第三章第二課時(shí)　組合數(shù)的應(yīng)用A級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人去參加活動(dòng),則甲、乙至少有1人入選,而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為(　　)A.28 B.49 C.56 D.852.[探究點(diǎn)二]小明在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌后,打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩(shī),他準(zhǔn)備在冬季的6個(gè)節(jié)氣:立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒與春季的6個(gè)節(jié)氣:立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨中一共選出4個(gè)節(jié)氣,搜集與之相關(guān)的古詩(shī),如果冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少被選出1個(gè),那么小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是(　　)A.345 B.465 C.1 620 D.1 8603.[探究點(diǎn)二]甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué);乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué),則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(　　)A.150種 B.180種 C.300種 D.345種4.[探究點(diǎn)二]某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員,其中3人只會(huì)劃左舷,4人只會(huì)劃右舷,2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽,則不同的選派方法共有(　　)A.56種 B.68種 C.74種 D.92種5.[探究點(diǎn)三]若將6名教師分到3所中學(xué)任教,一所1名,一所2名,一所3名,則有　　　　種不同的分法. 6.[探究點(diǎn)三]《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著,該書介紹了我國(guó)古代14種算法,其中積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算等13種算法均需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料,其中一人搜集5種,另兩人每人搜集4種,則不同的分配方法種數(shù)為(　　)A. B.C. D.7.[探究點(diǎn)一](多選題)上海某小學(xué)組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館,每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀,則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的方案有(　　)A.3 600種 B.種C.9 375種 D.×54種8.[探究點(diǎn)一、二]從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面,可作　　　　個(gè)不同的平面,從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一個(gè)四面體,可作　　　　個(gè)四面體. 9.[探究點(diǎn)一·北師大版教材習(xí)題]從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字,從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?            10.[探究點(diǎn)一·人教A版教材習(xí)題]班上每個(gè)小組有12名同學(xué),現(xiàn)要從每個(gè)小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽.(1)每個(gè)小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ),那么每個(gè)小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手,那么每個(gè)小組有多少種選法?            B級(jí) 關(guān)鍵能力提升練11.某部門安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家赴三地工作.因工作需要,每地至少需要安排一名專家,其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作,丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作,則不同的安排方案的總數(shù)為(　　)A.36 B.30 C.24 D.1812. 算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具,其形長(zhǎng)方,周為木框,內(nèi)貫直柱,俗稱“檔”,檔中橫以梁,梁上兩珠,每珠作數(shù)五,梁下五珠,每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如:在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠,個(gè)位檔撥上一顆上珠,則表示數(shù)字65.若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠,再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠,則所撥數(shù)字大于1 000的種數(shù)為(　　)A.20 B.10 C.9 D.1513.[2023河北唐山高三開(kāi)學(xué)考試]現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一顏色,且綠色卡片至多1張,則不同的取法種數(shù)為(　　)A.484 B.472 C.252 D.23214.(多選題)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世園會(huì)的中國(guó)館服務(wù),任務(wù)是組織游客參加“祝福祖國(guó)征集留言”“歡樂(lè)世園共繪展板”“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項(xiàng)活動(dòng),其中1人負(fù)責(zé)“征集留言”,2人負(fù)責(zé)“共繪展板”,3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩”,則不同的分配方案共有(　　)A.2種 B.60種C.120種 D.種15.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生去杭州、寧波、金華三個(gè)城市進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)城市至少安排一人,則不同的安排方式共有　　　種. 16.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中,從中任意取出4只,試求出現(xiàn)下列結(jié)果各有多少種情況:(1)4只鞋子沒(méi)有成雙的;(2)4只鞋子恰有兩雙;(3)4只鞋子有2只成雙,另2只不成雙.                 C級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球,共有幾種放法?(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球,共有幾種放法?(3)恰有2個(gè)盒不放球,共有幾種放法?         參考答案第二課時(shí)　組合數(shù)的應(yīng)用1.B　由題意知,丙沒(méi)有入選,所以只需把丙去掉,把總的元素個(gè)數(shù)變?yōu)?個(gè),因?yàn)榧住⒁抑辽儆?人入選,所以條件可分為兩類:一類是甲、乙兩人只選一個(gè)的選法,共有=42(種)選法;另一類是甲、乙兩人都入選,共有=7(種)選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,不同的選法種數(shù)為42+7=49,故選B.2.B　根據(jù)題意可知,小明可以選取1冬3春、2冬2春、3冬1春.1冬3春的不同情況有=120(種).2冬2春的不同情況有=225(種).3冬1春的不同情況有=120(種).所以小明選取節(jié)氣不同情況的種數(shù)是=465.故選B.3.D　若這名女同學(xué)是甲組的,選法有種;若這名女同學(xué)是乙組的,則選法有種.故符合條件的選法共有=345(種).4.D　根據(jù)劃左舷的人中有“多面手”的人數(shù)進(jìn)行分類:劃左舷中沒(méi)有“多面手”的選派方法有種,有一個(gè)“多面手”的選派方法有種,有兩個(gè)“多面手”的選派方法有種,即共有=92種不同的選派方法.故選D.5.360　將6名教師分組,分三步完成:第1步,在6名教師中任取1名作為一組,有種分法;第2步,在余下的5名教師中任取2名作為一組,有種分法;第3步,余下的3名教師作為一組,有種分法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有=60種分法,再將這3組教師分配到3所中學(xué),有=6種分法.故共有60×6=360種不同的分法.6.A　依題意,先將13種算法分為3組,方法種數(shù)為,再分配給3個(gè)人,方法種數(shù)為.故選A.7.CD　因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)年級(jí)選擇甲博物館,所以參觀甲博物館的年級(jí)有種情況,其余年級(jí)均有5種選擇,所以共有54種情況,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有×54=9375(種)方案.8.12　58　正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面,共有正方體的6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面,共12個(gè)不同平面,故可作-12=58(個(gè))四面體.9.解 先取元素后排列,分三步完成:第一步,從1,3,5,7,9中取3個(gè)數(shù)字,有種取法;第二步,從2,4,6,8中取2個(gè)數(shù)字,有種取法;第三步,將取出的5個(gè)數(shù)字全排列,有種排法.故共有符合條件的五位數(shù)=7200個(gè).10.解 (1)選4名同學(xué),是一個(gè)組合問(wèn)題,有=495種.(2)(方法1)先選4名同學(xué),再?gòu)闹兄付?名作替補(bǔ),有=1980種;(方法2)先選定一名學(xué)生兼作替補(bǔ),后再選3名學(xué)生組成代表隊(duì),有=1980種.(3)有順序,是一個(gè)排列問(wèn)題,有=11880種.11.B　因?yàn)榧?、乙兩名專家必須安排在同一地工?此時(shí)甲、乙兩名專家看成一個(gè)整體即相當(dāng)于一個(gè)人,所以相當(dāng)于只有四名專家,先計(jì)算四名專家中有兩名在同一地工作的排列數(shù),即從四個(gè)中選兩個(gè)和其余兩個(gè)看成三個(gè)元素的全排列共有種;又因?yàn)楸?、丁兩名專家不能安排在同一地工?所以再去掉丙、丁兩名專家在同一地工作的排列數(shù)有種,所以不同的分配方法種數(shù)有=36-6=30種.故選B.12.D　要使所撥數(shù)字大于1000,若上珠撥的是千位檔,則所撥數(shù)字一定大于1000,有=6(種);若上珠撥的是個(gè)位檔或十位檔或百位檔,則下珠一定要撥千位檔,再?gòu)膫€(gè)位、十位、百位檔里選一個(gè)撥下珠,有=9(種).則所撥數(shù)字大于1000的種數(shù)為6+9=15.故選D.13.B　根據(jù)題意,不考慮限制,從16張卡片中任取3張,共有種取法,如果取出的3張為同一種顏色,則有4種情況,如果取出的3張有2張綠色卡片,則有種情況,故所求的取法共有-4=472種.故選B.14.BD　從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言”,從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板”,再?gòu)氖Ｏ碌娜酥羞x3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩”,則不同的分配方案共有=60(種).故選BD.15.150　根據(jù)題意,按五名同學(xué)分組的不同分2種情況討論:①五人分為2,2,1的三組,有=15(種)分組方法,對(duì)應(yīng)三項(xiàng)志愿者活動(dòng),有15×=90種安排方案;②五人分為3,1,1的三組,有=10(種)分組方法,對(duì)應(yīng)三項(xiàng)志愿者活動(dòng),有10×=60(種)安排方案,則共有90+60=150(種)不同的安排方案.16.解(1)從10雙鞋子中選取4雙,有種不同選法,每雙鞋子中各取一只,分別有2種取法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同取法有N=×24=3360(種).(2)從10雙鞋子中選2雙有種取法,即有45種不同取法.(3)先選取一雙有種選法,再?gòu)?雙鞋中選取2雙有種選法,每雙鞋只取一只,各有2種取法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同取法有N=×22=1440(種).17.解(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”,先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球,3個(gè)盒子,每個(gè)盒子都要放入球,共有幾種放法?”即把4個(gè)球分成2,1,1的三組,然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球,其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi),由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有=144(種)放法.(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”,即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球,每個(gè)盒子至多放1個(gè)球,也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒,因此,“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事,所以共有144種放法.(3)確定2個(gè)空盒有種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1),(2,2)兩類,第一類有序不均勻分組有種方法;第二類有序均勻分組有種方法,故共有=84(種)放法. 

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3.1.3 組合與組合數(shù)

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