?專題九　平面解析幾何
一、單項(xiàng)選擇題
1.(2022山西晉城重點(diǎn)中學(xué)4月月考,6)以(a,1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0與2x-y-6=0同時相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
答案　A　由已知得圓心到兩直線的距離d=|2a?1+4|5=|2a?1?6|5,解得a=1,d=5,所以半徑r=5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=5.
2.(2023屆廣西桂林月考,11)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(4,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若M(1,-1),且OA+OB=2OM,則E的方程為(　　)
A.x248+y232=1 B.x236+y220=1
C.x224+y28=1 D.x220+y24=1
答案　C　∵OA+OB=2OM,∴M為AB的中點(diǎn).
∵過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且M(1,-1),∴kAB=kMF=?1?01?4=13.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,則
x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,由點(diǎn)差法得-b2a2=y1?y2x1?x2·y1+y2x1+x2=kAB·?22,
∴b2a2=13,
又∵a2=b2+c2,c=4,
∴b2=8,a2=24,∴E的方程為x224+y28=1.故選C.
3.(2020課標(biāo)Ⅲ,5,5分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
答案　B　由拋物線的對稱性不妨設(shè)D在x軸上方、E在x軸下方.由x=2,y2=2px得D(2,2p),E(2,-2p),∵OD⊥OE,∴OD·OE=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為12,0,故選B.
4.(2023屆南寧三中摸底,10)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,點(diǎn)P(a,b)滿足∠OBF=∠BPO(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓C的離心率是(　　)
A.5+12 B.5?12 C.22 D.24
答案　B　依題意可得B(0,b),F(c,0),A(a,0),P(a,b),所以O(shè)B⊥BP,又∠OBF=∠BPO,∠BOF=∠OBP=90°,所以△OBF∽△BPO,所以O(shè)BBP=OFOB,即ba=cb,所以b2=ac,又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,所以1-e2=e,解得e=?1+52或e=?1?52(舍去).故選B.
5.(2023屆山西大同調(diào)研一,12)已知F1,F2為雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在E上,∠F1PF2的平分線交x軸于點(diǎn)D,若∠F1PF2=π3,|PF1|+|PF2|=8,且PD=3,則雙曲線的方程為(　　)
A.x22?y28=1 B.x28?y22=1
C.x26?y24=1 D.x24?y26=1
答案　B　不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,設(shè)|PF1|=n,|PF2|=m,則n-m=2a,又m+n=8,所以n=a+4,m=4-a.
由∠F1PF2=π3,PD平分∠F1PF2,得∠F1PD=∠F2PD=π6,又PD=3,S△PF1F2=S△PF1D+S△PF2D,∴12·|PF1|·|PF2|·sinπ3=12|PF1|·|PD|·sinπ6+12|PF2|·|PD|·sinπ6,整理得m·n=m+n,即(4-a)(4+a)=8,解得a2=8.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncosπ3=(m+n)2-3mn=40.∴c2=10,則b2=c2-a2=2,故所求的雙曲線方程為x28?y22=1.故選B.
6.(2023屆山西大學(xué)附中9月診斷,4)若直線x=4y+7與雙曲線C:ax2-y2=1(a>0)的一條漸近線平行,則a的值為(　　)
A.116 B.14 C.4 D.16
答案　A　由題意可得雙曲線C的漸近線方程為y=±ax,直線x=4y+7的斜率為14.
∵直線x=4y+7與雙曲線C的一條漸近線平行,∴a=14,解得a=116.故選A.
7.(2023屆河南洛陽期中,9)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)P在拋物線C上,且PA⊥PF,則|PF|=(　　)
A.5?12 B.5-2 C.5-1 D.3-5
答案　C　因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上,所以設(shè)Py024,y0.
由拋物線C:y2=4x可得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,故A(-1,0).因?yàn)镻A⊥PF,所以PA⊥PF.
因?yàn)镻A=?1?y024,?y0,PF=1?y024,?y0,
所以PA·PF=y0416?1+y02=0,解得y02=45-8(舍負(fù)),所以P的橫坐標(biāo)為5-2.
由拋物線的定義可得|PF|=5?2+1=5-1.故選C.
8.(2022安徽安慶二模,4)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在拋物線上.若|AF|=3,則直線AF的斜率為(　　)
A.±2 B.±22 C.2 D.22
答案　B　設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),則|AF|=x0+1=3,故x0=2,所以y0=±22,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,22)或(2,-22),又F(1,0),所以直線AF的斜率為±22.故選B.
一題多解:設(shè)直線AF的傾斜角為θ(0

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