山東省濟(jì)寧市泗水縣2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁；滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上.2．第Ⅰ卷的答案須用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號.3．答第Ⅱ卷（非選擇題）考生須用0.5mm的黑色簽字筆（中性筆）作答，答案必須寫在答題卡的各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置，如需改動，須先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.否則，該答題無效.4．書寫力求字體工整、符號規(guī)范、筆跡清楚.一、單項選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知等比數(shù)列的前2項和為，則（）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，解方程組得到，，再求即可.【詳解】因為，所以，由題知：，所以，解得，所以，即，所以.故選：D2. 設(shè)，則（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在單調(diào)遞減，又，，，根據(jù)單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；又，，，所以，即.故選：D.3. 小陳和小李是某公司的兩名員工，在每個工作日小陳和小李加班的概率分別為和，且兩人同時加班的概率為，則某個工作日，在小李加班的條件下，小陳也加班的概率為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式運算求解.【詳解】記“小李加班”為事件A，“小陳加班”為事件B，則，故在小李加班的條件下，小陳也加班的概率為.故選：C.4. 如圖，已知函數(shù)的圖象在點處的切線為l，則（）A. B. C. 0 D. 2【答案】C【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，求出切線斜率和切點坐標(biāo)，即可計算.【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，，切線方程為，則切點坐標(biāo)為，有，所以故選：C.5. 中國空間站（China Space Station）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．2022年10月31日15:37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢．2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙中都有2人，則不同的安排方法有（）A. 72種 B. 90種 C. 360種 D. 450種【答案】B【解析】【分析】利用分組和分配的求法求得名航天員的安排方案.【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙中都有2人,所以共有種；故選：B.6. 定義：在數(shù)列中，若滿足（，為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”中，，，則等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，利用即可求解．【詳解】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”定義可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以．故選：D7. 已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可得在上恒成立，可轉(zhuǎn)化為.求出的最小值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由已知，函數(shù)的定義域為，.由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以．因為，所以，所以．因此實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．【點睛】思路點睛：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到不等式恒成立的問題.分離參數(shù)或二次求導(dǎo)求出最值即可得出答案.8. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】，，使，可得，，分類討論k為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出k的值，再代入求解即可.【詳解】解：，，使，則，可得，，若k為奇數(shù)，則，所以，，則，解得，或，當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，，，，，若k為偶數(shù)，則，所以，，則，解得，或，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，，因此，所有解之和為：，故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、多項選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 在的展開式中,下列說法正確的是( )A. 常數(shù)項是 B. 第四項和第六項的系數(shù)相等C. 各項的二項式系數(shù)之和為 D. 各項的系數(shù)之和為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二項式定理,的通項公式為,對于A,令進(jìn)行判斷;對于B,令和計算判斷即可;對于C,因為,所以各項的二項式系數(shù)之和為可進(jìn)行判斷;對于D,令即可進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)二項式定理,的通項公式為,對于A,常數(shù)項為,故A正確;對于B,第四項的系數(shù)為,第六項的系數(shù)為,故B錯誤;對于C,因為,所以各項的二項式系數(shù)之和為,故C正確;對于D,令,各項的系數(shù)之和為,故D錯誤.故選:AC.10. 已知事件滿足，則（）A. 若，則B. 若與互斥，則C. 若，則與相互獨立D. 若與相互獨立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件的關(guān)系以及運算，互斥事件的概率加法公式，獨立事件的概率公式，條件概率的概率公式等即可求出．【詳解】對A，因為，所以，錯誤；對B，因為與互斥，所以，正確；對C，因為，所以，而，所以，正確；對D，因為與相互獨立，所以與相互獨立，所以，，錯誤．故選：BC.11. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. 公差 B. C. 的最大值為 D. 滿足的的最小值為16【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)求出與公差的關(guān)系即可判斷AB；再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可判斷CD.【詳解】因為，則，即，則，故A正確；，故B錯誤；由，得，,因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值為，故C正確；，令，解得，所以滿足的的最小值為，故D錯誤.故選：AC.12. 定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】令，則，由已知可得，即在上單調(diào)遞減.所以，故，，即C、D選項正確.故選：CD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 盒中有個質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個紅球，個綠球，個黃球；現(xiàn)從盒中隨機(jī)取球，每次取個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到黃球的概率為___________.【答案】【解析】【分析】分別計算“第一次取到紅球”的概率和“第一次取到綠球，第二次取到紅球”的概率后相加即可.【詳解】沒有取到黃球，可以是“第一次取到紅球”或“第一次取到綠球，第二次取到紅球”記事件表示第一次取到紅球，表示第二次取到紅球，表示第一次取到綠球，則，，∴沒有取到黃球的概率為.故答案為：.14. 在等比數(shù)列中，且，則________.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：15. 已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】利用構(gòu)造法，構(gòu)造函數(shù)，由其導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得新函數(shù)的函數(shù)值，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)，∴，∴在R上單調(diào)遞減．∵，∴的圖象關(guān)于直線對稱，∴，∴．∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是．故答案為：.16. 過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，進(jìn)而由切點的位置得出，從而得出切線方程.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. （1）求值：．（2）若，且．求的值．【答案】（1）時，；時，；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)推出n的取值范圍，再分類求解；（2）先求出n的值，再運用賦值法求解.【詳解】（1）由組合數(shù)的性質(zhì)，可得解得．又因為，所以或，當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式；（2）由，得，即，解得或（舍去），所以，當(dāng)時，由已知，得，令，得，令，得，所以18. 已知的一個極值點為2.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）由題目極值點為2可以求得解析式中m的值，并驗證確為極值點，則函數(shù)表達(dá)式確定，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可；（2）根據(jù)（1）中對函數(shù)單調(diào)性的研究，可以判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，從而得出最大最小值.【小問1詳解】由題意可得：，則，解得，當(dāng)時，，，令，解得或，則的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，可得為極小值點，即符合題意，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】∵，由（1）可得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，又∵，即，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19. 已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．（1）求；（2）記數(shù)列的前n項和為，，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項以及等差中項，結(jié)合等差數(shù)列基本量的計算即可求解公差和首項，（2）根據(jù)結(jié)合前項和與通項之間的關(guān)系即可證明等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義即可求解通項.【小問1詳解】由，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列可得，【小問2詳解】由得，故，兩式相減可得，而，所以為公比為2的等比數(shù)列，且首項為，故，進(jìn)而20. 為弘揚體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊中球員都會參賽，他上場與不上場甲隊一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．（1）求甲隊第二場比賽獲勝的概率；（2）用表示比賽結(jié)束時比賽場數(shù)，求的期望；（3）已知球員在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊比賽獲勝的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)“第i場甲隊獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．根據(jù)對立事件的概率公式即可求解；（2）由題意知的可能取值為2，3，結(jié)合對立事件和獨立事件的概率公式和數(shù)學(xué)期望的計算公式即可求解；（3）根據(jù)對立事件、獨立事件的概率公式和條件概率公式計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)“第i場甲隊獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．由全概率公式．【小問2詳解】的可能取值為2，3．由題意知，由（1）知，則，，，，．【小問3詳解】，此時，．21. 已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構(gòu)造法求出的通項，從而可得的通項公式；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合分組求和法即可得解.【小問1詳解】，得，因為，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；【小問2詳解】當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，綜上所述，.22. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時，由得,符合題意；當(dāng)a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立.當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時， ∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．［方法四］：因定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當(dāng)時，恒成立．令，只需證當(dāng)時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當(dāng)時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．

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