2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市興化市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式求解.【詳解】.故選：A2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)b的值為（    ）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】C【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，又復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不等于0，即可求出實(shí)數(shù)b的值.【詳解】復(fù)數(shù)，又復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則有，解得.故選：C.3．若平面上的三個(gè)力，，作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，，與的夾角為120°，則的大小為（    ）A． B． C．2N D．3N【答案】B【分析】由三力平衡，知，將其兩邊平方，并結(jié)合平面向量的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算，得解．【詳解】由題意知，所以，所以故選：B．4．《周髀算經(jīng)》中“側(cè)影探日行”一文有記載：“即取竹空，徑一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而視之，空正掩目，而日應(yīng)空之孔.”意謂：“取竹空這一望筒，當(dāng)望筒直徑d是一寸，筒長(zhǎng)l是八尺時(shí)（注：一尺等于十寸），從筒中搜捕太陽(yáng)的邊緣觀察，則筒的內(nèi)孔正好覆蓋太陽(yáng)，而太陽(yáng)的外緣恰好填滿竹管的內(nèi)孔.”如圖所示，O為竹空底面圓心，則太陽(yáng)角∠AOB的正切值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切的二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，，所以.故選：A.5．若，，的面積為，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由條件結(jié)合三角形面積公式求，再由余弦定理求.【詳解】由三角形面積公式可得的面積，又，，所以，由余弦定理可得，又，，，所以，所以，故選：C.6．在平行四邊形ABCD中，，，，則（    ）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】利用平面向量基本定理得到，，利用向量數(shù)量積公式求出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以為中點(diǎn)，由題意得，，所以，設(shè)，則，代入上式中得，，解得.故選：D7．已知，則=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知式和求值式，求值式變形有后用二倍角公式計(jì)算．【詳解】由題意，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式與二倍角公式求值．解題關(guān)鍵是對(duì)“單角”和“復(fù)角”的相對(duì)性的理解與應(yīng)用．本題中用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和用二倍角公式求值，都是把作為一個(gè)“單角”進(jìn)行變形參與運(yùn)算，而不是作為兩個(gè)角的和．8．0.618被公認(rèn)為是最具有審美意義的比例數(shù)字，是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.他認(rèn)為底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36°的等腰三角形，例如，中國(guó)國(guó)旗上的五角星就是由五個(gè)“最美三角形”與一個(gè)正五邊形組成的，如圖，在其中一個(gè)黃金中，黃金分割比為.根據(jù)以上信息，計(jì)算（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由誘導(dǎo)公式求解．【詳解】在中，由正弦定理可得，∴， .故選：B.．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查誘導(dǎo)公式．本題考查關(guān)鍵是利用正弦定理把三角函數(shù)值與黃金分割比聯(lián)系起來(lái)，得． 二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C．若，則 D．若復(fù)數(shù)z滿足，則【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求，由此確定其虛部，判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷B，舉反例，判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合條件判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，故復(fù)數(shù)的虛部為，A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限，B正確；對(duì)于C，取，則，又，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，故，D正確；故選：ABD.10．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．，則為等腰三角形C．若，則為鈍角三角形D．【答案】ACD【分析】利用正弦定理角化邊推理判斷A；利用正弦定理邊化角推理判斷B；利用和角的正切推理得并判斷C；利用正余弦定理、二倍角的余弦推理判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，在中，由及正弦定理，得，所以，A正確；對(duì)于B，由及正弦定理，得，于是，由，得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，由，得，因此中有且只有一個(gè)為負(fù)數(shù)，所以中有一個(gè)為鈍角，即為鈍角三角形，C正確；對(duì)于D，在中，由余弦定理得，由正弦定理得有，于是，整理得，D正確.故選：ACD11．下列四個(gè)等式中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用余弦二倍角公式求解，對(duì)于B，通分后利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，對(duì)于C，將化簡(jiǎn)后，代入計(jì)算即可，對(duì)于D，利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以D正確，故選：BCD12．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是（    ）A．若，則點(diǎn)在的中位線上B．若，則為的重心C．若，則為銳角三角形D．若，則與的面積比為【答案】ABD【分析】設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由可得，可知A正確；設(shè)中點(diǎn)為，由得，對(duì)應(yīng)重心的性質(zhì)可知B正確；由知為銳角，但無(wú)法確定，知C錯(cuò)誤；根據(jù)平面向量基本定理可知，將面積比轉(zhuǎn)化為，知D正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，，，，即，三點(diǎn)共線，又為的中位線，點(diǎn)在的中位線上，A正確；對(duì)于B，設(shè)中點(diǎn)為，由得：，又，，在中線上，且，為的重心，B正確；對(duì)于C，，與夾角為銳角，即為銳角，但此時(shí)有可能是直角或鈍角，故無(wú)法說(shuō)明為銳角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的應(yīng)用等知識(shí)；本題解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運(yùn)算將已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，確定點(diǎn)的具體位置及其滿足的性質(zhì). 三、填空題13．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是      ．【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算和復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算可求得答案.【詳解】解：由題意可知，，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故答案為：.14．如圖，在4×4的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量，，滿足，則      ．  【答案】7【分析】建立合適的直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)向量，根據(jù)題意得到方程組即可得到答案.【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度1，可得，同理可得，，將方程組中兩式相加,可得.故答案為：7.    15．如圖，在四邊形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分別是AB，CD的中點(diǎn)，P，Q分別是AC，BD的中點(diǎn)，則      ．  【答案】/1.75【分析】可連接，根據(jù)題意即可得出四邊形為平行四邊形，從而可得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．【詳解】如圖，連接，    ∵為的中點(diǎn)，為對(duì)角線的中點(diǎn)，，，∴四邊形為平行四邊形，，，，，故答案為： 四、雙空題16．在中，已知，．銳角，滿足．①當(dāng)，      ；②當(dāng)取最小值時(shí)，      ．【答案】     /     【分析】由條件可知，，展開(kāi)后利用三角恒等變形，轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)，即可求解；第二問(wèn)可知，，展開(kāi)后利用三角恒等變形，得到，代入后，利用基本不等式求最值，即可求解.【詳解】由題意可知，，則，，，，，，則,，時(shí)，，則，，兩邊同時(shí)除以，并且，得，化簡(jiǎn)為，得或（舍），所以；，兩邊同時(shí)除以，得，，，，,化簡(jiǎn)為，則，，設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以.故答案為：； 五、解答題17．已知，為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與正切的和差角公式求解即可；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與余弦的和差角公式求解即可【詳解】（1）因?yàn)?/span>，為銳角，則，，，則，，而．（2）由，得：，，則．18．已知為虛數(shù)單位.（1）計(jì)算：；（2）若，求復(fù)數(shù).【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)，求出，的值，求出即可．【詳解】（1）.（2）設(shè)，則由，得，則解得或則或.19．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若，且與垂直，求與的夾角.【答案】(1)或.(2). 【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)關(guān)系以及向量的模的計(jì)算建立方程組，求解即可；（2）由向量垂直的條件以及向量夾角的計(jì)算公式可求得答案.【詳解】（1）解：設(shè)，因?yàn)?/span>，所以．①又，所以．②，由①②聯(lián)立，解得或，所以或．（2）解：由，得，又，解得，所以，所以與的夾角.20．如圖，在中，，，分別在邊上，且滿足，為中點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求邊的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）6【分析】(1)先由，確定向量與，與之間的關(guān)系，用與表示出，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即可求出結(jié)果；（2）用向量，表示出向量和，再由向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，（2）因?yàn)?/span>，，所以，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)得，解得(負(fù)值舍去)，所以的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本定理以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，只需熟記定理和公式即可求解，難度不大.21．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．(1)若，求角C；(2)設(shè)點(diǎn)D滿足，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量數(shù)量積的定義可得，結(jié)合余弦邊角關(guān)系有，進(jìn)而確定a，b，c的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理求角C；（2）由（1）知是頂角為的等腰三角形，且，根據(jù)且，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得，即可得.【詳解】（1）由，即，故，所以，整理得，由余弦邊角關(guān)系得，則，所以，即，則，由，，故.  （2）由（1）易知：是頂角為的等腰三角形，且，且，則，所以，而，故.22．在平面凸四邊形中，，，．(1)當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓O時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用余弦定理，結(jié)合求出角，再利用三角形面積公式求解作答.（2）結(jié)合余弦定理和面積公式得，進(jìn)而得，再由三角函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，有最大值，再借助余弦定理求解作答.【詳解】（1）連接，如圖，  由余弦定理得：，及，于是，又四邊形內(nèi)接于圓，即，因此，化簡(jiǎn)可得，又，解得，于是，所以四邊形的面積.（2）設(shè)四邊形的面積為，則，又，于是，即，平方相加得，即，又，則當(dāng)時(shí)，有最大值，即有最大值，此時(shí)，解得，又，于是，在中，，即，所以對(duì)角線的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及平面多邊形問(wèn)題，把圖形拆分成若干個(gè)三角形，再在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解. 

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