2023-2024年中考專題19 圖形的平移翻折對稱（共30題）（原卷版+解析卷）-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題19圖形的平移翻折對稱（30題）
一、單選題
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（????）
??
A．2 B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用平移的性質(zhì)得到，即可得到的長．
【詳解】解：∵沿方向平移至處．
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．
2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（　?。?br /> ??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．
【詳解】解：，由折疊可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
設的長為x，則，
∵矩形，
∴，
∵矩形與原矩形相似，
∴，即，
解得：（負值不符合題意，舍去）
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是(????)
??
A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
【答案】C
【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．
【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，
∴四邊形是平行四邊形，
在中，，，，
∴
在中，，，點F是中點
∴
∵，點F是中點
∴，，
∴點D是的中點，
∴
∵D是的中點，點F是中點，
∴是的中位線，
∴
∴四邊形的周長為：，
四邊形的面積為：．
故選：C．
【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點，點落在軸的點位置，點的坐標是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設與交于點F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問題．
【詳解】解：∵矩形的邊，，
∴，，，
由題意知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折疊知，，
∴，
∴，即，
連接，設與交于點F，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
由折疊知，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴點的坐標是，
故選：D．
??
【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應用等知識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形紙片，其中，現(xiàn)將紙片進行如下操作：
第一步，如圖①將紙片對折，使與重合，折痕為，展開后如圖②；
第二步，再將圖②中的紙片沿對角線折疊，展開后如圖③；
第三步，將圖③中的紙片沿過點的直線折疊，使點落在對角線上的點處，如圖④．則的長為（　?。?br /> ??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，等面積法求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
??
∵折疊，
∴
∴在以為圓心，為直徑的圓上，
∴，
∴
∵矩形，其中，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（????）
??
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得到答案．
【詳解】解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，
∴，與互相平分，
∴四邊形是菱形，
∵，，
∴菱形的面積為．
故選：B.
【點睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（????）
??
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯誤．
【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，
∵，
∴．
∴．
∴．
故正確；
∵，，
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴與不相似．
∴．
∴與不平行．
故錯誤；
故選A．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
8．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，則的大小為__________度．
??
【答案】
【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為，
將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，
∴，，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點的對應點為點．若點剛好落在邊上，，則的長為__________．
??
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．
【詳解】解：∵將沿折疊，點的對應點為點．點剛好落在邊上，在中，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點落在長邊上的點處，并得到折痕，小宇測得長邊，則四邊形的周長為_________．
??
【答案】
【分析】可證，從而可得，再證四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
由折疊得：，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，

．
故答案：．
【點睛】本題考查了平行四邊形判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數(shù)為___________．
??
【答案】或
【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和等知識即可完成求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：；
∵，
∴；
①當在下方時，如圖，
∵，
∴，
∴；
??
②當在上方時，如圖，
∵，
∴，
∴；
??
綜上，的度數(shù)為或；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，注意分類討論．
12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上．將沿折疊，使點落在點處，連接，則的最小值為_______．
??
【答案】
【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進行求解．
【詳解】解：∵，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知，
∵，
∴當、、B三點在同一條直線時，取最小值，最小值即為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

13．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，，，點在邊所在的直線上，且，將矩形紙片折疊，使點與點重合，折痕與，分別交于點，，則線段的長度為______．
【答案】或
【分析】分點在點右邊與左邊兩種情況分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵折疊，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴
∴，
又
∴
∴，
當點在點的右側(cè)時，如圖所示，設交于點，
??
∵，，，
∴中，，
則，
∵，
∴
∴，
當點在點的左側(cè)時，如圖所示，設交于點，
∵，，，
∴中，
??
則，
∵，
∴
∴，
綜上所述，的長為：或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在紙片中，，是邊上的中線，將沿折疊，當點落在點處時，恰好，若，則_________．
??
【答案】
【分析】由，，是邊上的中線，可知，則，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，如圖，記與的交點為，，由，可得，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：∵，，是邊上的中線，
∴，
∴，
由翻折的性質(zhì)可知，，，
∴，
如圖，記與的交點為，
??
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，翻折的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，正切．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
15．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點是上一動點，將沿折疊得到，當點恰好落在上時，的長為______．
??
【答案】
【分析】過點作交的延長線于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件得出，進而求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作交的延長線于點，
??
∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，
∵將沿折疊得到，當點恰好落在上時，
∴
又
∴
∴
∴
設，
∴
在中，
∴
解得：（負整數(shù)）
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為________．
??
【答案】
【分析】連接，過點作于點，設，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，
????
∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，
∴，
設，則，則
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴，
∴
在中，
即
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當射線交線段于點P時，連接，則的面積為___________；的最大值為___________．
??
【答案】；
【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；
（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當最大時，即最大，通過分析點N的運動軌跡，結(jié)合勾股定理確定的最值，從而求得的最大值．
【詳解】解：由題意可得的面積等于矩形的一半，
∴的面積為，
在中，，
∴當最大時，即最大，
由題意可得點N是在以D為圓心4為半徑的圓上運動，當射線與圓相切時，最大，此時C、N、M三點共線，如圖：
??
由題意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，分析點的運動軌跡，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
18．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，動點在矩形的邊上沿運動．當點不與點重合時，將沿對折，得到，連接，則在點的運動過程中，線段的最小值為__________．
??
【答案】/
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出在為圓心，為半徑的弧上運動，進而分類討論當點在上時，當點在上時，當在上時，即可求解．
【詳解】解：∵在矩形中，，
∴，，
如圖所示，當點在上時，
??
∵
∴在為圓心，為半徑的弧上運動，
當三點共線時，最短，
此時，
當點在上時，如圖所示，
??
此時
當在上時，如圖所示，此時
??
綜上所述，的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是________．
??
【答案】
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個等式相加即可得．
【詳解】解：是等邊三角形，
，
∵折疊得到，
，
，，
平分等邊的面積，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合題意，舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D為上一動點，連接，將沿翻折得到，交于點G，，且，則______．
??
【答案】
【分析】于點M，于點N，則，過點G作于點P，設，根據(jù)得出，繼而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，
【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，是的角平分線，，用證明，從而得到，設，則，，利用勾股定理得到即，化簡得，從而得出，利用三角形的面積公式得到：．
作于點M，于點N，則，
過點G作于點P，
??
∵于點M，
∴，
設，則，，
又∵，，
∴，，，
∵，即，
∴，，
在中，，，
設，則
∴
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
設，則，，
在中，，即，
化簡得：，
∴，
∴
故答案是：．
【點睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）矩形中，，將矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，若是直角三角形，則點到直線的距離是__________．
【答案】6或或
【分析】由折疊的性質(zhì)可得點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，延長交的另一側(cè)于點E，則此時是直角三角形，易得點到直線的距離；當過點D的直線與圓相切于點E時，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．
【詳解】解：由題意矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，
可知點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，
如圖，延長交的另一側(cè)于點E，則此時是直角三角形，
點到直線的距離為的長度，即，
??
當過點D的直線與圓相切與點E時，是直角三角形，分兩種情況，
①如圖，過點E作交于點H，交于點G，
??
∵四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，，，
由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴到直線的距離，
②如圖，過點E作交于點N，交于點M，
??
∵四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，，，
由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴到直線的距離，
綜上，6或或，
故答案為：6或或．
【點睛】本題考查了矩形的折疊問題切線的應用，以及勾股定理，找到點E的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則__________．
??
【答案】
【分析】過點作于，證明，得出，根據(jù)，得，設，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于，
??
∵平分交于點，
∴,
∴
∴
∵折疊，
∴，
∴,
又∵
∴
∴
∴
∵，，則，
∴
∴，，
∵
設，，則，則，
∵
∴
在中，
在中，
∴
即
解得：
∴，
則
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，過點C作射線，點M，N分別在邊，上，將沿折疊，使點B落在射線上的點處，連接，已知．給出下列四個結(jié)論：①為定值；②當時，四邊形為菱形；③當點N與C重合時，；④當最短時，．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號）

【答案】①②④
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由此即可判斷①正確；先解直角三角形可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)菱形的判定即可得②正確；先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)即可判斷③錯誤；當最短時，則，過點作于點，連接，交于點，先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設，則，，再利用勾股定理可得，，然后根據(jù)建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判斷④正確．
【詳解】解：是等邊三角形，且，
，，
由折疊的性質(zhì)得：，
，是定值，則結(jié)論①正確；
當時，則，
在中，，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
，
，
四邊形為平行四邊形，
又，
四邊形為菱形，則結(jié)論②正確；
如圖，當點與重合時，

，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
，，
，
，則結(jié)論③錯誤；
當最短時，則，
如圖，過點作于點，連接，交于點，

，
，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
設，則，
在中，，即，
解得，
，??
設，則，，
，
，
，
，
解得或（不符合題意，舍去），
，則結(jié)論④正確；
綜上，正確的結(jié)論是①②④，
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的應用等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
24．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點分別在邊，上，連接，已知點和點關(guān)于直線對稱．設，若，則_________（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．
??
【答案】
【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明，再證，推出，通過證明，推出，即可求出的值．
【詳解】解：點和點關(guān)于直線對稱，
，
，
．
，
，
點和點關(guān)于直線對稱，
，
又，
，
，
，，
點和點關(guān)于直線對稱，
，
，
，
，
在和中，
，
．
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
．
，
，
解得，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明．

三、解答題
25．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．
??
(1)畫出線段關(guān)于直線對稱的線段；
(2)將線段向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段，畫出線段；
(3)描出線段上的點及直線上的點，使得直線垂直平分．
【答案】見解析
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于直線的對稱點，，連接，則線段即為所求；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段即為所求；
（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；
??
（2）解：如圖所示，線段即為所求；
??
（3）解：如圖所示，點即為所求
??
如圖所示，
??
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【點睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

26．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在下列網(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點都在格點上）．
???
【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)進行作圖即可．
【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；
②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；
③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；
④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．
??
【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)能夠和原圖形重合．
27．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動，有一位同學操作過程如下：
操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；
操作二：在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接、，延長交于點Q，連接．
??
(1)如圖1，當點M在上時，___________度；
(2)改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)30
(2)，理由見解析
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出，，進而可求出，即得出；
（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證，即得出．
【詳解】（1）解：∵對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，
∴，．
∵在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，
∴．
在中，，
∴．
故答案為：．
（2）解：結(jié)論：，理由如下：
∵四邊形是正方形，
，．
由折疊可得：，，
，．
又，
，
∴．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點．熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
28．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．
????
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進而證明，再由平行線的性質(zhì)證明即可證明；
（2）如圖，延長交于點．證明得到，，
設，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．
∴．
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如圖，延長交于點．
∵，
∴．
又∵，正方形邊長為3，
∴
∴，
∴，，
設，則，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
??
【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．

29．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．
??
(1)當時，求四邊形的面積；
(2)當點在線段上移動時，設，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進而根據(jù)，即可求解；
（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）如圖，連接、，

四邊形為菱形，
，，
為等邊三角形．
為中點，
，，
，．
，
為等腰直角三角形，
，，
翻折，
，，
，；.
同理，
，，
∴；
（2）如圖，連接、，延長交于點．

，，，
．
∵
，
，
．
，則，
，
，
．
∵，
．
【點睛】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合探究
如圖1，在矩形中，對角線相交于點，點關(guān)于的對稱點為，連接交于點，連接．
??
(1)求證：；
(2)以點為圓心，為半徑作圓．
①如圖2，與相切，求證：；
②如圖3，與相切，，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）由點關(guān)于的對稱點為可知點E是的中點，，從而得到是的中位線，繼而得到，從而證明；
（2）①過點O作于點F，延長交于點G，先證明得到，由與相切，得到，繼而得到，從而證明是的角平分線，即，，求得，利用直角三角形兩銳角互余得到，從而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；
②先證明四邊形是正方形，得到，再利用是的中位線得到，從而得到，，再利用平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等腰直角三角形，，設，求得，在中，即，解得，從而得到的面積為．
【詳解】（1）∵點關(guān)于的對稱點為，
∴點E是的中點，，
又∵四邊形是矩形，
∴O是的中點，
∴是的中位線，
∴
∴，
∴
（2）①過點O作于點F，延長交于點G，則，
??
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，．
∵，，，
∴，
∴．
∵與相切，為半徑，，
∴，
∴
又∵即，，
∴是的角平分線，即，
設，則，
又∵
∴
∴
又∵，即是直角三角形，
∴，即
解得：，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
②過點O作于點H，
??
∵與相切，
∴，
∵
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
又∵是的中位線，
∴
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，，
設，則
∴
在中，，
即
∴
∴的面積為：
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識，掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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