2022級高一下學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題2023.4考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知求出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】根據(jù)已知可得，，所以，.故選：D.2. 已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義求得答案.【詳解】由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.故選：C.3. 函數(shù)部分圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊區(qū)間上的正負(fù)即可結(jié)合圖象，利用排除法求解.【詳解】由得，所以為奇函數(shù)，故排除B,又當(dāng)時(shí)， 故，此時(shí)排除A,當(dāng)時(shí)， 故，此時(shí)排除D,故選：C4. 如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，且．若，則（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義，化簡整理即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，整理可得.故選：A.5. 將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長度可得的的圖象，從而可求出的解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，所以將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得，再向右平移個(gè)單位長度可得的圖象.故選：B.6. 已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 函數(shù)圖像關(guān)于對稱B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增C. 若，則D. 函數(shù)的最小值為【答案】A【解析】【分析】本題首先可以去絕對值，將函數(shù)變成分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式繪出函數(shù)圖像，最后結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案.【詳解】由題意可得： ，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：故對稱軸為，A正確；由圖像易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值，D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)的對稱軸、三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.7. 如圖等腰直角三角形OAB，OB＝1，以AB為直徑作一半圓，點(diǎn)P為半圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（    ）  A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)，應(yīng)用圓上點(diǎn)的坐標(biāo)及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】   如圖以 OA , OB 所在直線分別為軸，軸建系．則 以AB為直徑作一半圓，點(diǎn)P為半圓上任意一點(diǎn)，半圓為,設(shè)，則.．故選：D．8. 已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式化簡，即可得出最大值為，求出，進(jìn)而根據(jù)已知可得或，求解即可得出.然后求出函數(shù)的周期結(jié)合已知條件，即可得出答案.【詳解】由已知可得，最大值為，其中，，，.因?yàn)?/span>是的對稱軸，所以或.當(dāng)時(shí)，平方整理可得，解得；當(dāng)時(shí)，顯然，平方整理可得，解得（舍去）故，所以，，所以，.因?yàn)?/span>，設(shè)，則必有，.因?yàn)?/span>的最小正周期為，所以，的最小值為，所以，最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】逐項(xiàng)研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可.【詳解】對于A，∵，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，∴函數(shù)為偶函數(shù)，又時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A符合題意；對于B，∵，且函數(shù)定義域?yàn)?/span>，∴函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B符合題意；對于C，∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C不符合題意；對于D，記，則，∴，∴函數(shù)不是偶函數(shù)，故D不符合題意.故選：AB.10. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象由圖象向左平移個(gè)單位得到，則關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（    ）  A. B. C. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D. 函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖象可求出，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合參數(shù)的取值范圍可推得.根據(jù)平移得出的解析式，即可判斷A、B項(xiàng)；代入檢驗(yàn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出C、D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由圖象可得，，且在的附近單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，.又因?yàn)?/span>，所以.又，所以，所以，.則由圖象向左平移個(gè)單位，得到，故A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，由A知，，故B正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，是函數(shù)的一條對稱軸，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故C正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?/span>，是函數(shù)的一個(gè)對稱中心，所以函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，故D正確.故選：BCD.11. 窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則（    ）A. 與能構(gòu)成一組基底 B. C. 在向量上的投影向量的模為 D. 的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出，從而建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到與平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出得到B正確；C選項(xiàng)，求出，，利用投影向量的計(jì)算公式求出答案；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，得到，求出的最大值，從而得到的最大值.【詳解】連接AF，因?yàn)?/span>，故，因?yàn)?/span>，故，故，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則故，故，所以與平行，不能構(gòu)成一組基底，A錯(cuò)誤；，，，，故，B正確；，，，故在向量上的投影向量的模長為，C正確；取的中點(diǎn)，則，，則，，兩式相減得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，最大值為，則的最大值為，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.12. 由倍角公式可知，可以表示為的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式（，，…，），使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項(xiàng)式．運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化簡可得，根據(jù)定義即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)二倍角公式可推得，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)誘導(dǎo)公式以及A的結(jié)論可知，，.平方相加，即可得出，進(jìn)而求出C項(xiàng)；假設(shè)D項(xiàng)成立，結(jié)合C項(xiàng)，檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】對于A項(xiàng)，.由切比雪夫多項(xiàng)式可知，，即.令，可知，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，.由切比雪夫多項(xiàng)式可知，，即.令，可知，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，根據(jù)A項(xiàng)，可得，.又，所以，所以，.令，可知，展開即可得出，所以，解方程可得.因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)?/span>，則，顯然不正確，故假設(shè)不正確，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意多項(xiàng)式的定義，結(jié)合兩角和以及二倍角的余弦公式，化簡可求出，換元即可得出.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若，則____________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，.故答案為：.14. 已知向量，，且與垂直，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算表示出，然后根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.因?yàn)?/span>與垂直，所以，即，解得.故答案為：.15. 函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恰好取得一次最小值，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的最值情況，即可得出.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合求得的范圍，列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>在上恰好取得一次最小值，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)椋?/span>在上是減函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，解得.所以，故答案為：.16. 已知非零向量，，對任意實(shí)數(shù)，恒成立，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知平方，整理得出關(guān)于的二次不等式，根據(jù)不等式恒成立，得出，整理即可得出.討論，結(jié)合圖象以及幾何性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，展開整理可得，，對恒成立.由已知，則應(yīng)有，即，所以，即.①當(dāng)時(shí)有，，此時(shí)有；②當(dāng)時(shí)，有，如圖，，，  則為的斜邊，所以，.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)已知平方，整理得出關(guān)于的二次不等式，根據(jù)不等式恒成立，即可得出關(guān)系式.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. 已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示，整理即可得出，進(jìn)而得出答案；（2）由已知可推得，然后根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，即可得出.然后根據(jù)正余弦的關(guān)系，推得，根據(jù)二倍角公式，即可得出答案.【小問1詳解】由于，所以，所以，所以．【小問2詳解】由于，所以，即，所以，故，即.又，所以，．18. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期，最大值及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；（2）如果，求的取值范圍．【答案】（1）; 當(dāng)時(shí)，取得最大值2．（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可求得結(jié)果.【詳解】（1），所以的最小正周期等于．當(dāng)，時(shí)，取得最大值2．（2）由，得，得，所以，即的取值范圍為.19. 已知函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱，且圖像上相鄰兩個(gè)對稱軸的距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，，且，若，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得出，.根據(jù)對稱中心即可得出，根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）根據(jù)已知得出的范圍，結(jié)合已知以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出，進(jìn)而得出，代入即可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上相鄰兩個(gè)對稱軸的距離為，所以，即，所以，所以.又因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于中心對稱，所以，所以.由可得，，所以．【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，.因?yàn)?/span>，所以，關(guān)于對稱軸對稱.因?yàn)?，函?shù)在上的對稱軸只有，所以，，所以，所以．20. 設(shè)是半徑為1的圓O內(nèi)接正2024邊形，M是圓O上的動點(diǎn)．  （1）求的取值范圍；（2）試探究是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．【答案】（1）    （2）是，4048【解析】【分析】（1）根據(jù)向量加法的多邊形法則，化簡可得原式.然后根據(jù)已知，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得出， .根據(jù)向量的減法運(yùn)算可得，代入原式，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律展開化簡，即可得出，進(jìn)而得出答案.【小問1詳解】由已知可得，.因?yàn)?/span>是半徑的圓O內(nèi)接正2024邊形，M是圓O上的動點(diǎn)，所以，所以，．【小問2詳解】是定值，定值為4048.因?yàn)?/span>是半徑為1的圓O內(nèi)接正2024邊形，所以，，所以，，所以.21. 如圖，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，設(shè)．（1）求的值；（2）若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）在（2）的條件下，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）    （2）    （3）或【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義可得；方法一：將直接代入即可求得；方法二：利用兩角和差公式和輔助角公式化簡得到，代入即可；（2）由（1）可得，根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法可求得結(jié)果；（3）結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，采用換元法可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，討論對稱軸位置即可利用最小值構(gòu)造方程求得的值.【小問1詳解】由題意知：，，方法一：；方法二：，.【小問2詳解】由（1）得：，令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）得：，令，則，是開口方向向下，對稱軸為的拋物線，①當(dāng)，即時(shí)，，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，，解得：；綜上所述：或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間、與正弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)最值的求解問題；本題根據(jù)最值求解參數(shù)值的關(guān)鍵是能夠結(jié)合二倍角公式，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而利用含參數(shù)二次函數(shù)最值的求法來進(jìn)行討論.22. 某小區(qū)地下車庫出入口通道轉(zhuǎn)彎處是直角拐彎雙車道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車道寬為3米．現(xiàn)有一輛汽車，車體的水平截面圖近似為矩形ABCD，它的寬AD為2米，車體里側(cè)CD所在直線與雙車道的分界線相交于E、F，記．  （1）若汽車在轉(zhuǎn)彎的某一刻，A，B都在雙車道的分界線上，直線CD恰好過路口邊界O，且，求此汽車的車長AB；（2）為保證行車安全，在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)，車體不能越過雙車道分界線，求汽車車長AB的最大值；（3）某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了里側(cè)車道的平均道路通行密度（輛/km），統(tǒng)計(jì)如下：時(shí)間7：007：157：307：458：00里側(cè)車道通行密度11013011090110現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①（，，）；②，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇最合適的函數(shù)模型來描述里側(cè)車道早七點(diǎn)至八點(diǎn)的平均道路通行密度（單位：輛/km）與時(shí)間x（單位：分）的關(guān)系（其中x為7：00至8：00所經(jīng)過的時(shí)間，例如7：30即分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式．【答案】（1）    （2）    （3）選①，．【解析】【分析】（1）作EM⊥OM，垂足為M，作FN⊥ON，垂足為N，借助直角三角形，即可得出答案；（2）由已知可求得，.換元令，求出的范圍，根據(jù)與的關(guān)系，可得，.換元，得出，.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案；（3）根據(jù)表中數(shù)字得出模型，代入數(shù)值即可求出答案.【小問1詳解】作EM⊥OM，垂足為M，作FN⊥ON，垂足為N，  因?yàn)?/span>，所以，在Rt△ADE中，.在Rt△BCF中，.在Rt△OME中，，在Rt△ONF中，.所以，所以當(dāng)時(shí)，汽車車長AB為米．【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，，，，所以，.令，則.因?yàn)?/span>，所以，所以.又，所以，.令，則，則，所以.易知在單調(diào)遞增，且，所以在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，AB取最小值米，所以，若汽車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對任意，此車都不越中間車道線，可得汽車車長的最大值為米．【小問3詳解】由表可得，里側(cè)車道通行密度有最大值和最小值，適用模型，易得，所以.又，，所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造直角三角形，用的三角函數(shù)值表示出所求值，化簡根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，解決問題. 

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