2022級(jí)普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可判定.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（－1，－2）位于第三象限．故選：C2. 下列化簡(jiǎn)不正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D3. 已知，，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用正切的倍角公式和和角公式計(jì)算即可.【詳解】由已知可得，所以.故選：B4. 已知的外接圓圓心為O，且，則向量在向量上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可【詳解】所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，如圖：又，所以為等邊三角形，，，向量在向量上的投影數(shù)量為：．故投影向量為.故選：D．5. 蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算以及正六邊形的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，設(shè)，則是的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，與的夾角為銳角，與的夾角為鈍角，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)正六邊形的中心為，則，所以，D選項(xiàng)正確.故選：D6. 若平面向量的夾角為，且，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律分別計(jì)算每一個(gè)選項(xiàng)的向量的數(shù)量積即得解.詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A, ,所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)B, ,所以，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C, ,所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)D, ，所以該選項(xiàng)不正確.故選：B7. 一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（    ）A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)作示意圖，應(yīng)用正弦定理求B，C兩點(diǎn)間的距離即可.【詳解】由題設(shè)可得如下示意圖，且，即，由圖知：，則，又，所以，則海里.故選：A8. 已知，，且，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得、，再由及角的范圍即可求角的大小.【詳解】由，則，又，故，所以，而，則，，又，則故選：D二、多選題：本題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中為真命題的是（    ）A. |z|＝ B. z2＝2iC. z的共軛復(fù)數(shù)為 D. z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根【答案】ABD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，故B正確；因?yàn)?/span>z的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榉匠?/span>，所以，所以方程的根為，故D正確.故選：ABD.10. 下列說法不正確的是（    ）A. 若，則、的長度相等且方向相同或相反B. 若向量，滿足，且同向，則＞C. 若，則與可能是共線向量D. 若非零向量與平行，則四點(diǎn)共線【答案】ABD【解析】【分析】因?yàn)橄蛄渴鞘噶浚哂写笮『头较?，是不能比較大小的，即可判斷選項(xiàng)A、B；再利用共線向量的含義可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，只能說明、的長度相等，不能判斷它們的方向, 因而選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，向量不能比較大小，因而選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，只能說明、的長度不相等，它們的方向可能相同或相反，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，與平行，可能，即四點(diǎn)不一定共線，因而選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABD.11. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，延長至.則下面結(jié)論正確的是（    ）A. B. C. 若，則周長的最大值為D. 若，則面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】利用兩角和差余弦公式可化簡(jiǎn)已知等式求得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而知A正確；將的值代入已知等式可求得，知為等比三角形，得B錯(cuò)誤；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而知C正確；設(shè)，代入三角形面積公式中，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法可知D正確.【詳解】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正確；，，，即，為等邊三角形，，B錯(cuò)誤；，，在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解得：，周長的最大值為，C正確；設(shè)，則，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，D正確.故選：ACD.12. 在平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，且，，，則下列說法正確的是（    ）A.  B. 在上的投影向量是C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量的線性運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由平面向量數(shù)量積的定義可得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，在上的投影向量，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，即，可得，①又因?yàn)?/span>，即，可得，②又①②可得，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，故，D錯(cuò).故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為______．【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求得其共軛復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】解：由題意得，則，所以的虛部為－4，故答案為：-414. 若，則____________【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化，再由二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】由，故答案為：15. 已知向量，滿足，，，則______．【答案】【解析】【分析】兩邊平方，求出，從而利用求出答案.詳解】由可知，即，又，，解得，故.故答案為：.16. 的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且，；則的面積為_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，利用三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】依題意，，，由正弦定理得：，整理得，所以，所以為銳角且，同時(shí)，解得，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明或驗(yàn)算步驟.17. 已知復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)數(shù)．（1）若，求實(shí)數(shù)a值；（2）若是純虛數(shù)，求【答案】（1）1；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求出a的值.（2）利用復(fù)數(shù)除法結(jié)合純虛數(shù)的定義，求出，再利用乘方的周期性求解作答.【小問1詳解】復(fù)數(shù)，則，又a是實(shí)數(shù)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是1.【小問2詳解】復(fù)數(shù)，，則，因?yàn)?/span>是純虛數(shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.18. 已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角的余弦值.【答案】（1） 或；（2）.【解析】【分析】（1）首先設(shè)，根據(jù)條件，建立方程組，求坐標(biāo)；（2）利用，以及向量數(shù)量積的公式求的值.【詳解】（1）設(shè)，則，解得：或，所以 或，（2），，，整理為，解得：19. 已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）已知等式左邊利用正切差角公式化簡(jiǎn)求出的值，（Ⅱ）所求式子利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，華為關(guān)于的式子，將的值代入計(jì)算即可求出值；詳解：（Ⅰ）∵，∴（Ⅱ）原式點(diǎn)睛：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．20. 如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂的仰角為，求塔高.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求得，解直角三角形求得.【詳解】，由正弦定理得，在直角三角形中，，.21. 設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先將函數(shù)利用和差角、降冪公式、輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得，再根據(jù)x的取值，求得值域；（2）根據(jù)第一問求得角，再根據(jù)正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和邊b，利用面積公式求得面積.【小問1詳解】，，，，函數(shù)的值域?yàn)?/span>．【小問2詳解】由（1）知，，，，，即，，，，又，，，又，，．22. 如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個(gè)小池塘，E，F在邊BC上（E，F不與B，C重合，且E在B，F之間），且.（1）若，求EF的值；（2）為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè)，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可求，即可得結(jié)果；（2）利用正弦定理用表示，再結(jié)合條件得到，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【小問1詳解】由題意可得，設(shè)，則，在中，由余弦定理，則，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.【小問2詳解】設(shè)，則，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最小值.
 

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