?青島市2023年高三年級(jí)第一次適應(yīng)性檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知全集，，，則下圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合B，根據(jù)集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算易知陰影部分為.
【詳解】，
∴.
則，
圖中陰影部分為.
故選：A.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)，再求出即得解.
【詳解】由，得，從而，所以的虛部為1．
故選：A
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)特殊值求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由正弦函數(shù)定義即可求解.
【詳解】依題意，
因?yàn)?，所以終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為，
所以終邊在第四象限，所以.
故選：B.
4. 龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱(chēng)龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)．現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cm．現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系，以及圓臺(tái)體積即可求解.
【詳解】如圖所示，畫(huà)出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)與于點(diǎn).

根據(jù)題意，，，，，
設(shè)，
所以，
解得，，
所以，
故選：B.
5. 定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，則（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意將所求轉(zhuǎn)化到即可得解.
【詳解】由，得，
則
.
故選：D.
6. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，則C的離心率為（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與C的方程，求出弦AB長(zhǎng)，由求解即得.
【詳解】顯然直線與交于原點(diǎn)O，
由雙曲線對(duì)稱(chēng)性知，若四邊形是矩形，則，
設(shè)點(diǎn)，而
由得，解得，
則，
則，化簡(jiǎn)得，即，，
解得，
則.
故選：C.
7. 某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路，1道題完全沒(méi)有思路．有思路的題目每道做對(duì)的概率為0.8，沒(méi)有思路的題目，只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為（ ）
A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式即可求解.
【詳解】設(shè)事件表示“兩道題全做對(duì)”，
若兩個(gè)題目都有思路，則,
若兩個(gè)題目中一個(gè)有思路一個(gè)沒(méi)有思路，則，
故,
故選：C
8. 已知函數(shù)，若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)得到，再判斷，利用二次求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞增，從而可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以在上是奇函數(shù).所以
對(duì)求導(dǎo)得，
令，則
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
則時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以.
令，則
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
所以，
而，即，所以，即.
所以，即，則
所以
所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
構(gòu)造函數(shù)，判斷.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在的展開(kāi)式中,下列說(shuō)法正確的是( )
A. 常數(shù)項(xiàng)是 B. 第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等
C. 各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D. 各項(xiàng)的系數(shù)之和為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,令進(jìn)行判斷;對(duì)于B,令和計(jì)算判斷即可;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為可進(jìn)行判斷;對(duì)于D,令即可進(jìn)行判斷.
【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,
對(duì)于A,常數(shù)項(xiàng)為,故A正確;
對(duì)于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為,第六項(xiàng)的系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故C正確;
對(duì)于D,令,各項(xiàng)的系數(shù)之和為,故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
10. 下列說(shuō)法正確是（ ）
A. 若直線a不平行于平面，，則內(nèi)不存在與a平行的直線
B. 若一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面，則
C. 設(shè)l，m，n為直線，m，n在平面內(nèi)，則“”是“且”的充要條件
D. 若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補(bǔ)
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABC，可根據(jù)線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和線面垂直的判定定理進(jìn)行判定；
對(duì)于選項(xiàng)D，可在長(zhǎng)方體中尋找特殊平面進(jìn)行排除.
【詳解】選項(xiàng)A，若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線與平面平行，與條件相矛盾，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B，由面面平行的判定定理可知選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，當(dāng)直線不相交時(shí)，由線面垂直的判定定理知：且時(shí)，得不到，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，可滿足題設(shè)條件，此時(shí)平面與平面所成的二面角為,平面與平面所成的二面角為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 1979年,李政道博士給中國(guó)科技大學(xué)少年班出過(guò)一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺(jué),準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來(lái),先吃掉1個(gè)桃子,然后將其分成5等份,藏起自己的一份就去睡覺(jué)了;第2只猴子又爬起來(lái),吃掉1個(gè)桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自己的一份睡覺(jué)去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問(wèn)最初至少有多少個(gè)桃子?最后至少剩下多少個(gè)桃子?”.下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若第n只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的),則
B. 若第n只猴子連吃帶分共得到個(gè)桃子,則為等比數(shù)列
C. 若最初有個(gè)桃子,則第只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的)
D. 若最初有個(gè)桃子,則必有的倍數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)最初有個(gè)桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為，則,若第n只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的),則,根據(jù)與關(guān)系即可判斷A的正誤;由A構(gòu)造等比數(shù)列即可判斷B的正誤;根據(jù)B求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,將代入求解即可判斷C;根據(jù)題意,,又為等比數(shù)列,判斷D的正誤.
【詳解】設(shè)最初有個(gè)桃子,猴子每次分剩下的桃子依次為,則
,
若第n只猴子分得個(gè)桃子(不含吃的),則
,
所以,
即,故A正確;
由A，,
則,
即是等比數(shù)列,
若第n只猴子連吃帶分共得到個(gè)桃子,則,
所以是以為公比的等比數(shù)列,故B正確.
由B知,是等比數(shù)列,
所以,
即,
若最初有個(gè)桃子,即,
所以,故C錯(cuò)誤;
根據(jù)題意:,
因?yàn)橐詾楣鹊牡缺葦?shù)列,
所以,
化簡(jiǎn)得,
因?yàn)?且為正整數(shù),
所以,
即必有的倍數(shù),故D正確.
故選:ABD.
12. 已知、是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，若，，則稱(chēng)是關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．下面說(shuō)法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是
B. 圓上的任意一點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是自身
C. 圓上不同于原點(diǎn)的點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的軌跡方程是
D. 若定點(diǎn)不在圓上，其關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，為圓上任意一點(diǎn)，則為定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用題中定義可判斷AB選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)點(diǎn)，可得出，根據(jù)題中定義并結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，可判斷C選項(xiàng)；證明出，可得出，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
則存使得，，可得，則，
所以，，
因此，點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，
所以，，可得，即，
因此，圓上的任意一點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是自身，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，可得，
由題意可知，存在實(shí)數(shù)，使得，即，
所以，，可得，
因此，點(diǎn)的軌跡方程為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，
由題意可知，存在實(shí)數(shù)，使得，且，則，
所以，、同向，且，所以，，
又因?yàn)椋?，?br /> 所以，為定值，D對(duì).
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.
三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的共線和向量乘法的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得：，，
設(shè)，
因?yàn)橄蛄浚遗c的夾角為鈍角，
所以
所以，
不妨令
所以
，
故答案為：.
14. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在拋物線上存在兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及邊長(zhǎng)可得，進(jìn)而代入拋物線方程即可求解.
【詳解】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：由為等邊三角形，所以關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，由,，所以,將代入可得，
故答案為：

15. 濕地公園是國(guó)家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．

【答案】
【解析】
【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得.
【詳解】在三角形中由正弦定理得，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，所以為等腰直角三角形，所以，
在中由余弦定理得

，
所以.
故答案為：.
16. 設(shè)函數(shù)是定義在整數(shù)集Z上函數(shù)，且滿足，，對(duì)任意的，都有，則______；______．
【答案】 ①. 0 ②.
【解析】
【分析】由結(jié)合已知函數(shù)值，通過(guò)代入特殊值計(jì)算；推導(dǎo)出函數(shù)周期，通過(guò)已知函數(shù)值，分析中自變量的數(shù)據(jù)特征求值.
【詳解】令，，∴，
令，，∴，
令，則﹐即，可得，
，函數(shù)周期，
，，，，∴為奇數(shù)時(shí)，，
為奇數(shù)時(shí)，也為奇數(shù)，此時(shí)；為偶數(shù)時(shí)，為4的整數(shù)倍，此時(shí).
∴，
，由，則為偶數(shù)，
記，，



，
所以 .
故答案為：0；
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
由已知條件可得函數(shù)周期，有，，，，為奇數(shù)時(shí)，也為奇數(shù)，此時(shí)；為偶數(shù)時(shí)，為4的整數(shù)倍，此時(shí)，可求的值，，可求的值.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)，，是的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)，且滿足．
（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合周期即可求解，整體法即可求解對(duì)稱(chēng)軸，
（2）根據(jù)余弦的二倍角公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，
由可得周期滿足,所以，故，
令解得，故的對(duì)稱(chēng)軸方程為
【小問(wèn)2詳解】
由得，
由，
所以
18. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．
（1）求；
（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公差和首項(xiàng)，
（2）根據(jù)結(jié)合前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可證明等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義即可求解通項(xiàng).
【小問(wèn)1詳解】
由，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列可得，

【小問(wèn)2詳解】
由得，
故，兩式相減可得，
而，所以為公比為2的等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，
故，進(jìn)而
19. 如圖，在中，，且，，將繞直角邊PA旋轉(zhuǎn)到處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)D是底面圓弧BC(不含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，求出的大?。蝗舨淮嬖?，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求平面PCD與平面PBD夾角的余弦值．
【答案】（1）存在，當(dāng)為圓弧的中點(diǎn)，此時(shí)；
（2）．
【解析】
【分析】（1）面即為所求，即BC⊥AD，此時(shí)易知D為圓弧BC的中點(diǎn)；
（2）易知當(dāng)四邊形ABDC面積最大時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)，根據(jù)可求四邊形ABDC面積最大時(shí)的大小.建立空間直角坐標(biāo)系，求出此時(shí)各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法即可求出平面PCD與平面PBD夾角的余弦值．
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)為圓弧的中點(diǎn)，即時(shí)，，
證明如下：∵為圓弧的中點(diǎn)，∴，即為的平分線，
∵，∴為等腰的高線，即，
∵平面，
∴平面，∴，
∵，∴面，∴．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，為四棱錐的高，∵，∴當(dāng)?shù)酌娣e取最大值時(shí)，四棱錐體積最大.
設(shè)，則，

，
∵，
∴時(shí)，取最大值，
∴當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，，
過(guò)在平面內(nèi)作直線，交圓弧于點(diǎn)，
由題知兩兩垂直，則以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，得；
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，得；
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
∴平面與平面夾角余弦值為．
20. 今天，中國(guó)航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開(kāi)展了航天知識(shí)測(cè)試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，按照，，，分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)；
（2）用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績(jī)，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績(jī)?cè)谏系母怕剩笕∽畲笾禃r(shí)對(duì)應(yīng)的k的值；
（3）從測(cè)試成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立．記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為，求的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)取最大值時(shí)，則，
然后求解，即可得到結(jié)果；
（3）由題意可得，甲乙分別進(jìn)入復(fù)賽的概率，然后求得的概率，即可得到分布列與期望.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榍皟蓚€(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形面積為，
所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，
則，解得，故中位數(shù)為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可得，成績(jī)?cè)谏系母怕蕿?，則不在的概率為，
所以，即有，，
當(dāng)取最大值時(shí)，則，
即，
解得，即，
且，所以.
【小問(wèn)3詳解】
由題意可知，從6道題中選4題共有，
因?yàn)榧啄艽饘?duì)6道題中的4道題，故甲能進(jìn)復(fù)賽的情況共有，
所以甲能進(jìn)復(fù)賽的概率為，則甲不能進(jìn)復(fù)賽的概率為；
因?yàn)橐夷艽饘?duì)6道題中的3道題，故乙能進(jìn)復(fù)賽的情況共有,
所以乙能進(jìn)復(fù)賽的概率為，則乙不能進(jìn)復(fù)賽的概率為；
依題可得，的可能取值為，
所以，，，
則分布列為:








則.
21. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，為等腰直角三角形，其面積為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)W在過(guò)原點(diǎn)且與l平行的直線上，記直線WP，WQ的斜率分別為，，的面積為S．從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立．
①；②；③W為原點(diǎn)O．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出a、b、c，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)(i)選②③為條件：設(shè)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.l斜率存在時(shí)，設(shè)l為，由可得(*)，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得，代入(*)可得k和t的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出O到l的距離d，根據(jù)即可求出S；(ii)選①③為條件：設(shè)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離d，根據(jù)可得k和t的關(guān)系，表示出，根據(jù)即可求出；(iii)選①②為條件：設(shè)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線l的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出W到直線的距離d，根據(jù)可得k和t的關(guān)系，表示出，根據(jù)即可求出W的坐標(biāo)．
【小問(wèn)1詳解】
記，由題意知：，
∴，解得，
∴，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
【小問(wèn)2詳解】
(i)選②③為條件：設(shè)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
則由，可得，
此時(shí)直線的方程為，與聯(lián)立，解得，
∴．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
則，即，
將代入得：，
∴，
∴，
∴，即．
，
∵點(diǎn)到直線的距離，
∴，
綜上，①成立．
(ii)選①③為條件：設(shè)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
則由，可得，
又，解得，∴；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
將代入得：，
∴，
，
∵點(diǎn)到直線的距離，
∴，
即，
∵，
∴．
綜上，②成立．
(iii)選①②為條件：設(shè)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，
∴，又，解得，
∴，∴，
∴為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線l的方程為：，
將帶入得：，
∴，
，
點(diǎn)到直線的距離，
∴，
即，∵，
，
則由，
即，
得：，
即，∵，
∴，即．
綜上，③成立．
22. 已知函數(shù)，圓．
（1）若，寫(xiě)出曲線與圓C的一條公切線的方程(無(wú)需證明)；
（2）若曲線與圓C恰有三條公切線．
(i)求b的取值范圍；
(ii)證明：曲線上存在點(diǎn)，對(duì)任意，．
【答案】（1）；
（2）(i)；(ii)證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出f(x)的切線方程，再根據(jù)該切線與圓相切列出方程，取方程的特殊解即可得到一條共切線的方程；
(2)(i)設(shè)曲線與圓公切線的方程為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出k和m的關(guān)系，再根據(jù)圓的切線方程的幾何性質(zhì)得到關(guān)于k的方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論該方程有三個(gè)解的問(wèn)題.構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的問(wèn)題.(ii)根據(jù)(i)中構(gòu)造出的函數(shù)，結(jié)合圖象即可證明．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)f(x)的切線的切點(diǎn)為，
∵，∴切線斜率為，
∴切線方程為，即，
當(dāng)b＝1時(shí)，圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)f(x)的切線也是圓的切線時(shí)，，
即，
易知是該方程的一個(gè)根，此時(shí)切線方程為．
【小問(wèn)2詳解】
(i)設(shè)曲線與圓公切線的方程為(顯然，l斜率存在)，
∵與曲線相切，故，
∴切點(diǎn)為，，即，即，
∵與圓相切，∴，即，
∴，
令，
則，
設(shè)，則，
易證明：．
①當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，
∵，，
；
∴存在，，使得．
∴，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
∵，且，
又∵，
且，
∴存在，使得，
∴當(dāng)時(shí)，曲線與圓恰有三條公切線；
②當(dāng)時(shí)，∵；
∴存在，使得，
∴上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
∴，且，
∴不可能存在三個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，最多一個(gè)零點(diǎn)；
∴最多一個(gè)極值點(diǎn)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)；
綜上，若曲線與圓恰有三條公切線，則的取值范圍為．
(ii)函數(shù)的零點(diǎn)，
即方程的解，
即曲線和曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
結(jié)合圖象，

顯然存在，使得成立，
∴對(duì)任意恒成立．
【點(diǎn)睛】本題屬于導(dǎo)數(shù)的綜合題，需要利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題（函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題）.問(wèn)題關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).




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