橢圓和一個雙曲線
答案　BC
解析　由題意得，圓C1的圓心為C1(－2，0)，半徑為r1，圓C2的圓心為C2(2，0)，半徑為r2，所以|C1C2|＝4，設(shè)動圓P的半徑為r.
因為r1＋r2＜4，所以兩圓相離，動圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個外切一個內(nèi)切.
①若均內(nèi)切，則|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r－r2，此時||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，
當(dāng)r1≠r2時，點P的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線，
當(dāng)r1＝r2時，點P在線段C1C2的垂直平分線上.
②若均外切，則|PC1|＝r＋r1，|PC2|＝r＋r2，
此時||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，
則點P的軌跡與①相同.
③若一個外切，一個內(nèi)切，不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則
|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r＋r2，|PC2|－|PC1|＝r1＋r2.
同理，當(dāng)與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時，
|PC1|－|PC2|＝r1＋r2.
此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線，與①中雙曲線不一樣.
6.(多選)(2022·長沙調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P，則(　　)
A.雙曲線C的漸近線方程為y＝±x
B.以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1
C.點P的橫坐標(biāo)為±1
D.△PF1F2的面積為
答案　ACD
解析　等軸雙曲線C：y2－x2＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；
由雙曲線的方程可知|F1F2|＝2，
所以以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝2，故B錯誤；
點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝2上，
不妨設(shè)點P(x0，y0)在直線y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
則點P的橫坐標(biāo)為±1，故C正確；
由上述分析可得△PF1F2的面積為×2×1＝，故D正確.
7.已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________.
答案　x±y＝0
解析　橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±x，即x±y＝0.
8.如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.

答案?。?
解析　設(shè)|F1F2|＝2c，連接AF1(圖略)，
∵△F2AB是等邊三角形，且F1F2是⊙O的直徑，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，
∴e＝＝＝＋1.
9.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點.若∠MAN＝60°，則C的離心率為________.
答案　
解析　如圖，點M，N所在的漸近線為ay－bx＝0，圓A的圓心A(a，0)到漸近線的距離d＝，又M，N均為圓A上的點，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN為等邊三角形，在△MAN內(nèi)，A到邊MN的距離為d＝|AM|·sin 60°＝b，∴有＝b，解得a2＝3b2，∴3c2＝4a2，∴e＝＝＝.
10.(2021·東北三省三校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點P(4，－).
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0.
(1)解　∵e＝，
∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0).
∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴雙曲線的方程為x2－y2＝6，即－＝1.
(2)證明　法一　由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
11.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c，0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率.
解　(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以雙曲線方程為－＝1.
(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，
所以x0＝y(tǒng)0，①
依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，
將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，所以x0＝c，
所以點A的坐標(biāo)為，
代入雙曲線方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因為a2＋b2＝c2，
所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因為e>1，所以e＝，
所以雙曲線的離心率為.

12.(多選)(2022·福州調(diào)研)設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過左焦點F1且斜率為的直線l與C在第一象限相交于一點P，則下列說法正確的是(　　)
A.直線l傾斜角的余弦值為
B.若|F1P|＝|F1F2|，則C的離心率e＝
C.若|PF2|＝|F1F2|，則C的離心率e＝2
D.△PF1F2不可能是等邊三角形
答案　AD
解析　設(shè)直線傾斜角為α，則tan α＝，
所以cos α＝，A正確；
P在第一象限內(nèi)，若|F1P|＝|F1F2|，則|F1P|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c－2a，
由余弦定理得＝，整理得3e2－8e＋4＝0，
解得e＝2或e＝(舍去)，B錯誤；
若|PF2|＝|F1F2|，則|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，
由余弦定理得cos∠PF1F2＝
＝，整理得3e2－e－4＝0，
解得e＝或e＝－1(舍去)，C錯誤；
由|PF1|＞|PF2|，知△PF1F2不可能是等邊三角形，D正確.
13.(2021·長沙模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，經(jīng)過點F2且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且≤∠F1AF2≤，則該雙曲線離心率的取值范圍為________.
答案　[，]
解析　不妨設(shè)A在第一象限，將x＝c代入y＝x得A，
所以tan∠F1AF2＝
＝∈，
即≤≤1，即≤≤1?1≤≤3?1≤≤3?1≤e2－≤3?5≤e2≤13?≤e≤.
14.(2022·青島診斷)已知曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的方程為y＝x，右焦點F到直線x＝的距離為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B、D兩點，已知A(1，0)，若·＝1，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切.
(1)解　依題意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)證明　設(shè)直線l的方程為
y＝x＋m(m＞0)，
B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點為M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
∴m＝0(舍)或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M點的橫坐標(biāo)為＝1，
∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴過A、B、D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑，
∵點M的橫坐標(biāo)為1，∴MA⊥x軸.
∴過A、B、D三點的圓與x軸相切.

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第8節(jié) 拋物線 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第8節(jié) 拋物線 (含解析)，共21頁。試卷主要包含了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C，直線l過拋物線C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第7節(jié) 直線與橢圓、雙曲線 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第7節(jié) 直線與橢圓、雙曲線 (含解析)，共18頁。試卷主要包含了設(shè)雙曲線C，過雙曲線C，已知F1，F(xiàn)2為橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第6節(jié) 雙曲線 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第6節(jié) 雙曲線 (含解析)，共24頁。試卷主要包含了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，焦點三角形的面積，已知雙曲線C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第5節(jié) 橢圓 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第5節(jié) 橢圓 (含解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第3節(jié) 圓的方程 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第3節(jié) 圓的方程 (含解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 (含解析)
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第1節(jié) 直線的方程 (含解析)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)練習(xí)第08章 平面解析幾何第1節(jié) 直線的方程 (含解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部