?9.3　雙曲線及其性質(zhì)
基礎(chǔ)篇
考點一　雙曲線的定義及標準方程
1.(2021湖北十堰月考,3)方程x22+m?y21?m=1表示的曲線是雙曲線,則m的取值范圍是(　　)
A.-20)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點,則C的方程為　(　　)
A.x28?y210=1　　　　B.x24?y25=1
C.x25?y24=1　　　　D.x24?y23=1
答案　B　
5.(2023屆海南瓊海嘉積中學(xué)月考,13)雙曲線x2-my2=1的漸近線方程為y=±2x,則m=　　　　.?
答案　14


考點二　雙曲線的幾何性質(zhì)
1.(2021全國甲文,5,5分)點(3,0)到雙曲線x216?y29=1的一條漸近線的距離為(　　)
A.95　　　　B.85　　　　C.65　　　　D.45
答案　A　
2.(2023屆長春六中月考,8)若雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,則其漸近線方程為(　　)
A.y=±2x　　　　B.y=±12x
C.y=±3x　　　　D.y=±5x
答案　A　
3.(2019課標Ⅲ理,10,5分)雙曲線C:x24?y22=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點.若|PO|=|PF|,則△PFO的面積為　(　　)
A.324　　　　B.322　　　　C.22　　　　D.32
答案　A　
4.(2020課標Ⅱ,文9,理8,5分)設(shè)O為坐標原點,直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點.若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
答案　B　
5.(多選)(2023屆河北邯鄲摸底,10)已知雙曲線C:x2a2?y23=1(a>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為2,P為C上一點,則(　　)
A.雙曲線C的實軸長為2
B.雙曲線C的一條漸近線方程為y=3x
C.|PF1|-|PF2|=2
D.雙曲線C的焦距為4
答案　ABD　
6.(多選)(2023屆重慶八中入學(xué)考,11)定義:以雙曲線的實軸為虛軸,虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線.以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是(　　)
A.與x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)共軛的雙曲線是y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)
B.互為共軛的雙曲線的漸近線不相同
C.互為共軛的雙曲線的離心率為e1、e2,則e1e2≥2
D.互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上
答案　CD　
7.(多選)(2021廣東揭陽4月聯(lián)考,9)已知一組直線x±2y=0,則以該組直線為漸近線的雙曲線的方程可能是(　　)
A.x2-4y2=1　　　　B.4y2-x2=1
C.x2-y24=1　　　　D.x24-y2=1
答案　ABD　
8.(2022河北邯鄲一中開學(xué)考,8)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為54,O為坐標原點,右焦點為F,過點F作一條漸近線的垂線,垂足為P,若△OPF的周長為12,則雙曲線的實軸長為(　　)
A.8　　　　B.4　　　　C.22　　　　D.2
答案　A　
9.(多選)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲線C:mx2+ny2=1.(　　)
A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上
B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為n
C.若mn0,則C是兩條直線
答案　ACD　
10.(2023屆安徽十校聯(lián)考,14)已知雙曲線E:x2a2?y29=1(a>0)的漸近線方程為y=±3x,則雙曲線E的焦距等于　　　　.?
答案　43
11.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為　　　　.?
答案　y=±3x
12.(2021全國乙理,13,5分)已知雙曲線C:x2m-y2=1(m>0)的一條漸近線為3x+my=0,則C的焦距為　　　　.?
答案　4
13.(2020北京,12,5分)已知雙曲線C:x26?y23=1,則C的右焦點的坐標為　　　　;C的焦點到其漸近線的距離是　　　　.?
答案　(3,0)　3
14.(2021全國乙文,14,5分)雙曲線x24?y25=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為　　.?
答案　5
15.(2022北京,12,5分)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33x,則m=　　　　.?
答案　-3
考點三　直線與雙曲線的位置關(guān)系
1.(2022河北滄州一中月考,8)已知F1,F2分別是雙曲線C:x23-y2=1的左,右焦點,點M在直線x-y+3=0上,則|MF1|+|MF2|的最小值為(　　)
A.213　　　　B.6　　　　C.26　　　　D.5
答案　C　
2.(2021湘豫名校4月聯(lián)考,10)已知雙曲線C:x216?y29=1的右焦點為F,過原點O的直線與雙曲線C交于A,B兩點,且∠AFB=60°,則△OBF的面積為(　　)
A.92　　　　B.932　　　　C.32　　　　D.332
答案　D　
3.(多選)(2023屆湖北摸底聯(lián)考,12)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,左、右頂點分別為A1,A2,則(　　)
A.過點A2與C只有一個公共點的直線有2條
B.若C的離心率為5,則點F關(guān)于C的漸近線的對稱點在C上
C.過F的直線與C的右支交于M,N兩點,則線段MN的長度有最小值
D.若C為等軸雙曲線,點P是C上異于頂點的一點,且|A1A2|=|PA2|,則∠PA1A2=π6
答案　BCD　
4.(2023屆浙江嘉興一中期中,21)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),O為坐標原點,離心率e=2,點M(5,3)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)如圖,若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q,P,且OP·OQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.

解析　(1)由離心率e=2,點M(5,3)在雙曲線上,
可得ca=2,5a2?3b2=1,結(jié)合a2+b2=c2,
解得a=2,b=23,c=4,
則雙曲線的方程為x24?y212=1.
(2)由OP·OQ=0,可得OP⊥OQ,
設(shè)OP的方程為y=kx,則OQ的方程為y=-1kx,
由y=kx,3x2?y2=12解得x2=123?k2,y2=12k23?k2,
則|OP|2=12(1+k2)3?k2,
將k換為-1k,可得|OQ|2=12(1+k2)3k2?1,133),由y=kx+b,3x2?y2?3=0消y得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,由Δ>0,得b2+3-k2>0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2kb3?k2,x1x2=?b2?33?k2,
∴x1-x2=(x1+x2)2?4x1x2=23(b2+3?k2)3?k2,
設(shè)點M的坐標為(x0,y0),則直線PM、QM的方程分別為y-y0=-3(x-x0),y-y0=3(x-x0),
故y1?y0=?3(x1?x0),(?)y2?y0=3(x2?x0),(??)
(*)-(**)得y1-y2=-3(x1+x2-2x0),
即k(x1-x2)=-3(x1+x2-2x0),
解得x0=kb2+3?k2+kb3?k2,
又(*)+(**)得y1+y2-2y0=3(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,∴k(x1+x2)+2b-2y0=3(x2-x1),
解得y0=3b2+3?k2+3b3?k2=3kx0.
故點M的軌跡方程為y=3kx,其中k為直線PQ的斜率.
若選擇①②作為條件,③作為結(jié)論,
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨設(shè)點A在漸近線y=3x上,
則由y=k(x?2),y=3x,得x=2kk?3,y=23kk?3,
∴A2kk?3,23kk?3,同理B2kk+3,?23kk+3,
又由y=k(x?2),y=3kx,得x=2k2k2?3,y=6kk2?3,∴M2k2k2?3,6kk2?3,
∴xM=xA+xB2,yM=yA+yB2,即M為AB的中點,
∴|MA|=|MB|.
若選擇①③作為條件,②作為結(jié)論,
當直線AB的斜率不存在時,點M即為F(2,0),此時M不在直線y=3kx上,不符合題意,舍去;
當直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=m(x-2),m≠0,±3.不妨設(shè)點A在漸近線y=3x上,且A(xA,yA),B(xB,yB).
由y=m(x?2),y=3x,得x=2mm?3,y=23mm?3,
∴A2mm?3,23mm?3,
同理B2mm+3,?23mm+3,
此時xM=xA+xB2=2m2m2?3,yM=yA+yB2=6mm2?3,
∵點M在直線y=3kx上,
∴6mm2?3=3k·2m2m2?3,解得k=m,故PQ∥AB.
若選擇②③,作為條件,①作為結(jié)論,
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨設(shè)點A在漸近線y=3x上,
則yA=k(xA?2),yA=3xA,解得xA=2kk?3,yA=23kk?3,
同理,得xB=2kk+3,yB=-23kk+3,
設(shè)線段AB的中點為C(xC,yC),
則xC=xA+xB2=2k2k2?3,yC=yA+yB2=6kk2?3,
由于|MA|=|MB|,故點M在線段AB的中垂線上,
即點M在直線y-yC=-1k(x-xC)上,
將該直線方程與y=3kx聯(lián)立,得xM=2k2k2?3=xC,yM=6kk2?3=yC,即點M恰為線段AB的中點,
故點M在直線AB上.

綜合篇
考法一　求雙曲線的標準方程
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022天津河西期末,4)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=20y的焦點重合,且雙曲線上的一點P到雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值等于6,則雙曲線的標準方程為(　　)
A.x29?y216=1　　　　B.x216?y29=1
C.y29?x216=1　　　　D.y216?x29=1
答案　C　
2.(2022海南瓊海嘉積三中月考,5)雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率為5,且過A(4,43),則雙曲線方程為(　　)
A.x2-y24=1　　　　B.x26?y224=1
C.x28?y248=1　　　　D.x24?y216=1
答案　D　
3.(2020天津,7,5分)設(shè)雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),過拋物線y2=4x的焦點和點(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與l垂直,則雙曲線C的方程為(　　)
A.x24?y24=1　　　　B.x2?y24=1
C.x24-y2=1　　　　D.x2-y2=1
答案　D　
4.(2022天津和平模考,4)在平面直角坐標系中,雙曲線C過點P(1,1),且其兩條漸近線的方程分別為2x+y=0和2x-y=0,則雙曲線C的方程為(　　)
A.x23?4y23=1
B.4x23?y23=1
C.4x23?y23=1或x23?4y23=1
D.4y23?x23=1
答案　B　
5.(2021湖南永州二模,15)已知O為坐標原點,雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為355,從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線,垂足為A,若△AFO的面積為5,則雙曲線C的方程為　　　　　　.?
答案　x25?y24=1
6.(2022廣州二模,13)寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②③的雙曲線方程:　　　　.?
①中心在原點,焦點在y軸上;②一條漸近線方程為y=2x;③焦距大于10.
答案　y224?x26=1(答案不唯一)
7.(2023屆湖北起點考試,21)已知雙曲線C與雙曲線x212?y23=1有相同的漸近線,且過點A(22,-1).
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)已知D(2,0),E,F是雙曲線C上不同于D的兩點,且DE·DF=0,DG⊥EF于G,證明:存在定點H,使得|GH|為定值.
解析　(1)因為雙曲線C與雙曲線x212?y23=1有相同的漸近線,所以設(shè)雙曲線C的方程為x2-4y2=λ(λ≠0).
因為雙曲線C過點A(22,-1),所以(22)2-4×(-1)2=λ,解得λ=4,
所以雙曲線C的標準方程為x24-y2=1.
(2)證明:(i)當直線EF的斜率存在時,設(shè)EF:y=kx+m,E(x1,y1),F(x2,y2),聯(lián)立y=kx+m,x24?y2=1,消y整理得(4k2-1)x2+8kmx+4(m2+1)=0,
由Δ=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0,得4k2-m2-10)的一條漸近線方程為x+2y=0,則C的離心率為(　　)
A.52　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.5
答案　A　
2.(2019課標Ⅰ文,10,5分)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為(　　)
A.2sin 40°　　　　B.2cos 40°
C.1sin50°　　　　D.1cos50°
答案　D　
3.(2021全國甲理,5,5分)已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為(　　)
A.72　　　　B.132　　　　C.7　　　　D.13
答案　A　
　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(2022江蘇百校大聯(lián)考,4)圖1所示的為陜西歷史博物館收藏的國寶——金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范之作.如圖2,該杯的主體部分可以近似看作是由雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右支、y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體.若該金杯主體部分的上杯口外直徑為1033,下底座外直徑為2393,杯高為6,且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍,則雙曲線C的離心率為(　　)

A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　A　
5.(2022江蘇海門開學(xué)考,7)從某個角度觀察籃球(如圖1),可以得到一個對稱的平面圖形,如圖2所示,籃球的外輪廓為圓O,將籃球表面的線看成坐標軸和雙曲線,若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分,AB=BC=CD,則該雙曲線的離心率為(　　)

A.2　　　　B.62　　　　C.355　　　　D.477
答案　D　
6.(2020江蘇,6,5分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2a2?y25=1(a>0)的一條漸近線方程為y=52x,則該雙曲線的離心率是　　　　.?
答案　32
7.(2023屆廣東佛山順德教學(xué)質(zhì)量檢測一,15)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為l:y=bax,左、右焦點分別是F1,F2,過點F2作x軸的垂線與漸近線l交于點A,若∠AF1F2=π6,則雙曲線C的離心率為　　　　.?
答案　213
8.(2023屆湖北名校聯(lián)盟聯(lián)合測評,14)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,過F1作圓O:x2+y2=a2的切線l,l與圓O切于點B,并與雙曲線的右支交于點C,若|BC|=|CF2|,則雙曲線的離心率為　　　　.?
答案　5
9.(2023屆廣西北海一模,15)如圖,已知雙曲線M:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F2,正六邊形ABF2CDF1的一邊AF1的中點恰好在雙曲線M上,則雙曲線M的離心率是　　　　.?

答案　13+13
10.(2022浙江,16,4分)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F,過F且斜率為b4a的直線交雙曲線于點A(x1,y1),交雙曲線的漸近線于點B(x2,y2)且x10)的右焦點,A為C的右頂點,B為C上的點,且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為　　　　.?
答案　2
12.(2022長沙雅禮中學(xué)月考一,15)已知F為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,過F作與x軸垂直的直線交雙曲線于A,B兩點,若以AB為直徑的圓過坐標原點,則該雙曲線的離心率為　　　　.?
答案　5+12
13.(2021廣州一模,15)已知圓(x-1)2+y2=4與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線相交于四個點,按順時針排列依次記為M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,則C的離心率為　　　　.?
答案　263
14.(2021東北三省三校第一次聯(lián)考,15)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點(P在第二象限,Q在第一象限),F1P=2PQ,F1Q·F2Q=0,則雙曲線C的離心率為　　　　.?
答案　4

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