2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市響水縣清源高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，求得，再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．2．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】．故選：A.3．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．球體是旋轉(zhuǎn)體 B．圓柱的母線平行于軸C．斜棱柱的側(cè)面中沒(méi)有矩形 D．用平面截正棱錐所得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)【答案】C【分析】利用球體的定義判斷；利用圓柱的結(jié)構(gòu)特征判斷；舉例說(shuō)明判斷；利用正棱臺(tái)的定義判斷.【詳解】因球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體，即球體是旋轉(zhuǎn)體，A正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的母線平行于圓柱的軸，垂直于其底面，正確；如圖，斜平行六面體中，若平面，則側(cè)面四邊形是矩形，錯(cuò)誤；  由正棱臺(tái)的定義知：用平面截正棱錐所得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)，正確.故選：C4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由，得，故選：B．5．在中，D為的中點(diǎn)，E為邊上的點(diǎn)，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形即可得解.【詳解】由E為邊上的點(diǎn)，且，得.故選：C6．設(shè)有兩條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)與判定逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】若，則可以平行?相交或異面，故A錯(cuò)誤；若與相交，則，故B錯(cuò)誤；若，則或，故C錯(cuò)誤；若，則，故D正確.故選：D.7．在中，，，，則此三角形（    ）A．無(wú)解 B．一解C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【分析】利用正弦定理求出的值，再根據(jù)所求值及a與b的大小關(guān)系即可判斷作答.【詳解】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解．故選：C8．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】，結(jié)合題意得，結(jié)合即得解.【詳解】，因?yàn)?/span>，所以，又，所以．故選：B． 二、多選題9．下列各式中，值為的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的倍角公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正確；由正切的倍角公式，可得，所以B正確；由正弦的倍角公式，可得，所以C正確；由，所以D不正確.故選：BC.10．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（   ）A．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C．若互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D．若互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)【答案】AC【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和分類(lèi)作出判斷；CD選項(xiàng)，利用共軛復(fù)數(shù)的概念，乘法法則和幾何意義判斷出CD.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，，若，則為實(shí)數(shù)，故是實(shí)數(shù)的充要條件是，顯然成立，故A正確；對(duì)于B：若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所以是實(shí)數(shù)，故C正確；對(duì)于D：若互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為，，這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤. 故選：AC.11．已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則 B．存在，使得C． D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】CD【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)平面線路垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷C；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即，方程無(wú)解，所以不存在，使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：CD.12．在正方體中，E，F，G分別為BC，，的中點(diǎn)，則（    ）  A．直線與直線AF異面 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面是平行四邊形 D．點(diǎn)C和點(diǎn)B到平面的距離相等【答案】ABD【分析】由圖可知直線與直線AF異面，利用面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)可證明平面；將平面擴(kuò)大至與相交于點(diǎn)，即可得截面為等腰梯形，顯然平面將線段平分，所以C和B到平面的距離相等.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖可知AF與顯然不平行，且不相交，所以AF與異面，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)為M，連接、，如下圖所示：  易知，且平面，平面，所以平面，又易知，，因此，平面，平面，所以平面；，可得平面平面，又平面，從而平面，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，，如下圖所示：  易知，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，平面過(guò)的中點(diǎn)E，即平面將線段平分，所以C與B到平面的距離相等，選項(xiàng)D正確.故選：ABD. 三、填空題13．若復(fù)數(shù)，則        .【答案】1【分析】利用復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故答案為：114．如圖，是△OAB的直觀圖，其中，則的面積是        【答案】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的定義，畫(huà)出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測(cè)畫(huà)法的定義，畫(huà)出原圖形，，的面積是．故答案為：.15．若，則      ．【答案】【分析】化，從而平方即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，兩邊平方得，即，．故答案為：16．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長(zhǎng)的最小值為        .【答案】【分析】先由等式得，再由的面積為得到，結(jié)合圖象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理得，整理得，即，因，所以，得，則，因?yàn)?/span>，所以.  如圖，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，在中，由余弦定理，得，又，所以由得代入上式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以AC邊上中線長(zhǎng)的最小值為.故答案為：. 四、解答題17．已知為銳角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和正弦的二倍角公式求解；（2）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的余弦公式求解即可．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以．（2）因?yàn)?/span>，所以，所以．18．已知，，且.(1)求與的夾角；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，再求出k的值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.（2）因?yàn)?/span>，所以，即，即，所以，即，解得.19．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P為棱上一點(diǎn).  (1)試確定點(diǎn)P的位置，使得平面，并說(shuō)明理由；(2)在（1）的條件下，求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)P為棱的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)三角形中位線證明線線平行即可求證，（2）根據(jù)線線平行找到異面直線的所成角，即可結(jié)合三角形邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）當(dāng)P為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面.理由如下：設(shè)和交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn).連接，又因?yàn)?/span>P是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?/span>平面，平面.所以直線平面.  （2）由（1）知，，所以即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.因?yàn)?/span>，且，所以.又，所以.故異面直線與所成角的大小為.20．如圖，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，與交于點(diǎn)O.  (1)若，求證：；(2)若，，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）由點(diǎn)D為的中點(diǎn)可得，再結(jié)合已知條件即可證明；（2）設(shè)，，，利用向量加減法法則可得，，從而可得，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，，兩式相加得，所以，即.（2）由，得，設(shè)，，，則，又.所以，因?yàn)?/span>，不共線，所以，解得.21．如圖，某運(yùn)動(dòng)員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練，長(zhǎng)跑開(kāi)始時(shí)，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，利用余弦定理求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出的最小值；（2）由正弦定理可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，在中，，故由余弦定理求得，則，整理得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故.即小艇至少以每小時(shí)的速度從處出發(fā)才能追上運(yùn)動(dòng)員.（2）當(dāng)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間小時(shí)追上運(yùn)動(dòng)員，故，又，由正弦定理得，解得，故.即小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角為.22．已知四邊形是由與拼接而成，如圖所示，，.  (1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2). 【分析】（1）求出的范圍，利用正弦定理即可證明結(jié)論；（2）寫(xiě)出與的關(guān)系，進(jìn)而求出的正弦值和余弦值，求出的長(zhǎng)，利用余弦定理即可求出的長(zhǎng).【詳解】（1）由題意證明如下，在中，，∴.∵，∴.在中，由正弦定理得， ，即，，∴，∴.（2）由題意及（1）得設(shè)，，，，，，，則在中，由正弦定理得，，即，可得，①在中，由正弦定理得，，可得，可得，②聯(lián)立①②，可得，可得，可得，.在中，由正弦定理得，，可得.在中，由余弦定理得，，可得，可得，解得或（舍），∴的長(zhǎng)為. 

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