專題十二　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入一、單項選擇題1.(2023屆西南“三省三校”聯(lián)考一,2)已知復數(shù)z滿足i3z=1+i(i是虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)是????????????? (　　)A.-1-i    B.-1+iC.1-i        D.1+i答案　A　由題意可知z==-1+i,所以z的共軛復數(shù)為-1-i,故選A.2.(2023屆陜西咸陽高新一中質(zhì)檢二,2)設(shè)a∈R,若復數(shù)(1+i)(a+i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上,則a=????????????? (　　)A.0 B.-1 C.1 D.答案　B　∵復數(shù)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上,∴a+1=0,即a=-1.故選B.3.(2023屆廣西北海模擬,2)已知復數(shù)z滿足z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R),若z為純虛數(shù),則a=????????????? (　　)A.-3 B.±3 C.3 D.0答案　C　因為z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R)為純虛數(shù),所以a2-9=0且a+3≠0,所以a=3.故選C.4.(2023屆廣西桂林七星田家炳中學月考,3)復數(shù)z=1-i,則|(z+i)|= (　　)A.2 B.4 C. D.答案　C　因為z=1-i,所以=1+i,所以(z+i)=(1+i)(1-i+i)=1+i,所以|(z+i)|=|1+i|=.故選C.5.(2023屆河南洛陽六校聯(lián)考,9)已知i為虛數(shù)單位,且復數(shù)z(1+2i)=i-i2 022,下面關(guān)于復數(shù)z的三個命題:①復數(shù)z的虛部為-i;②|z|=3;③復數(shù)z的共軛復數(shù)對應(yīng)的點在第一象限.其中正確命題的個數(shù)為 (　　)A.0 B.2 C.3 D.1答案　D　因為z(1+2i)=i-i2 022=i-(i4)505·i2=1+i,所以z=i.復數(shù)z的虛部為-,故①錯誤;|z|=,故②錯誤;i,則復數(shù)z的共軛復數(shù)在第一象限,故③正確.故選D.6.(2022甘肅平?jīng)龆?/span>,2)在復平面內(nèi),復數(shù)z1,z2對應(yīng)的點分別是(0,2),(-1,1),則復數(shù)z1z2的虛部為????????????? (　　)A.2i B.-2i C.2 D.-2答案　D　由題意可知z1=2i,z2=-1+i,所以z1z2=2i(-1+i)=-2-2i,則復數(shù)z1z2的虛部為-2.故選D.7.(2021河南信陽質(zhì)檢,2)已知復數(shù)z=i+i2 020,則|z|等于 (　　)A. B.1 C.0 D.2答案　A　∵z=i+i2 020=i+i4×505=i+1,∴|z|=,故選A.8.(2022陜西模擬,2)在復平面內(nèi),復數(shù)z對應(yīng)的點為(3,4),則= (　　)A.i B.iC.1-2i D.1+2i答案　B　因為復數(shù)z對應(yīng)的點為(3,4),所以z=3+4i,所以i,故選B.二、多項選擇題9.(2022湖北八市聯(lián)考,10)2022年1月,中國科學技術(shù)大學潘建偉團隊和南方科技大學范靖云團隊發(fā)表學術(shù)報告,分別獨立通過實驗驗證了虛數(shù)i在量子力學中的必要性,再次說明了虛數(shù)i的重要性.對于方程x3=1,它的兩個虛數(shù)根分別為(　　)A.              B.C. D.答案　CD　將方程x3=1移項、因式分解可得(x-1)(x2+x+1)=0,x=1為實數(shù)根,要求虛數(shù)根,則解方程x2+x+1=0,得x=.故選CD.10.(2022武漢2月調(diào)研,9)已知兩個復數(shù)z1,z2滿足z1z2=i,且z1=1-i,則下列說法正確的是????????????? (　　)A.z2= B.|z1|=C.|z1+z2|≥2 D.=-i答案　ABD　∵z1z2=i,z1=1-i,∴z2=i,故A正確;∵z1z2=i,∴|z1·z2|=|z1|·|z2|=1,即|z1|=,故B正確;又z1+z2=i,∴|z1+z2|=≤2,故C錯誤;∵=1+i,,∴=(1+i)·=-i,故D正確.故選ABD.11.(2021廣東湛江一模,9)若復數(shù)z=-i,則 (　　)A.|z|=2 　B.|z|=4C.z的共軛復數(shù)+i 　D.z2=4-2i答案　AC　依題意得|z|==2,故A選項正確,B選項錯誤;+i,C選項正確;z2=(-i)2=3-2i,D選項錯誤,故選AC.12.(2022湖南師大附中二模,9)設(shè)復數(shù)z=-i,則下列命題中正確的是 (　　)A.|z|2=z·B.z2=C.z的虛部是iD.若zn∈R,則正整數(shù)n的最小值是3答案　ABD　對于A,由于|z|==1,z·=1,所以|z|2=z·,A正確;對于B,由z2=-,知B正確;對于C,由z=-i,可得z的虛部是,C錯誤;對于D,由z=-i,可得z2=-i,z3=1,所以若zn∈R,則正整數(shù)n的最小值是3,D正確.故選ABD.三、填空題13.(2022福建龍巖一模,13)復數(shù)z1=cos x-isin x,z2=sin x-icos x,則|z1·z2|=　　　　. 答案　1解析　z1·z2=(cos x-isin x)(sin x-icos x)=-i(sin2x+cos 2x)=-i,故|z1·z2|=1.14.(2022遼寧鞍山二模,13)已知i為虛數(shù)單位,則=　　　　(寫成最簡形式). 答案　1+2i解析　=1+2i.15.(2022長沙雅禮中學等十六校二模,13)已知復數(shù)z1=-i,z2=,則=　　　　. 答案　-i解析　因為z1=-i,所以z2=i,則=-+i.

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