2022-2023學(xué)年浙江省紹興市越州中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部是1，虛部是.故選：B2．若，則（    ）A．7 B． C．5 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：B.3．內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】在中，因?yàn)?/span>，，，由正弦定理，即，得，又，所以.故選：C.4．已知，且為第二象限角，那么　　A． B． C． D．【答案】D【分析】由的值及為第二象限角，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出的值，即可求出的值．【詳解】，且為第二象限角，，則，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．5．是第幾象限角（　?。?/span>A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以與終邊相同，且的終邊在第三象限，所以是第三象限角，故選:C.6．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，且．若，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義，化簡整理即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，整理可得.故選：A.7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得，由此可以求出的值.【詳解】由題得：，故，而，所以.故選：B.8．奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點(diǎn)P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設(shè)，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點(diǎn)P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設(shè)，其中．，，解得．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的線性運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件得，設(shè)，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結(jié)果，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題. 二、多選題9．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在角的終邊上，則【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求出可得A正確；求出，根據(jù)純虛數(shù)的定義可得B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示可得C錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的定義可得D錯(cuò)誤.【詳解】對于A：，，A正確；對于B：為純虛數(shù)，B正確；對于C：，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，C錯(cuò)誤；對于D：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．如圖，是單位圓上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)以的角速度?點(diǎn)以的角速度均按逆時(shí)針方向開始在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則（    ）A．時(shí)，的弧度數(shù)為B．時(shí)，扇形的弧長為C．時(shí)，扇形的面積為D．時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上第一次重合【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件，弧長公式及扇形面積公式，逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】時(shí)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的弧度數(shù)為，故不正確；時(shí)，的弧度數(shù)為，故扇形的弧長為，故正確；時(shí)，的弧度數(shù)為，故扇形的面積為，故正確；設(shè)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上第一次重合，則，解得，故不正確.故選：.11．已知三個(gè)內(nèi)角的對邊分別是，則下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】ABC【分析】對于A：結(jié)合大角對大邊及正弦定理即可求解；對于B：由向量夾角公式即可判斷；對于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對于A：由大角對大邊及正弦定理可知：，故A正確；對于B：因?yàn)?/span>，所以，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對于C：因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以,所以，故C正確；對于D：因?yàn)?/span>，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．已知是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，且，則的值可能為（　?。?/span>A． B． C． D．1【答案】CD【分析】設(shè)，可得，，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形即可求出最小值，進(jìn)而求解.【詳解】如圖，設(shè)，則，設(shè)，易知在直線上，由可得，，，又，則，過作，易知，又，故，結(jié)合選項(xiàng)，可能取值為或.故選：CD. 三、填空題13．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)         ．【答案】/0.5【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量平行的坐標(biāo)表示可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：.14．已知，則          .【答案】/【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：15．小顧同學(xué)在用向量法研究解三角形面積問題時(shí)有如下研究成果：若，，則.試用上述成果解決問題：已知，，，則           .【答案】1【分析】計(jì)算的坐標(biāo)，結(jié)合結(jié)論求三角形的面積.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，又當(dāng)，時(shí)，，所以，故答案為：1.16．在復(fù)平面上的單位圓上有三個(gè)點(diǎn)，，，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，．若，則的面積         ．【答案】或【分析】由題意可知，根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法法則的幾何意義及余弦定理求出、，進(jìn)而分類討論當(dāng)與反向、線段在的內(nèi)部時(shí)的面積，即可求解.【詳解】由題意知，，由復(fù)數(shù)的加減法法則的幾何意義及余弦定理，得，即，，即，當(dāng)與反向，；  當(dāng)線段在的內(nèi)部時(shí)，，  所以的面積為或.故答案為:或. 四、解答題17．已知＝4，＝8，與的夾角是120°．(1)計(jì)算：||；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，?【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解；（2）若，則，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，從而可得出答案.【詳解】（1）解：；（2）解：若，則，即，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，.18．如圖，圓的半徑為5，弦的長為 5. (1)求圓心角的大小；(2)求扇形的弧長及陰影部分的面積.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）由等邊三角形即可求解角.（2）利用弧長公式以及扇形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由于圓O的半徑為，弦AB的長為5，所以為等邊三角形，所以．（2）因?yàn)?/span>，所以，，又，所以陰影部分的面積19．在中，角所對的邊分別為，.(1)若，求的值；(2)若，，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）弦化切后，將代入可求出結(jié)果；（2）根據(jù)和求出，，結(jié)合求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，且,所以，所以，得.（2）若，則，由（1）可得，則， 又，即，所以，，則，所以是以為頂角的等腰三角形，所以，所以的面積為.20．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且為實(shí)數(shù).(1)求復(fù)數(shù)；(2)設(shè)，，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義設(shè)出復(fù)數(shù)的表示形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的分類進(jìn)行求解即可；（2）求出，結(jié)合在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，求出范圍，結(jié)合模的計(jì)算求得答案.【詳解】（1）設(shè)，且，則.又∵為實(shí)數(shù)，∴，即.（2）由（1）得，由題知且，解得.又∵，∴.∴，即的取值范圍是.21．.(1)求；(2)將函數(shù)化為的形式，寫出其最小正周期并求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2)最小正周期為，值域?yàn)?/span> 【分析】（1）直接根據(jù)的解析式求值即可；（2）根據(jù)兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式化簡，由正弦函數(shù)的最小正周期公式求出最小正周期，由正弦函數(shù)的圖象求出值域.【詳解】（1）.（2）所以的最小正周期，由于，，，所以，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.22．“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個(gè)大人，我是說，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設(shè)霍爾頓想在一望無際的麥田里劃一塊形為平面四邊形的麥田成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個(gè)定值，試問霍爾頓的發(fā)現(xiàn)正確嗎？若正確，求出此定值；若不正確，請說明理由.(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和有關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值．【答案】(1)正確，1(2) 【分析】（1）在和中分別對使用余弦定理，可推出的關(guān)系，即可得出是一個(gè)定值；（2）求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及余弦函數(shù)值的取值范圍，可得出的最大值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，即，在中，，即因此，即，所以．（2）因?yàn)?/span>，，于是得由（1）知，因此，在中，，在中，，則，由，得，即有，從而當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是． 

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