專題十　計(jì)數(shù)原理一、單項(xiàng)選擇題1.(2016課標(biāo)Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為????????????? (　　)A.24 B.18 C.12 D.9答案　B　分兩步,第一步,從E→F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從F→G,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.2.(2023屆黑龍江牡丹江二中段考一,2)若3個(gè)班級(jí)分別從6個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽,則不同選法有????????????? (　　)A.種 B.種 C.36種 D.63種答案　D　每個(gè)班級(jí)有6種選法,則3個(gè)班級(jí)有6×6×6=63種不同的選法.故選D.3.(2023屆貴陽一中月考一,5)二項(xiàng)式定理,又稱牛頓二項(xiàng)式定理,由艾薩克·牛頓于1664年—1665年間提出,據(jù)考證,我國(guó)至遲在11世紀(jì),北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則.在的展開式中,x的系數(shù)為(　　)A.10 B. C. D.答案　C　的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(x2)5kx103k(k=0,1,2,3,4,5),令10-3k=1,解得k=3,所以在的展開式中,x的系數(shù)為.故選C.4.(2022河南開封模擬,4)的展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)和為 (　　)A.85 B.29 C.-27 D.-84答案　C　展開式的通項(xiàng)為Tr+1==(-1)r ,其中r=0,1,2,3,4,5,6,7,8.當(dāng)r=0,3,6時(shí),Tr+1為有理項(xiàng),故有理項(xiàng)系數(shù)和為(-1)0+(-1)3+(-1)6=1+(-56)+28=-27,故選C.5.(2023屆哈爾濱質(zhì)檢,5)小張接到5項(xiàng)工作,要在周一、周二、周三、周四這4天中完成,每天至少完成1項(xiàng),且周一只能完成其中1項(xiàng)工作,則不同的安排方式有????????????? (　　)A.180種 B.480種 C.90種 D.120種答案　A　首先從5項(xiàng)工作中選一項(xiàng)安排到周一,再?gòu)钠溆?/span>4項(xiàng)工作中選出2項(xiàng)作為一個(gè)整體,最后將這三組安排到周二、周三、周四三天,則不同的安排方式有=180種.故選A.6.(2023屆四川南江中學(xué)階段測(cè)試,9)4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1,2;1,3;4,5;6,7.將這4張卡片排成一排,可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為????????????? (　　)A.288 B.336 C.368 D.412答案　B　當(dāng)四位數(shù)中不出現(xiàn)1時(shí),排法有=96種;當(dāng)四位數(shù)中出現(xiàn)一個(gè)1時(shí),排法有2×=192種;當(dāng)四位數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)1時(shí),排法有=48種.所以可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為96+192+48=336.故選B.7.(2022湖北荊門龍泉中學(xué)二模,3)若今天(第一天)是星期二,則第1510天是 (　　)A.星期三 B.星期日 C.星期二 D.星期五答案　C　1510=(14+1)10的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=1410-r,又14可被7整除,所以當(dāng)10-r≠0時(shí),Tr+1均可被7整除,當(dāng)10-r=0時(shí),T11=1,所以第1510天是星期二.故選C.8.(2023屆黑龍江牡丹江二中段考一,8)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=????????????? (　　)A.1 B.32 C.81 D.243答案　D　因?yàn)?/span>-2<0,所以x的奇數(shù)次冪的系數(shù)a1,a3,a5均為負(fù)數(shù),即|a1|=-a1,|a3|=-a3,|a5|=-a5,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243,故選D.二、多項(xiàng)選擇題9.(2022重慶巴蜀中學(xué)3月適應(yīng)性月考(八),11)若122 022+a能被7整除,則整數(shù)a的值可以是????????????? (　　)A.4 B.6 C.11 D.13答案　BD　122 022=(14-2)2 022與(-2)2 022=22 022被7除同余,22 022=8674=(7+1)674被7除余1,故1+a能被7整除,則a=7k+6(k∈Z),故選BD.10.(2022湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考一,10)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),則下列結(jié)論正確的是(　　)A.a0=anB.當(dāng)a3=10時(shí),n=5C.若(1+x)n(n∈N*)的展開式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n等于12或13D.當(dāng)n=4時(shí),答案　ABD　a0=an=1,A正確;x3的系數(shù)a3=,則=10,所以n=5,B正確;若(1+x)n(n∈N*)的展開式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n等于12,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n等于11或13,C錯(cuò)誤;當(dāng)n=4時(shí),(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.令x=,則,又a0=1,所以,D正確.故選ABD.11.(2021江蘇百校聯(lián)考4月調(diào)研,11)設(shè)(1-2x)29=a0+a1x+a2x2+…+a29x29,則下列結(jié)論正確的是????????????? (　　)A.a15+a16>0B.a1+a2+a3+…+a29=-1C.a1+a3+a5+…+a29=-D.a1+2a2+3a3+…+29a29=-58答案　ACD　對(duì)于選項(xiàng)A,a15+a16=(-2)15+(-2)16>0,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,令x=0,可得a0=1,令x=1,得a0+a1+…+a29=-1,所以a1+a2+…+a29=-2,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a29=329,則2(a1+a3+…+a29)=-1-329,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,在等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得-58(1-2x)28=a1+2a2x+…+29a29x28,令x=1,可得a1+2a2+…+29a29=-58,故選項(xiàng)D正確.故選ACD.12.(2022山東濱州鄒平一中3月月考,9)如圖,在某城市中,M,N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng),其中A1,A2,A3,A4是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交會(huì)處.今在道路網(wǎng)M,N處的甲、乙兩人分別要到N,M處,他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑,以相同的速度同時(shí)出發(fā),直到到達(dá)N,M處為止,則下列說法正確的有(　　)A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種B.甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)N處的方法有9種C.甲、乙兩人在A3處相遇的概率為D.甲、乙兩人相遇的概率為答案　BD　對(duì)于A,甲從M到達(dá)N處,需要走6步,其中向上3步,向右3步,所以從M到達(dá)N處的方法有=20種,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,甲從M到達(dá)A3,需要走3步,其中向上1步,向右2步,共=3種,從A3到達(dá)N,需要走3步,其中向上2步,向右1步,共=3種,所以甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)N處的方法有3×3=9種,故B正確;對(duì)于C,甲經(jīng)過A3的方法數(shù)為=9,乙經(jīng)過A3的方法數(shù)為=9,所以甲、乙兩人在A3處相遇的方法數(shù)為=81種,故甲、乙兩人在A3處相遇的概率P=,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,甲、乙兩人沿著最短路徑行走,只能在A1,A2,A3,A4處相遇,若甲、乙兩人在A1處相遇,甲經(jīng)過A1處,前3步必須向上走,乙經(jīng)過A1處,則前3步必須向左走,兩人在A1處相遇走法有1種,若甲、乙兩人在A2或A3處相遇,由選項(xiàng)C知,各有=81種,若甲、乙兩人在A4處相遇,甲經(jīng)過A4處,則前3步必須向右走,乙經(jīng)過A4處,則乙前3步必須向下走,則兩人在A4處相遇的走法有1種.所以甲、乙兩人相遇的概率P=,故D正確.故選BD.三、填空題13.(2023屆成都七中萬達(dá)學(xué)校9月月考,14)(5-3x+2y)n的展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　　　　. 答案　15 625解析　(5-3x+2y)n的展開式中不含y的項(xiàng),即展開式中y的指數(shù)為0,即(5-3x)n的展開式.令x=1,得(5-3x+2y)n的展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為(5-3)n=64,所以n=6.因?yàn)?/span>(5-3x+2y)6=[5-(3x-2y)]6,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為×56=15 625.14.(2023屆陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)期中,16)已知(a2+1)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于的展開式的常數(shù)項(xiàng),而(a2+1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為54,則正數(shù)a的值為　　　　. 答案　解析　的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=,0≤r≤5,r∈Z.令10-=0,解得r=4,故=16.令a2=1,則(a2+1)n=2n=16,故n=4.∵(a2+1)n=(a2+1)4的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為a4=54,∴a2=3,解得a=±.∵a>0,∴a=.15.(2022福建漳州三模,13)711除以6的余數(shù)是　　　　. 答案　1解析　711=(1+6)11=611,因?yàn)?/span>611可被6整除且60=1,所以711除以6的余數(shù)是1.16.(2018課標(biāo)Ⅰ,15,5分)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有　　　　種.(用數(shù)字填寫答案) 答案　16解析　解法一:從2位女生,4位男生中選3人,且至少有1位女生入選的情況有以下2種:①2女1男:有=4種選法;②1女2男:有=12種選法,故至少有1位女生入選的選法有4+12=16種.解法二:從2位女生,4位男生中選3人有=20種選法,其中選出的3人都是男生的選法有=4種,所以至少有1位女生入選的選法有20-4=16種.

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