?瀘縣一中高2021級(jí)高三上學(xué)期開學(xué)考試
數(shù)學(xué)（理工類）
本試卷共4頁.考試結(jié)束后，只將答題卡交回
第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，從而得到，再由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即可求出．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
故選：B.
2. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的解法化簡(jiǎn)集合，求解函數(shù)定義域求出集合，再利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可得出結(jié)論．
【詳解】由，即，解得，
所以，又，
，，
故選：C．
3. 若x，y滿足約束條件，則最小值為（ ）
A 1 B. 7 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解．
【詳解】作出可行域，如圖，

作直線，直線中是直線的縱截距，
代入得，即．
平移直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最小值1．
故選：A．
4. 已知命題，命題，則下列命題是真命題的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別判斷命題與命題的真假，從而結(jié)合“且或非”的真假性即可得解.
【詳解】對(duì)于命題，將代入，得，滿足要求，
故為真命題，為假命題；
對(duì)于命題，取，則，不滿足要求，
故為假命題，為真命題；
所以為假命題，為假命題，為真命題，為假命題.
故選：C.
5. 近期，我國多地紛紛進(jìn)入“甲流”高發(fā)期，某地、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，且到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)是到醫(yī)院的四倍.現(xiàn)從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率是（ ）
A. 0.785 B. 0.666 C. 0.592 D. 0.235
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，
因?yàn)?、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，
所以從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，
則此人未感染“甲流”的概率.
故選：B
6. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)“三角垛”，共有40層，各層小球個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，第一層放1個(gè)小球，第二層放3個(gè)小球，第三層放6個(gè)小球，第四層放10個(gè)小球，，則第40層放小球的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1640 B. 1560 C. 820 D. 780
【答案】C
【解析】
【分析】首先由二階等差數(shù)列的定義，得到，再求和得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求.
【詳解】設(shè)第層放小球的個(gè)數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以．
故，
故．
故選：C．
7. 已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，可得對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，可得只需即可，解出不等式即可.
【詳解】由題意可得，對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)遞減.則由，可得出，即，
即，解得或
所以，不等式的解集為.
故選：B.
8. “ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時(shí)，學(xué)習(xí)率為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A. 75 B. 74 C. 73 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】由題設(shè)可得，則，
所以，即，
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為次．
故選：C．
9. 已知銳角滿足，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
分析】先根據(jù)求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根據(jù)兩角和得正切公式即可得解.
【詳解】由，得，
即，解得，
又為銳角，所以，
又，即，
解得（舍去），
所以，所以.
故選：D.
10. 已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.
【詳解】
不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，
令，解得，即.
設(shè)，又，，，
由可得：，解得，
又在橢圓上，即，
整理得，解得.
故選：A
11. 已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，若過點(diǎn)和的直線在軸上的截距為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 2 B. C. 或 D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】由題意有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求參數(shù)值.
【詳解】由題意有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，
所以，即或，
由，即，
而，
同理有，
所以、均在上，
令，則，得，
綜上，（舍）
故選：B
12. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由，可得，再由，再作商法，得，從而得解.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br /> 又，，所以，所以，故，
因?yàn)?，又因?yàn)椋?br /> 故，從而有，綜上所述：.
故選：B.
第II卷 非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 的展開式中的系數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】的通項(xiàng)為，
令，得的展開式中的系數(shù)是．
故答案為：
14. 若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．
【詳解】令，，則，，
設(shè)，則曲線在處切線為，
設(shè)，則曲線在處切線為，
由題意，消去得，
由題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，
又當(dāng)時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以，曲線與曲線有兩條公切線時(shí)，的值為．
故答案為：．
15. 在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.
【詳解】由，
得，
則，
所以，
則，
當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值為.

故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將用表示，再平方是解決本題的關(guān)鍵.
16. 已知，給出以下命題：
①當(dāng)時(shí)，存在，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
②當(dāng)時(shí)，存在，有三個(gè)不同的零點(diǎn)
③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)
其中所有正確的命題序號(hào)是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】當(dāng)，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求得在時(shí)的單調(diào)性，確定，利用導(dǎo)數(shù)可求得，可確定時(shí)在上有唯一零點(diǎn)；代回時(shí)驗(yàn)證，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定在定義域內(nèi)共有兩個(gè)不同零點(diǎn)，知①正確；當(dāng)，時(shí)，易知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，取，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可說明在定義域內(nèi)共有三個(gè)不同零點(diǎn)，知②正確；根據(jù)解析式驗(yàn)證知，知③正確；當(dāng)時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可知時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，通過反例時(shí)，有三個(gè)不同零點(diǎn)可知④錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
，即當(dāng)時(shí)，，則在上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)，時(shí)，，，
在上單調(diào)遞減，
，，，使得，
在有唯一零點(diǎn)；
則當(dāng)，時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，，
在上單調(diào)遞減；又，在上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，；
令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
不妨取，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，，
，，使得，
即在上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)和；
則當(dāng)，時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，
，
對(duì)于任意的，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，③正確；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，若，，；
則恒成立，在上單調(diào)遞增，
又，在上有唯一零點(diǎn)；
若，，；
則恒成立，在上單調(diào)遞減，
又，在上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，若，，；
令，解得：（舍）或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
不妨取，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
；
又，
，使得，又，恒成立，
當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題；解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式，結(jié)合變量的范圍討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到結(jié)論.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分.
17. 如圖，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.

（1）求的面積；
（2）求的值及的長(zhǎng)度.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合再根據(jù)面積公式求解即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系與二倍角公式可得，然后根據(jù)，利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.
【小問1詳解】
∵，，
，，;
【小問2詳解】
，，，則.
，，

，，
又，在中，

，
由正弦定理可知，，
.
18. 2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥四號(hào)探測(cè)器，開啟了月球探測(cè)的新旅程.為了解廣大市民是否實(shí)時(shí)關(guān)注了這一事件，隨機(jī)選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個(gè)樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中實(shí)數(shù)的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；
（2）為進(jìn)一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人.從這6人中任意抽取3人了解情況.記這3人中年齡在的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1），眾數(shù)為
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率之和等于即可求得，由頻率分布直方圖即可得出眾數(shù)；
（2）先根據(jù)分層抽樣求出各區(qū)間的人數(shù)，再寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.
【小問1詳解】
由，解得，
眾數(shù)為；
【小問2詳解】
的人數(shù)為，
的人數(shù)為，
的人數(shù)為，
則可取，
，，
，，
所以分布列為










（人）.
19. 圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．

（1）求證：平面平面；
（2）在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，交于，可證，平面，所以，平面平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出的位置，再用空間向量求平面與所成角的余弦值．
【小問1詳解】
證明：在圖1中，連接，交于，

，
所以，
所以，四邊形是菱形，
所以，且．
在圖2中，滿足，
所以，所以，，
又平面，所以，平面，
又平面，所以，平面平面；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，得，
設(shè)，在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，
所以
解得或（舍），
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，得，
設(shè)平面與平面的平面角為，

所以，平面與所成角的余弦值為
20. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn).
（1）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，求取值范圍；
（2）設(shè)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）易知，設(shè)，有，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解；
（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在軸右側(cè)，由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立求解；（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，則，結(jié)合韋達(dá)定理線求得，再由BD的中垂線，由斜率關(guān)系得到求解.
【小問1詳解】
在橢圓中，，
設(shè)，則有，即，
于是，
顯然，所以的取值范圍是.
【小問2詳解】
①顯然直線不垂直于軸，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在軸右側(cè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則直線方程為：，由消去得：，于是得，點(diǎn)，直線的方程為，
（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去得：，
則，即，，可得
因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則，有，
而，于是，

即，整理得，
從而，
化為，解得，
又線段的中垂線過點(diǎn)及點(diǎn)，因此，即，
解得，而當(dāng)時(shí)，成立，即，
因此直線的方程為.
21. 設(shè)函數(shù).
（1）從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
①當(dāng)時(shí)，；
②在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且隨著的增大而增大.
【答案】（1）選①；選②
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）若選①，可得在上單調(diào)遞增，然后討論當(dāng)時(shí)，不符合要求，即可得到結(jié)果；若選②，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分與討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，先證得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明.
【小問1詳解】
令，則，所以，則，
令，則，
選①：當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，說明在上單調(diào)遞增，
所以，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，說明在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.
選②：在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
從而，由在上恒成立，得，
令，說明在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，
當(dāng)時(shí)，，說明在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，說明在上單調(diào)遞減，
所以為極大值點(diǎn).
由（1）有，則，
所以當(dāng)時(shí)，有，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以使得.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以為極小值點(diǎn)，
綜上，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
其中滿足，所以，
設(shè)，則，
由（1）知，所以單調(diào)遞增，
所以隨著的增大而增大，又，
所以，故隨著的增大而增大.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值問題處理.
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
（選修4-4 極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
22. 在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸，取同樣的單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系xoy，已知曲線的普通方程為.
（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，且曲線與曲線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可求解；
（2）設(shè)出曲線的參數(shù)方程，與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為可化為，
即，將代入可得，
的直角坐標(biāo)方程為.
又因?yàn)榍€的普通方程為可化為，
將代入可得，的極坐標(biāo)方程，
所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，
曲線的極坐標(biāo)方程.
【小問2詳解】
直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
將（為參數(shù)）代入得：.
顯然，設(shè)點(diǎn)在直線上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，
則，
與的夾角為，
.
（選修4-5 不等式選講）
23. 已知函數(shù)
（1）求不等式的解集；
（2）若函數(shù)的最小值為m，且正數(shù)a，b，c滿足，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）去絕對(duì)值后，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得答案；
（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出，再根據(jù)基本不等式可證不等式成立.
【小問1詳解】
由題意得：，∴，即，∴，
∴不等式的解集為．
【小問2詳解】
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
∴函數(shù)最小值為1，即．
∴，
因?yàn)椋?br /> 所以

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.
∴不等式得證．



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