2023年高三年級期初調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題2023.08本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解集合中的不等式，得到集合，再與集合取交集.【詳解】不等式解得，則有，又，所以.故選：C2. 已知復(fù)數(shù)，則（    ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，得到共軛復(fù)數(shù)，可求.【詳解】由，得，.故選：B3. 設(shè)，，若，則（    ）A. 5 B.  C. 20 D. 25【答案】A【解析】【分析】由，則，解出，得到的坐標(biāo)，利用模長公式求.【詳解】，，若，則有，解得，則有，得.故選：A4. 已知某設(shè)備的使用年限（年）與年維護(hù)費(fèi)用（千元）的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：2456839由所給數(shù)據(jù)分析可知：與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得樣本中心，把樣本中心代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由題意得，，因?yàn)榛貧w直線過樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：B.5. 記為等比數(shù)列的前項和，且，、、成等差數(shù)列，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)、、成等差數(shù)列求出數(shù)列的公比，利用等比中項的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值，利用等比求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?/span>、、成等差數(shù)列，即，即，即，所以，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>是每項均為正數(shù)的等比數(shù)列，由等比中項的性質(zhì)可得，則，因此，.故選：D6. 若函數(shù)為奇函數(shù)，則（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，有，解出的值即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，，解得.時，，函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，滿足，函數(shù)為奇函數(shù).所以.故選：C7. 設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，在上，，則的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】拋物線的開口向上，由于在上，且，根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的方程為.故選：A8. 已知，，則（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用平方的方法，結(jié)合兩角和的余弦公式、二倍角公式求得正確答案.【詳解】由兩邊平方得①，由兩邊平方得②，由①②兩式相加并化簡得，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 一組樣本數(shù)據(jù)11，19，15，16，19，則這組數(shù)據(jù)的（    ）A. 眾數(shù)是19 B. 平均數(shù)是16 C. 中位數(shù)是15 D. 方差是44【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的知識求得正確答案.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以眾數(shù)是，A選項正確；中位數(shù)是，C選項錯誤；平均數(shù)是，B選項正確.方差是，D選項錯誤.故選：AB10. 已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為256，則（    ）A.  B. 展開式中的系數(shù)為C. 展開式中常數(shù)項為16 D. 展開式中所有項的系數(shù)和為1【答案】ABD【解析】【分析】由二項式系數(shù)和求，利用展開式的通項求的系數(shù)和常數(shù)項，令求展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】由二項式系數(shù)之和為，可得，A選項正確；展開式的通項為，時，，展開式中的系數(shù)為，B選項正確；時，，展開式中常數(shù)項為，C選項錯誤；中，令，得展開式中所有項系數(shù)和為，D選項正確.故選：ABD11. （多選）正四棱錐的底面邊長是4，側(cè)棱長為，則（    ）A. 正四棱錐的體積為 B. 側(cè)棱與底面所成角為C. 其外接球的半徑為 D. 其內(nèi)切球的半徑為【答案】BCD【解析】【分析】通過運(yùn)算逐一判斷各個選項即可.【詳解】如圖所示：設(shè)為底面正方形的中心，所以.對于A選項：由棱錐體積公式可知，只需求出棱錐的高（即的長度即可），由已知底面正方形的邊長為4且側(cè)棱，所以有，且由勾股定理有，棱錐的高， 綜上；故A選項不符題意.對于B選項：注意到，所以側(cè)棱與底面所成的平面角為，由以上分析可知，所以；故B選項符合題意.對于C選項:由對稱性可知正四棱錐外接球球心一定在高上.如圖所示：設(shè)點(diǎn)為外接球球心，為外接球半徑.由勾股定理得，即，解得，故C選項符合題意.對于D選項：由以上分析注意到一方面有，另一方面，其中為內(nèi)切球的半徑分別為正方形的面積，顯然，且面積相等，所以只需求出等腰三角形的面積即可，其平面圖如圖所示：設(shè)為中點(diǎn)，所以，又，由三線合一可知，由勾股定理可得，所以，所以，結(jié)合以及可得，解得；故D選項符合題意.故選：BCD.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：對于A：選項求棱錐體積的時候，可能容易漏乘而導(dǎo)致錯選，記住棱柱和棱錐體積公式分別為和，分別代表對應(yīng)的底面積和高.對于B:容易錯在找出線面角或者計算方面.對于C:容易錯在球心位置搞錯或者計算方面.對于D:容易錯在用等體積法的時候漏乘，算三角形面積漏乘.總之扎實(shí)的計算功底以及對于每一個公式里面的具體字母的含義要弄清楚，這一點(diǎn)很重要.12. 已知函數(shù)，則（    ）A. 是的極大值點(diǎn)B. 有且只有1個零點(diǎn)C. 存在正實(shí)數(shù)，使得對于任意成立D. 若，，則【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)、零點(diǎn)、不等式恒成立、構(gòu)造函數(shù)等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，定義域?yàn)?/span>，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以是的極小值點(diǎn)，A選項錯誤.設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，，所以存在唯一零點(diǎn)，且，B選項正確.C選項，由對于任意成立，即對于任意成立，構(gòu)造函數(shù)，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，沒有最小值，且，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，所以C選項錯誤.D選項，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞減，則，則，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時，成立，所以D選項正確.故選：BD【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值點(diǎn)，主要是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，除了利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間外，還可結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的過程中，若一次求導(dǎo)無法得到答案，可考慮多次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13. 函數(shù)的最小正周期為，則__________.【答案】1【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則，解得.故答案為：114. 已知圓：，直線過.若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，寫出滿足上面條件的一條直線的方程__________.【答案】（寫出或中的一個即可）【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線距離，結(jié)合圓的弦長公式即可求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑為，當(dāng)直線無斜率時，此時：，圓心到：的距離為1，由，可知圓心到直線的距離為,故：滿足要求，當(dāng)直線有斜率時，設(shè)直線方程為，故圓心到直線的距離為，解得，所以直線方程為，故滿足題意的直線有：和，故答案為：（寫出或中的一個即可）15. 海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)”，若要測量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測得海里，，，，則，兩點(diǎn)的距離為__________海里.  【答案】【解析】【分析】先求的，利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得.【詳解】在三角形中，，所以，所以，在三角形中，，由正弦定理得，在三角形中，，所以（海里）.故答案為：  16. 橢圓：與其對稱軸交于四點(diǎn)，按逆時針方向順次連接這四個點(diǎn)，所得的四邊形的面積為，且的離心率為，則的長軸長為__________；直線：與交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的值為__________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及離心率即可求解空1，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解空2.【詳解】由題意可得，且，又，故，故長軸長為，聯(lián)立與可得，設(shè),則，故，由于以為直徑的圓過點(diǎn)，所以,,故，所以，化簡可得，滿足，故，故答案為：，  四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. 中，已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的大?。?/span>（2）若，，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式等知識化簡已知條件，由此求得.（2）先求得，然后利用正弦定理求得，從而可利用三角形的面積公式求得的面積.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，,所以，因?yàn)?/span>，所以,所以，所以是銳角，且.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，，，，又，由正弦定理，所以.18. 在長方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).  （1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）由長方體的結(jié)構(gòu)特征，可證，，得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：在長方體中，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>為正方形，所以，因?yàn)?/span>，平面所以平面【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  則，，，，，；，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，，所以，平面與平面夾角的余弦值為.19. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐?為，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意結(jié)合斜率公式求解即可；（2）顯然直線的斜率不存在時，不符合題意，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，再求出和到直線的距離即可求解.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，，所以，化簡得：所以的方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；  設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20. 已知數(shù)列中，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）若，求數(shù)列的行前項和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項可得，即可根據(jù)累加迭代法求解，（2）根據(jù)裂項求和即可求解.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?/span>，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因?yàn)?/span>適合上式，所以【小問2詳解】因?yàn)?/span>,所以21. 某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.（1）求；（2）當(dāng)時，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）    （2）分布列見解析，    （3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計算求得.（2）的可能取值為，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計算求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（3）根據(jù)第次傳球后，接過他人傳球的人數(shù)進(jìn)行分類討論，由此證得結(jié)論成立.【小問1詳解】乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為，3次傳球后，事件“乙、兩、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.【小問2詳解】由題意知，的可能取值為1，2，3，，，，的分布列如下：123.【小問3詳解】次傳球后乙、丙、丁三人均接過他人傳球，有兩種情況，其一為：次傳球后乙、丙、丁三人均接過他人傳球，這種情況的概率為；其二是為：次傳球后乙、兩、丁中只有兩人接過他人傳球，第次傳球時將球傳給剩余一人，這種情況的概率為.所以，當(dāng)時，所以.【點(diǎn)睛】在求解隨機(jī)變量分布列的過程中，對于最后一個概率，可以利用減去其它概率來進(jìn)行求解.對于復(fù)雜抽象的概率問題求解，可根據(jù)具體的情況進(jìn)行分類討論，通過分類討論來降低難度，從而解決難題.22. 已知，函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：；（3）若為的極值點(diǎn)，點(diǎn)在圓上.求.【答案】（1）    （2）證明見解析    （3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)解析式求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處切線的斜率，點(diǎn)斜式求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明最小值大于等于恒成立；（3）由，直線為圓的切線，且圖像在圓的上方，故點(diǎn)為切點(diǎn)，可求的值.【小問1詳解】，，由，得切點(diǎn)為由，有，即在點(diǎn)處的切線斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：.【小問2詳解】證明：因?yàn)?/span>(，)，設(shè)函數(shù)，則(，)，所以在上單調(diào)遞增又因?yàn)?/span>，，所以存在，使得，即，，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；所以令，，則，解得，解得，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，，所以，的圖像在的上方，且與唯一交點(diǎn)為，所以，.【小問3詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線為圓的切線，由解得切點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，圓在直線的下方又因?yàn)?/span>，且點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)即為切點(diǎn)為，所以，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用隱零點(diǎn)法得到，再通過設(shè)新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求其最值，從而證明原不等式.  

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