2022級高二上學(xué)期校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題2023.8考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 設(shè)集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解出N的解集，利用兩個集合的交集的定義求解即可.【詳解】因為，故，故選.2. 若命題“，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B. 或C.  D. 或【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化存在量詞命題的否定為真命題，列式求解.【詳解】命題“，使得”是假命題，即“成立”是真命題，故，解得.故選：C.3. 用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出區(qū)間的端點的函數(shù)值，再根據(jù)零點的存在性定理即可得出答案.【詳解】令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，所以用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是.故選：B.4. 函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先判斷的奇偶性，再根據(jù)時的函數(shù)值的符號判斷圖象.【詳解】因為，，所以，故函數(shù)的為奇函數(shù)，排除BD；又 所以，故A錯誤.故選：C5. 如圖，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（接近點），點為的中點，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可推得，，，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可得出結(jié)果.【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點，所以，，.所以，，所以，.故選：B.6. 如圖，在棱長為a的正方體中，點E為棱的中點，則點A到平面的距離為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面垂直可得面面垂直，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得的長即為點A到平面的距離，即可利用等面積法求解.【詳解】在正方體中，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過點A作于F，連接，如圖，因平面平面，平面,于是平面，則的長即為點A到平面的距離，點E為棱的中點，在中，，，即，解得，所以點A到平面的距離為，故選:C.  7. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可知函數(shù)具有周期性和對稱性，從而可得，，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由得，所以，又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，，又在內(nèi)單調(diào)遞減，，即.故選：D.8. 已知，，，，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，，即可根據(jù)和差角公式求解.【詳解】，因為，所以，因為，當(dāng)在第二象限時，由于，又在上遞減，且，不符合題意．所以在第三象限，因為，所以．因為，所以，則．因為，所以．所以，即．故選：C．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A. 函數(shù)有且僅有一個零點0 B. C. 在上單調(diào)遞增 D. 在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性和零點．【詳解】由函數(shù)，可得有兩個零點0、1，故A錯誤；由于，故B正確；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時，所以上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故D錯誤．故選：BC．10. 下列命題中正確的是（    ）A. 是的充分不必要條件B. 是的既不充分也不必要條件C. 是冪函數(shù)在上是增函數(shù)的充分不必要條件D. 函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)的一個必要不充分條件是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系可判斷A，由特殊值法可判斷不等式求解B，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A， 則，反之，若，則，故是的充要條件，A錯誤；對于B， 不能得到，比如，而也不能得到，比如，故是的的既不充分也不必要條件，B正確；對于C，若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則需要，故是冪函數(shù)在上是增函數(shù)的充要條件，C錯誤；對于D，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則需要，故是的一個必要不充分條件，故D正確.故選：BD11. 在中，角，，所對的邊分別是，，，下列敘述正確的是（    ）A. 若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個B. 若，則為鈍角三角形C. 若，則為等腰三角形D. 若不是直角三角形，則【答案】ABD【解析】【分析】由，又可判斷A；由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化和余弦定理可判斷B；由利用正弦邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得或可判斷C；由三角形內(nèi)角性質(zhì)及和角正切公式可判斷D．【詳解】對于A，由，則，又，知滿足條件的三角形只有一個，故A正確；對于B，，即，為鈍角，故B正確；對于C，，即，由正弦定理可得，則，所以或，故C錯誤．對于D，因為不是直角三角形，所以，，均有意義，又，所以，所以，故D正確；故選：ABD．12. 已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（    ）A. 在翻折的過程中，直線、可能相互垂直B. 在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為C. 當(dāng)時，若為線段上一動點，則的最小值為D. 在翻折的過程中，三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】取，取的中點，連接、，證明出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；求出三棱錐高的最大值，結(jié)合錐體體積公式可判斷B選項；將、展開在同一平面內(nèi)，由當(dāng)、、三點共線時，取最小值，并求之，可判斷C選項；求出三棱錐表面積的最大值，利用等體積法求出此時三棱錐的內(nèi)切球半徑，利用球體表面積公式可判斷D選項.【詳解】如圖，在翻折過程中構(gòu)成四面體，和是正三角形，取中點，連接、，對于A，，則在翻折過程中，的范圍是，當(dāng)時，是正四面體，取的中點，連接、，    因為、均為等邊三角形，則，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，則A正確；對于B，三棱錐的底面積是定值，因為、均為等邊三角形，為的中點，則，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，則平面平面，過作在平面內(nèi)作直線于，  因為平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合時取“”，因此，，B錯誤；對于C，當(dāng)時，三棱錐為正四面體，將、展開在同一平面內(nèi)，顯然四邊形為菱形，，  當(dāng)、、三點共線時，此時，為、的中點，此時，，則取得最小值，故C正確；對于D，三棱錐中，，而，即三棱錐的表面積，而在翻折過程中，的范圍是，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，因此得三棱錐的表面積的最大值為，此時，等腰的底邊上的高，，從而得，設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為，設(shè)三棱錐的表面積為，由得取最大值時的，此球的表面積為，D正確.故選：ACD．【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知向量，，且，則實數(shù)m的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式，即可求解.【詳解】因為，所以，得.故答案為：14. 若，則________．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式結(jié)合弦化切化簡所求代數(shù)式，可得結(jié)果.【詳解】因為，則，.故答案為：.15. 已知、，則使函數(shù)有兩不相等的零點的概率為________．【答案】##【解析】【分析】比較、、、的大小，分析可知、均為正數(shù)，由函數(shù)有兩不相等的零點，可得出，可得出，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】因，，，，，所以，，因為、，則、均為正數(shù)，以為一個樣本點，因為函數(shù)有兩個不相等的零點，則，可得，所有基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共個基本事件，其中，滿足函數(shù)有兩個不等的零點的基本事件有：、、、、、，共個基本事件，故所求概率為.故答案為：.16. 四邊形中，點，分別是，的中點，，，，點滿足，則的最大值為________．【答案】1【解析】【分析】利用向量線性表示、向量數(shù)量積公式以及余弦的二倍角公式即可解決問題.【詳解】如圖所示：    因為，，又點是的中點，所以，所以，，又，所以，又點是的中點，所以，因為，所以，即，設(shè)，，則，所以，所以，所以當(dāng)即時，有最大值1，即有最大值為1．故答案為：1四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. 函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將圖象向左平移個單位，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，求在上的值域．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象可由周期得，進(jìn)而代入最低點即可求解，（2）根據(jù)平移和伸縮變換可得，進(jìn)而由整體法即可求解函數(shù)的最值.【小問1詳解】由圖象知，，即，又，∴，∴，則，又函數(shù)過點，所以，所以，，解得，，又，所以，即．【小問2詳解】若將的圖象向左平移個單位，得到，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象即，當(dāng)，則，，則當(dāng)或時，函數(shù)取得最大值，最大值，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為．即在上的值域為．18. 已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的奇偶性并予以證明；（2）若存在使得不等式成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析    （2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷并證明即可；（2）轉(zhuǎn)化問題為，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：，由，解得，的定義域為，關(guān)于原點對稱，，為偶函數(shù).【小問2詳解】若存在使得不等式成立，，而，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，實數(shù)的最大值為1.19. 如圖，在平面四邊形中，，，.  （1）求；（2）若，，，四點共圓，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可求得，進(jìn)而得解；（2）由題意知，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可知，進(jìn)而利用面積公式求解即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，所以.又，所以，則【小問2詳解】因為，，，四點共圓，所以，.在中，由余弦定理得，即，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的面積.又，則四邊形的面積.故四邊形面積的最大值為.20. 為了加強(qiáng)居民對電信詐騙的認(rèn)識，提升自我防范的意識和能力，某社區(qū)開展了“遠(yuǎn)離電信詐騙，保護(hù)財產(chǎn)安全”宣傳講座．已知每位居民是否被騙相互獨立，宣傳前該社區(qū)每位居民每次接到詐騙電話被騙的概率為0.1．（1）假設(shè)在宣傳前某一天，該社區(qū)有3位居民各接到一次詐騙電話，求該社區(qū)這一天有人被電信詐騙的概率；（2）根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，居民每接受一次“防電詐”宣傳，其被騙概率降低為原來的10%，假設(shè)該社區(qū)每天有10位居民接到詐騙電話，請問至少要進(jìn)行多少次“防電詐”宣傳，才能保證這10位居民都不會被騙？（我們把概率不超過0.01的事件稱為小概率事件，認(rèn)為在一次試驗中小概率事件不會發(fā)生）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）0.271    （2）2次【解析】【分析】（1）用概率乘法即可得出被電信詐騙的概率；（2）求出宣傳次之后每個人每次接到電話被騙的概率為，10位居民有人被騙，則，解不等式可得，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【小問1詳解】記事件：該社區(qū)這一天有人被騙，則，∴該社區(qū)這一天有人被電信詐騙的概率為0.271．【小問2詳解】設(shè)宣傳次之后每個人每次接到電話被騙的概率為，事件：10位居民有人被騙，則．即，∴∴∴  ∴又函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，即至少要宣傳2次才能保證這10位居民都不會被騙．21. 已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點，點在線段上．    （1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）由題意得，取的中點，則，因為平面平面，所以平面，，又，所以平面，從而，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）由平面，故為與平面所成的角，可求得，由題意可得為線段的中點，取的中點為，則，所以平面，則，過點作，垂足為，則，所以為二面角的平面角，求解即可．【小問1詳解】因為，，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以．取的中點，連接，，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面．  【小問2詳解】由（1）知，平面，故為與平面所成的角，∴，∴，又平面，平面，所以，，，∴，∴，即為線段的中點．取的中點為，連接，因為為線段的中點，所以，，又平面，所以平面，平面．所以，過點作，垂足為，連接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以為二面角的平面角．在等邊三角形中，，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由，即，解得．因為平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值為．22. 已知．（1）若，求函數(shù)在上的最小值；（2）若對于任意的實數(shù)恒成立，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）    （2）    （3）詳見解析.
 【解析】【分析】（1）將代入后，利用基本不等式可求得其最小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為對于任意的實數(shù)恒成立，然后利用絕對值三角不等式求出的最大值，使其最大值小于等于1，從而可求出a的取值范圍；（3）先求出的表達(dá)式，利用零點分段法，分和兩種情況討論求解函數(shù)的最小值【小問1詳解】，且時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即函數(shù)的最小值為；【小問2詳解】對于任意的實數(shù)恒成立，即對于任意的實數(shù)恒成立，即對于任意的實數(shù)恒成立，即對于任意的實數(shù)恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)與同號時取等號，∴，則，∴取值范圍是；【小問3詳解】的范圍是．，①當(dāng)時，由（2）得，故當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．當(dāng)時，的范圍不符合．②當(dāng)時，；．畫出和的大致圖象如下圖所示：  故當(dāng)，即時，．當(dāng)，即時，（ⅰ）時，．（ⅱ），．綜上所述：時，；時，；時，；時，．

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